Addition mit linearen Nennern

Vereinfache: $\frac{2}{x+3} + \frac{5}{x-2}$

Identifiziere die Nenner: Nenner 1: $(x+3)$, Nenner 2: $(x-2)$ = Beide sind linear, keine gemeinsamen Faktoren

Finde das kgV: kgV = $(x+3)(x-2)$ = Multipliziere die verschiedenen Faktoren

Schreibe den ersten Bruch um: $\frac{2}{x+3} \cdot \frac{x-2}{x-2} = \frac{2(x-2)}{(x+3)(x-2)}$ = $\frac{2x-4}{(x+3)(x-2)}$

Schreibe den zweiten Bruch um: $\frac{5}{x-2} \cdot \frac{x+3}{x+3} = \frac{5(x+3)}{(x+3)(x-2)}$ = $\frac{5x+15}{(x+3)(x-2)}$

Addiere die Zähler: $\frac{2x-4+5x+15}{(x+3)(x-2)}$ = $\frac{7x+11}{(x+3)(x-2)}$

Answer: $\frac{7x+11}{(x+3)(x-2)}$ oder $\frac{7x+11}{x^2+x-6}$

Addition mit faktorisierbarem Nenner

Vereinfache: $\frac{3}{x^2-4} + \frac{2}{x+2}$

Faktorisiere alle Nenner: $x^2-4 = (x+2)(x-2)$ = Erster Nenner als Differenz von Quadraten

Finde das kgV: kgV = $(x+2)(x-2)$ = $(x+2)$ ist bereits in der faktorisierten Form

Schreibe Brüche mit kgV um: $\frac{3}{(x+2)(x-2)}$ bleibt gleich; $\frac{2}{x+2} \cdot \frac{x-2}{x-2} = \frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)}$ = Beide haben jetzt den gleichen Nenner

Addiere die Zähler: $\frac{3 + 2(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{3 + 2x - 4}{(x+2)(x-2)}$ = $\frac{2x-1}{(x+2)(x-2)}$

Prüfe auf Vereinfachung: $2x-1$ lässt sich nicht mit $(x+2)$ oder $(x-2)$ faktorisieren = Bereits in einfachster Form

Answer: $\frac{2x-1}{(x+2)(x-2)}$ oder $\frac{2x-1}{x^2-4}$

Addition von drei rationalen Ausdrücken

Vereinfache: $\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-1}$

Identifiziere alle Nenner: $x$, $(x+1)$, $(x-1)$ = Drei verschiedene lineare Faktoren

Finde das kgV: kgV = $x(x+1)(x-1)$ = Produkt aller Faktoren

Schreibe jeden Bruch um: $\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+1)(x-1)} + \frac{2x(x-1)}{x(x+1)(x-1)} + \frac{3x(x+1)}{x(x+1)(x-1)}$ = Alle Brüche haben jetzt das kgV

Expandiere die Zähler: $(x^2-1) + (2x^2-2x) + (3x^2+3x)$ = $6x^2 + x - 1$

Schreibe die Endantwort: $\frac{6x^2+x-1}{x(x+1)(x-1)}$ = Prüfe, ob der Zähler faktorisiert werden kann

Answer: $\frac{6x^2+x-1}{x(x+1)(x-1)}$ oder $\frac{6x^2+x-1}{x^3-x}$

Mistake: Vergessen, Nenner zuerst zu faktorisieren

Why: Ohne Faktorisierung könntest du gemeinsame Faktoren übersehen und ein größeres kgV als nötig erstellen, was das Problem schwieriger macht.

Correct: Faktorisiere immer jeden Nenner vollständig, bevor du das kgV findest. Zum Beispiel: $x^2-9 = (x+3)(x-3)$.

Mistake: Nenner addieren statt kgV zu finden

Why: Im Gegensatz zu Zählern werden Nenner nicht zusammenaddiert. Das kgV muss alle Faktoren aus jedem Nenner enthalten.

Correct: $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3} \neq \frac{2}{2x+5}$. Das kgV ist $(x+2)(x+3)$.

Mistake: Vergessen, sowohl Zähler als auch Nenner zu multiplizieren

Why: Beim Umwandeln zum kgV musst du mit einer Form von 1 multiplizieren (gleicher Ausdruck über sich selbst), um den Wert unverändert zu lassen.

Correct: $\frac{2}{x+1} = \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}$, nicht $\frac{2}{(x+1)(x-1)}$.

Mistake: Die Endantwort nicht vereinfachen

Why: Nach der Addition könnte der resultierende Zähler einen gemeinsamen Faktor mit dem Nenner haben.

Correct: Prüfe immer, ob der Zähler faktorisiert werden kann und ob Faktoren mit dem Nenner gekürzt werden können.

Parallelwiderstände in der Elektronik

Wenn Widerstände parallel geschaltet sind, wird der Gesamtwiderstand mit einer Formel mit ungleichen Nennern berechnet.

Für zwei Widerstände von $R_1 = x$ Ohm und $R_2 = x+2$ Ohm parallel: $\frac{1}{R_{gesamt}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{2x+2}{x(x+2)}$

Kombinierte Arbeitsratenprobleme

Wenn zwei Personen zusammenarbeiten, beinhaltet ihre kombinierte Rate die Addition von Brüchen mit verschiedenen Nennern.

Wenn Arbeiter A eine Aufgabe in $x$ Stunden erledigt und Arbeiter B in $(x+2)$ Stunden, ist ihre kombinierte Rate $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{2x+2}{x(x+2)}$ Aufgaben pro Stunde.

Q: Wie finde ich das kgV von zwei rationalen Ausdrücken?

A: Faktorisiere jeden Nenner vollständig. Das kgV enthält jeden Faktor in der höchsten Potenz, in der er in einem Nenner vorkommt. Zum Beispiel: Für $\frac{1}{x^2(x+1)}$ und $\frac{1}{x(x+1)^2}$ ist das kgV $x^2(x+1)^2$.

Q: Was ist, wenn die Nenner einen gemeinsamen Faktor haben?

A: Wenn Nenner Faktoren teilen, nimm jeden geteilten Faktor nur einmal ins kgV auf. Zum Beispiel: $(x+2)(x-1)$ und $(x+2)(x+3)$ teilen $(x+2)$, also ist das kgV $(x+2)(x-1)(x+3)$.

Q: Muss ich den Nenner in meiner Endantwort ausmultiplizieren?

A: Beide Formen sind akzeptabel. Die faktorisierte Form $(x+2)(x-3)$ wird oft bevorzugt, weil sie Definitionsbereichseinschränkungen klarer macht und Vereinfachung erleichtert. Die ausmultiplizierte Form $x^2-x-6$ kann in manchen Kontexten verlangt werden.