Rationale Ausdrücke addieren (gleiche Nenner)

Lerne, wie man rationale Ausdrücke mit gleichem Nenner addiert, indem man die Zähler kombiniert.

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Definition

Beim Addieren von rationalen Ausdrücken mit gleichen Nennern addierst du einfach die Zähler und behältst den Nenner bei:
AC+BC=A+BC\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A + B}{C}
wobei C≠0C \neq 0.
Das funktioniert genau wie bei gewöhnlichen Brüchen:
  • 25+15=2+15=35\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2 + 1}{5} = \frac{3}{5}
Mit algebraischen Ausdrücken:
  • 2xx+3+5x+3=2x+5x+3\frac{2x}{x+3} + \frac{5}{x+3} = \frac{2x + 5}{x+3}
Wichtig: Prüfe nach dem Addieren immer, ob das Ergebnis vereinfacht werden kann!

Probier es gleich aus

Was ist 2x+1+5x+1\frac{2}{x+1} + \frac{5}{x+1}?

Lösungsbeispiele

Addiere: 3xx+2+5x+2\frac{3x}{x+2} + \frac{5}{x+2}
1

Überprüfe, ob die Nenner gleich sind

Beide Brüche haben den Nenner (x+2)(x+2) → Gleiche Nenner bestätigt
2

Addiere die Zähler

3x+53x + 5
3

Schreibe über den gemeinsamen Nenner

3x+5x+2\frac{3x + 5}{x+2}
4

Prüfe auf Vereinfachung

3x+53x + 5 und x+2x + 2 haben keine gemeinsamen Faktoren → Nicht vereinfachbar

Häufige Fehler

Die Nenner zusammen mit den Zählern addieren

Warum es falsch ist: Schüler wenden manchmal die Addition auf beide Teile an: ac+bc≠a+bc+c\frac{a}{c} + \frac{b}{c} \neq \frac{a+b}{c+c}

Richtig: Behalte den Nenner bei: ac+bc=a+bc\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}

Das Minuszeichen nicht verteilen

Warum es falsch ist: Bei der Subtraktion muss das Minus auf alle Terme im subtrahierten Zähler angewendet werden.

Richtig: x+3d−x−1d=(x+3)−(x−1)d=x+3−x+1d=4d\frac{x+3}{d} - \frac{x-1}{d} = \frac{(x+3)-(x-1)}{d} = \frac{x+3-x+1}{d} = \frac{4}{d}

Nach dem Addieren nicht auf Vereinfachung prüfen

Warum es falsch ist: Die Summe kann gemeinsame Faktoren enthalten, die gekürzt werden sollten.

Richtig: Faktorisiere nach dem Addieren immer Zähler und Nenner, um gemeinsame Faktoren zu finden.

Definitionsbereich-Einschränkungen vergessen

Warum es falsch ist: Werte, die den Nenner null machen, sind vom Definitionsbereich ausgeschlossen.

Richtig: Gib Einschränkungen an: für xx−2+3x−2\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x-2} gilt x≠2x \neq 2.

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Was ist 2x+1+5x+1\frac{2}{x+1} + \frac{5}{x+1}?

Warum es wichtig ist

Das Addieren rationaler Ausdrücke ist eine grundlegende Fähigkeit in der Algebra mit vielen praktischen Anwendungen:
  • Physik: Kombinieren von Widerständen in Parallelschaltungen: 1R1+1R2\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}
  • Wirtschaft: Addieren von Kostenfunktionen mit gemeinsamen Variablen
  • Ingenieurwesen: Summieren von Übertragungsfunktionen in Regelsystemen
  • Chemie: Berechnung kombinierter Reaktionsraten
Das Beherrschen gleicher Nenner ist die Grundlage für den Umgang mit ungleichen Nennern in komplexeren Aufgaben.

Anwendungen im echten Leben

Elektrische Schaltkreise

Bei Parallelschaltung von Widerständen werden Brüche mit gleicher Form addiert.

Beispiel:

Zwei Strompfade tragen I1V\frac{I_1}{V} und I2V\frac{I_2}{V} Ampere pro Volt bei. Gesamtleitwert: I1+I2V\frac{I_1 + I_2}{V}.

1Probiere es selbst

Zwei parallele Widerstände haben Leitwerte von 3R\frac{3}{R} und 5R\frac{5}{R} Siemens.

Wie groß ist der Gesamtleitwert?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Addiere: 3R+5R\frac{3}{R} + \frac{5}{R}

Arbeitsratenprobleme

Wenn zwei Maschinen mit gleicher Zykluszeit arbeiten, addieren sich ihre kombinierten Leistungsraten direkt.

Beispiel:

Maschine A produziert xt\frac{x}{t} Einheiten und Maschine B produziert yt\frac{y}{t} Einheiten pro Stunde. Zusammen: x+yt\frac{x+y}{t} Einheiten pro Stunde.

2Probiere es selbst

Arbeiter A erledigt 2h\frac{2}{h} Aufgaben pro Stunde und Arbeiter B erledigt 3h\frac{3}{h} Aufgaben pro Stunde.

Wie hoch ist ihre kombinierte Rate?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Addiere: 2h+3h\frac{2}{h} + \frac{3}{h}

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Um rationale Ausdrücke mit gleichen Nennern zu addieren, addiere die Zähler und behalte den Nenner bei: AC+BC=A+BC\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}
  • 2Fasse gleichartige Terme im Zähler nach dem Addieren zusammen
  • 3Faktorisiere und vereinfache das Ergebnis wenn möglich
  • 4Gib Definitionsbereich-Einschränkungen an, wo der Nenner null wird
  • 5Diese Regel gilt für beliebig viele rationale Ausdrücke mit gleichem Nenner

Häufig gestellte Fragen

Das Addieren von Brüchen bedeutet, Teile desselben Ganzen zu kombinieren. Wenn beide Brüche in gleich viele Teile aufgeteilt sind (gleicher Nenner), zählst du nur, wie viele Teile du insgesamt hast. Die Größe jedes Teils (Nenner) bleibt gleich.
Das Addieren von Brüchen bedeutet, Teile desselben Ganzen zu kombinieren. Wenn beide Brüche in gleich viele Teile aufgeteilt sind (gleicher Nenner), zählst du nur, wie viele Teile du insgesamt hast. Die Größe jedes Teils (Nenner) bleibt gleich.
Wenn nach dem Addieren der Zähler gleich dem Nenner ist (wie x+3x+3\frac{x+3}{x+3}), vereinfacht sich der Ausdruck zu 1, aber nur für Werte, bei denen der Nenner nicht null ist.
Nein, du kannst gemeinsame Faktoren erst nach dem Kombinieren der Zähler kürzen. Jeder Bruch muss als Ganzes behandelt werden, bis sie kombiniert sind.

Glossar

Rationaler Ausdruck
Ein Bruch, bei dem der Zähler und/oder Nenner ein Polynom enthält
Gleiche Nenner
Brüche, die genau denselben Ausdruck in ihren Nennern haben
Definitionsbereich-Einschränkung
Werte der Variable, die den Nenner null machen und ausgeschlossen werden müssen
Vereinfachen
Einen Bruch reduzieren, indem gemeinsame Faktoren in Zähler und Nenner gekürzt werden
Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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