Addition rationaler Ausdrücke (ungleiche Nenner)

Lerne, wie man rationale Ausdrücke mit verschiedenen Nennern durch Finden des kgV addiert.

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Definition

Um rationale Ausdrücke mit ungleichen Nennern zu addieren, müssen wir zuerst einen gemeinsamen Nenner finden. Der Prozess ist ähnlich wie bei der Addition von Zahlenbrüchen:
ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}
Für rationale Ausdrücke:
  1. 1.Faktorisiere jeden Nenner vollständig
  2. 2.Finde das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)
  3. 3.Schreibe jeden Bruch mit dem kgV um
  4. 4.Addiere die Zähler
  5. 5.Vereinfache wenn möglich
2x+1+3x−1=2(x−1)+3(x+1)(x+1)(x−1)=5x+1x2−1\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{5x+1}{x^2-1}

Probier es gleich aus

Was ist das kgV von 1x\frac{1}{x} und 1x+2\frac{1}{x+2}?

Lösungsbeispiele

Vereinfache: 2x+3+5x−2\frac{2}{x+3} + \frac{5}{x-2}
1

Identifiziere die Nenner

Nenner 1: (x+3)(x+3), Nenner 2: (x−2)(x-2) → Beide sind linear, keine gemeinsamen Faktoren
2

Finde das kgV

kgV = (x+3)(x−2)(x+3)(x-2) → Multipliziere die verschiedenen Faktoren
3

Schreibe den ersten Bruch um

2x+3⋅x−2x−2=2(x−2)(x+3)(x−2)\frac{2}{x+3} \cdot \frac{x-2}{x-2} = \frac{2(x-2)}{(x+3)(x-2)} → 2x−4(x+3)(x−2)\frac{2x-4}{(x+3)(x-2)}
4

Schreibe den zweiten Bruch um

5x−2⋅x+3x+3=5(x+3)(x+3)(x−2)\frac{5}{x-2} \cdot \frac{x+3}{x+3} = \frac{5(x+3)}{(x+3)(x-2)} → 5x+15(x+3)(x−2)\frac{5x+15}{(x+3)(x-2)}
5

Addiere die Zähler

2x−4+5x+15(x+3)(x−2)\frac{2x-4+5x+15}{(x+3)(x-2)} → 7x+11(x+3)(x−2)\frac{7x+11}{(x+3)(x-2)}

Häufige Fehler

Vergessen, Nenner zuerst zu faktorisieren

Warum es falsch ist: Ohne Faktorisierung könntest du gemeinsame Faktoren übersehen und ein größeres kgV als nötig erstellen, was das Problem schwieriger macht.

Richtig: Faktorisiere immer jeden Nenner vollständig, bevor du das kgV findest. Zum Beispiel: x2−9=(x+3)(x−3)x^2-9 = (x+3)(x-3).

Nenner addieren statt kgV zu finden

Warum es falsch ist: Im Gegensatz zu Zählern werden Nenner nicht zusammenaddiert. Das kgV muss alle Faktoren aus jedem Nenner enthalten.

Richtig: 1x+2+1x+3≠22x+5\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3} \neq \frac{2}{2x+5}. Das kgV ist (x+2)(x+3)(x+2)(x+3).

Vergessen, sowohl Zähler als auch Nenner zu multiplizieren

Warum es falsch ist: Beim Umwandeln zum kgV musst du mit einer Form von 1 multiplizieren (gleicher Ausdruck über sich selbst), um den Wert unverändert zu lassen.

Richtig: 2x+1=2(x−1)(x+1)(x−1)\frac{2}{x+1} = \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}, nicht 2(x+1)(x−1)\frac{2}{(x+1)(x-1)}.

Die Endantwort nicht vereinfachen

Warum es falsch ist: Nach der Addition könnte der resultierende Zähler einen gemeinsamen Faktor mit dem Nenner haben.

Richtig: Prüfe immer, ob der Zähler faktorisiert werden kann und ob Faktoren mit dem Nenner gekürzt werden können.

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Einfach
Was ist das kgV von 1x\frac{1}{x} und 1x+2\frac{1}{x+2}?

Warum es wichtig ist

Die Addition rationaler Ausdrücke mit ungleichen Nennern erscheint in vielen praktischen Anwendungen:
  • Physik: Kombinieren von Widerständen in Parallelschaltungen: 1Rgesamt=1R1+1R2\frac{1}{R_{gesamt}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}
  • Arbeitsaufgaben: Wenn ein Arbeiter eine Aufgabe in xx Stunden erledigt und ein anderer in yy Stunden, erledigen sie zusammen 1x+1y\frac{1}{x} + \frac{1}{y} der Arbeit pro Stunde
  • Optik: Die Linsengleichung: 1f=1do+1di\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}
  • Ratenprobleme: Kombinieren verschiedener Produktions- oder Reisegeschwindigkeiten
Diese Fähigkeit zu beherrschen ist wesentlich für das Lösen komplexer algebraischer Gleichungen und realer Optimierungsprobleme.

