Einfache Addition mit variablen Zählern

Addiere: $\frac{3x}{x+2} + \frac{5}{x+2}$

Überprüfe, ob die Nenner gleich sind: Beide Brüche haben den Nenner $(x+2)$ = Gleiche Nenner bestätigt

Addiere die Zähler: $3x + 5$ = $3x + 5$

Schreibe über den gemeinsamen Nenner: $\frac{3x + 5}{x+2}$ = $\frac{3x + 5}{x+2}$

Prüfe auf Vereinfachung: $3x + 5$ und $x + 2$ haben keine gemeinsamen Faktoren = Nicht vereinfachbar

Answer: $\frac{3x + 5}{x+2}$

Addition mit binomischen Zählern

Addiere: $\frac{x+3}{x-1} + \frac{2x-5}{x-1}$

Bestätige gleiche Nenner: Beide haben $(x-1)$ = Gleiche Nenner

Addiere die Zähler: $(x+3) + (2x-5)$ = $x + 3 + 2x - 5$

Fasse gleichartige Terme zusammen: $x + 2x + 3 - 5$ = $3x - 2$

Schreibe das Ergebnis: $\frac{3x-2}{x-1}$ = $\frac{3x-2}{x-1}$

Answer: $\frac{3x-2}{x-1}$

Addition mit polynomialen Nennern

Addiere: $\frac{x^2+1}{x^2-4} + \frac{3x-5}{x^2-4}$

Überprüfe gleiche Nenner: Beide haben $(x^2-4)$ = Gleiche Nenner

Addiere Zähler: $(x^2+1) + (3x-5)$ = $x^2 + 3x + 1 - 5$

Fasse zusammen: $x^2 + 3x - 4$ = $x^2 + 3x - 4$

Faktorisiere den Zähler wenn möglich: $x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1)$ = $(x+4)(x-1)$

Faktorisiere den Nenner: $x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$ = $(x+2)(x-2)$

Prüfe auf gemeinsame Faktoren: Keine gemeinsamen Faktoren zwischen Zähler und Nenner = Nicht vereinfachbar

Answer: $\frac{(x+4)(x-1)}{(x+2)(x-2)}$ oder $\frac{x^2+3x-4}{x^2-4}$

Addition, die sich vereinfachen lässt

Addiere: $\frac{x+1}{x+3} + \frac{2}{x+3}$

Bestätige gleiche Nenner: Beide haben $(x+3)$ = Gleiche Nenner

Addiere die Zähler: $(x+1) + 2$ = $x + 3$

Schreibe über gemeinsamen Nenner: $\frac{x+3}{x+3}$ = $\frac{x+3}{x+3}$

Vereinfache: $\frac{x+3}{x+3} = 1$ (wenn $x \neq -3$) = $1$

Answer: $1$ (wobei $x \neq -3$)

Drei rationale Ausdrücke addieren

Addiere: $\frac{2x}{x-5} + \frac{3}{x-5} + \frac{x+1}{x-5}$

Bestätige, dass alle Nenner übereinstimmen: Alle drei haben $(x-5)$ = Gleiche Nenner

Addiere alle Zähler: $2x + 3 + (x+1)$ = $2x + 3 + x + 1$

Fasse gleichartige Terme zusammen: $2x + x + 3 + 1$ = $3x + 4$

Schreibe das Ergebnis: $\frac{3x+4}{x-5}$ = $\frac{3x+4}{x-5}$

Prüfe auf Vereinfachung: Keine gemeinsamen Faktoren = Endgültige Antwort

Answer: $\frac{3x+4}{x-5}$

Komplexe Vereinfachung nach Addition

Addiere: $\frac{x^2-9}{x^2+5x+6} + \frac{6}{x^2+5x+6}$

Überprüfe gleiche Nenner: Beide haben $x^2+5x+6$ = Gleiche Nenner

Addiere die Zähler: $(x^2-9) + 6$ = $x^2 - 3$

Schreibe über gemeinsamen Nenner: $\frac{x^2-3}{x^2+5x+6}$ = Erstes Ergebnis

Faktorisiere den Nenner: $x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$ = $(x+2)(x+3)$

Prüfe, ob der Zähler faktorisierbar ist: $x^2-3$ lässt sich nicht über ganzen Zahlen faktorisieren = Nicht faktorisierbar

Schreibe die endgültige Antwort: $\frac{x^2-3}{(x+2)(x+3)}$ = Vereinfachte Form

Answer: $\frac{x^2-3}{(x+2)(x+3)}$

Mistake: Die Nenner zusammen mit den Zählern addieren

Why: Schüler wenden manchmal die Addition auf beide Teile an: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} \neq \frac{a+b}{c+c}$

Correct: Behalte den Nenner bei: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$

Mistake: Das Minuszeichen nicht verteilen

Why: Bei der Subtraktion muss das Minus auf alle Terme im subtrahierten Zähler angewendet werden.

Correct: $\frac{x+3}{d} - \frac{x-1}{d} = \frac{(x+3)-(x-1)}{d} = \frac{x+3-x+1}{d} = \frac{4}{d}$

Mistake: Nach dem Addieren nicht auf Vereinfachung prüfen

Why: Die Summe kann gemeinsame Faktoren enthalten, die gekürzt werden sollten.

Correct: Faktorisiere nach dem Addieren immer Zähler und Nenner, um gemeinsame Faktoren zu finden.

Mistake: Definitionsbereich-Einschränkungen vergessen

Why: Werte, die den Nenner null machen, sind vom Definitionsbereich ausgeschlossen.

Correct: Gib Einschränkungen an: für $\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x-2}$ gilt $x \neq 2$.

Elektrische Schaltkreise

Bei Parallelschaltung von Widerständen werden Brüche mit gleicher Form addiert.

Zwei Strompfade tragen $\frac{I_1}{V}$ und $\frac{I_2}{V}$ Ampere pro Volt bei. Gesamtleitwert: $\frac{I_1 + I_2}{V}$.

Arbeitsratenprobleme

Wenn zwei Maschinen mit gleicher Zykluszeit arbeiten, addieren sich ihre kombinierten Leistungsraten direkt.

Maschine A produziert $\frac{x}{t}$ Einheiten und Maschine B produziert $\frac{y}{t}$ Einheiten pro Stunde. Zusammen: $\frac{x+y}{t}$ Einheiten pro Stunde.

Q: Warum addieren wir die Nenner nicht?

A: Das Addieren von Brüchen bedeutet, Teile desselben Ganzen zu kombinieren. Wenn beide Brüche in gleich viele Teile aufgeteilt sind (gleicher Nenner), zählst du nur, wie viele Teile du insgesamt hast. Die Größe jedes Teils (Nenner) bleibt gleich.

Q: Was, wenn das Ergebnis 1 ist?

A: Wenn nach dem Addieren der Zähler gleich dem Nenner ist (wie $\frac{x+3}{x+3}$), vereinfacht sich der Ausdruck zu 1, aber nur für Werte, bei denen der Nenner nicht null ist.

Q: Kann ich vor dem Addieren kürzen?

A: Nein, du kannst gemeinsame Faktoren erst nach dem Kombinieren der Zähler kürzen. Jeder Bruch muss als Ganzes behandelt werden, bis sie kombiniert sind.