Einführung in rationale Ausdrücke

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welches der folgenden ist ein rationaler Ausdruck?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
ist der einzige rationale Ausdruck. Die anderen enthalten nicht-polynomiale Elemente: (Wurzel), (Exponential), (Betrag).
2.
Für den Ausdruck , welcher Wert von macht ihn undefiniert?
Lösung: 3
Der Ausdruck ist undefiniert, wenn der Nenner null ist. ergibt .
3.
Was stimmt über den Ausdruck ?
1. a)Er ist undefiniert wenn
2. b)Er ist ein rationaler Ausdruck ohne Einschränkungen
3. c)Er ist kein rationaler Ausdruck
4. d)Er ist undefiniert wenn
Lösung: Er ist ein rationaler Ausdruck ohne Einschränkungen
Da der Nenner ist (eine Konstante), kann er niemals null sein. Dieser rationale Ausdruck ist für alle reellen Werte von definiert.
4.
Berechne für .
Lösung: 2
5.
Finde den Wert, der undefiniert macht.
Lösung: -4
1. Welchen Teil setzen wir gleich null - Zähler oder Nenner? Nenner
2. Schreibe die Gleichung: Nenner = 0 x + 4 = 0
3. Löse nach -4
6.
Für den Ausdruck , wie viele Werte von machen ihn undefiniert?
1. a)2
2. b)0
3. c)1
4. d)4
Lösung: 2
wenn oder . Also gibt es 2 ausgeschlossene Werte.
7.
Für ist eine Einschränkung . Was ist die andere Einschränkung?
Lösung: -5
. Die Faktoren sind null wenn oder .
8.
Finde alle Einschränkungen für .
Lösung: 3, 4
1. Setze den Nenner gleich null x^2 - 7x + 12 = 0
2. Welche zwei Zahlen multiplizieren zu 12 und addieren zu -7? -3, -4
3. Faktorisiere die quadratische Gleichung (x - 3)(x - 4)
4. Was sind die zwei Einschränkungen? 3, 4
9.
Welche Aussage über ist richtig?
1. a)Er ist gleich
2. b)Er ist undefiniert für alle
3. c)Er ist undefiniert wenn
4. d)Er ist gleich 0 für alle
Lösung: Er ist gleich 0 für alle
solange der Nenner nicht null ist. Die einzige Einschränkung ist .
10.
Berechne für .
Lösung: 7
Einschränkung ist . Da , können wir berechnen: .
11.
Finde alle Einschränkungen für .
Lösung: -3, 2
1. Welche zwei Zahlen multiplizieren zu -6 und addieren zu 1? 3, -2
2. Faktorisiere den Nenner (x + 3)(x - 2)
3. Welche Werte machen jeden Faktor null? -3, 2
12.
Welcher Ausdruck ist KEIN rationaler Ausdruck?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
, was einen negativen Exponenten enthält. ist KEIN Polynom, also ist dies kein rationaler Ausdruck in Standardform.
13.
Wie viele Einschränkungen hat ?
Lösung: 3
. Drei Faktoren ergeben drei Einschränkungen: , , .
14.
Finde alle Werte, die undefiniert machen.
Lösung: -2, 0, 2
1. Klammere den GGT aus dem Nenner aus x(x^2 - 4)
2. Faktorisiere (Differenz von Quadraten) (x + 2)(x - 2)
3. Schreibe den vollständig faktorisierten Nenner x(x + 2)(x - 2)
4. Liste alle drei Einschränkungen auf -2, 0, 2
15.
Für welchen Wert von ist undefiniert, aber definiert?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Erster Ausdruck: Einschränkungen bei . Zweiter Ausdruck: Einschränkung bei . Bei ist nur der erste undefiniert, während der zweite ist.
16.
Für welche Werte von ist undefiniert?
Lösung: -2, 2
1. Setze den Nenner gleich null 2x^2 - 8 = 0
2. Klammere den GGT aus 2(x^2 - 4) = 0
3. Faktorisiere die Differenz von Quadraten 2(x + 2)(x - 2) = 0
4. Was sind die zwei Einschränkungen? -2, 2
17.
Was ist das Ergebnis von für jeden reellen Wert von ?
1. a)
2. b)1
3. c)0
4. d)Undefiniert
Lösung: 0
Da für alle reellen , haben wir . Der Nenner ist niemals null, also ist der Ausdruck für alle reellen gleich .
18.
Berechne für .
Lösung: 10