Anwendungen im echten Leben

Parallelwiderstände in der Elektronik

Wenn Widerstände parallel geschaltet sind, wird der Gesamtwiderstand mit einer Formel mit ungleichen Nennern berechnet.

Beispiel:

Für zwei Widerstände von R1=xR_1 = x Ohm und R2=x+2R_2 = x+2 Ohm parallel: 1Rgesamt=1x+1x+2=2x+2x(x+2)\frac{1}{R_{gesamt}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{2x+2}{x(x+2)}

1Probiere es selbst

Du hast zwei Widerstände: einen mit xx Ohm und einen mit (x+3)(x+3) Ohm parallel geschaltet.

Finde einen Ausdruck für den Gesamtwiderstand.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Finde zuerst 1Rgesamt=1x+1x+3\frac{1}{R_{gesamt}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3}

Kombinierte Arbeitsratenprobleme

Wenn zwei Personen zusammenarbeiten, beinhaltet ihre kombinierte Rate die Addition von Brüchen mit verschiedenen Nennern.

Beispiel:

Wenn Arbeiter A eine Aufgabe in xx Stunden erledigt und Arbeiter B in (x+2)(x+2) Stunden, ist ihre kombinierte Rate 1x+1x+2=2x+2x(x+2)\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{2x+2}{x(x+2)} Aufgaben pro Stunde.

2Probiere es selbst

Maschine A produziert eine Charge in tt Stunden. Maschine B produziert die gleiche Charge in (t+4)(t+4) Stunden.

Welchen Bruchteil der Charge produzieren beide Maschinen zusammen in einer Stunde?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Kombinierte Rate = 1t+1t+4\frac{1}{t} + \frac{1}{t+4}

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Um rationale Ausdrücke mit ungleichen Nennern zu addieren, faktorisiere zuerst alle Nenner vollständig
  • 2Finde das kgV, indem du jeden Faktor so oft einschließt, wie er maximal in einem Nenner vorkommt
  • 3Multipliziere jeden Bruch mit einer Form von 1, um zum kgV umzuwandeln
  • 4Addiere die Zähler und behalte den gemeinsamen Nenner
  • 5Vereinfache das Ergebnis durch Faktorisieren und Kürzen gemeinsamer Faktoren

Häufig gestellte Fragen

Faktorisiere jeden Nenner vollständig. Das kgV enthält jeden Faktor in der höchsten Potenz, in der er in einem Nenner vorkommt. Zum Beispiel: Für 1x2(x+1)\frac{1}{x^2(x+1)} und 1x(x+1)2\frac{1}{x(x+1)^2} ist das kgV x2(x+1)2x^2(x+1)^2.
Faktorisiere jeden Nenner vollständig. Das kgV enthält jeden Faktor in der höchsten Potenz, in der er in einem Nenner vorkommt. Zum Beispiel: Für 1x2(x+1)\frac{1}{x^2(x+1)} und 1x(x+1)2\frac{1}{x(x+1)^2} ist das kgV x2(x+1)2x^2(x+1)^2.
Wenn Nenner Faktoren teilen, nimm jeden geteilten Faktor nur einmal ins kgV auf. Zum Beispiel: (x+2)(x−1)(x+2)(x-1) und (x+2)(x+3)(x+2)(x+3) teilen (x+2)(x+2), also ist das kgV (x+2)(x−1)(x+3)(x+2)(x-1)(x+3).
Beide Formen sind akzeptabel. Die faktorisierte Form (x+2)(x−3)(x+2)(x-3) wird oft bevorzugt, weil sie Definitionsbereichseinschränkungen klarer macht und Vereinfachung erleichtert. Die ausmultiplizierte Form x2−x−6x^2-x-6 kann in manchen Kontexten verlangt werden.

Glossar

Rationaler Ausdruck
Ein Bruch, bei dem Zähler und/oder Nenner ein Polynom enthält
kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)
Der kleinste Ausdruck, der durch alle Nenner in einem Problem teilbar ist
Ungleiche Nenner
Nenner, die nicht identisch sind und das Finden eines gemeinsamen Nenners erfordern
Faktorisieren
Einen Ausdruck als Produkt einfacherer Ausdrücke schreiben

Formelkarte

Addition zweier rationaler Ausdrücke

ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

Allgemeine Formel wenn Nenner keine gemeinsamen Faktoren haben

kgV-Methode

aP+bQ=a⋅kgVP+b⋅kgVQkgV\frac{a}{P} + \frac{b}{Q} = \frac{a \cdot \frac{kgV}{P} + b \cdot \frac{kgV}{Q}}{kgV}

Schreibe jeden Bruch mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner um

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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