Einfache Subtraktion mit Monomen

Vereinfache: $\frac{7x}{x + 3} - \frac{2x}{x + 3}$

Überprüfe, ob die Nenner gleich sind: Beide haben den Nenner $(x + 3)$ = Gleiche Nenner bestätigt

Subtrahiere die Zähler: $7x - 2x = 5x$ = $\frac{5x}{x + 3}$

Prüfe, ob das Ergebnis vereinfacht werden kann: $5x$ und $(x + 3)$ haben keine gemeinsamen Faktoren = Keine weitere Vereinfachung möglich

Answer: $\frac{5x}{x + 3}$

Subtraktion mit binomischen Zählern

Vereinfache: $\frac{4x + 7}{x - 5} - \frac{x + 2}{x - 5}$

Überprüfe, ob die Nenner übereinstimmen: Beide haben den Nenner $(x - 5)$ = Gleiche Nenner bestätigt

Setze die Subtraktion mit Klammern auf: $\frac{(4x + 7) - (x + 2)}{x - 5}$ = Klammern schützen den zweiten Zähler

Verteile das Minuszeichen: $4x + 7 - x - 2$ = Das $+2$ wird zu $-2$

Fasse gleichartige Terme zusammen: $(4x - x) + (7 - 2) = 3x + 5$ = $\frac{3x + 5}{x - 5}$

Prüfe auf Vereinfachung: Keine gemeinsamen Faktoren zwischen $3x + 5$ und $x - 5$ = Endergebnis

Answer: $\frac{3x + 5}{x - 5}$

Subtraktion mit erforderlicher Vereinfachung

Vereinfache: $\frac{x^2 + 3x}{x + 2} - \frac{2x}{x + 2}$

Überprüfe die gleichen Nenner: Beide haben den Nenner $(x + 2)$ = Gleiche Nenner bestätigt

Subtrahiere die Zähler: $\frac{x^2 + 3x - 2x}{x + 2}$ = $\frac{x^2 + x}{x + 2}$

Faktorisiere den Zähler: $x^2 + x = x(x + 1)$ = $\frac{x(x + 1)}{x + 2}$

Prüfe auf gemeinsame Faktoren: Keine gemeinsamen Faktoren zwischen $x(x+1)$ und $(x+2)$ = Keine weitere Vereinfachung möglich

Answer: $\frac{x(x + 1)}{x + 2}$ oder äquivalent $\frac{x^2 + x}{x + 2}$

Subtraktion mit entgegengesetzten Vorzeichen

Vereinfache: $\frac{2x - 3}{x^2 - 4} - \frac{x - 7}{x^2 - 4}$

Bestätige gleiche Nenner: Beide haben den Nenner $x^2 - 4$ = Gleiche Nenner bestätigt

Schreibe die Subtraktion mit Klammern: $\frac{(2x - 3) - (x - 7)}{x^2 - 4}$ = Bereit zum Verteilen des Minuszeichens

Verteile das Minuszeichen sorgfältig: $2x - 3 - x + 7$ = Das $-7$ wird zu $+7$

Fasse gleichartige Terme zusammen: $(2x - x) + (-3 + 7) = x + 4$ = $\frac{x + 4}{x^2 - 4}$

Faktorisiere den Nenner und prüfe: $x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$ = Keine gemeinsamen Faktoren mit $(x + 4)$

Answer: $\frac{x + 4}{x^2 - 4}$ oder $\frac{x + 4}{(x+2)(x-2)}$

Subtraktion, die vollständig vereinfacht wird

Vereinfache: $\frac{3x + 6}{x + 2} - \frac{x + 4}{x + 2}$

Überprüfe die gleichen Nenner: Beide haben $(x + 2)$ = Gleiche Nenner bestätigt

Subtrahiere mit Klammern: $\frac{(3x + 6) - (x + 4)}{x + 2}$ = Aufgestellt für die Verteilung

Verteile das Minuszeichen: $3x + 6 - x - 4$ = Alle Vorzeichen verteilt

Fasse gleichartige Terme zusammen: $(3x - x) + (6 - 4) = 2x + 2$ = $\frac{2x + 2}{x + 2}$

Faktorisiere den Zähler: $2x + 2 = 2(x + 1)$ = $\frac{2(x + 1)}{x + 2}$

Prüfe auf Kürzungsmöglichkeiten: $(x + 1)$ und $(x + 2)$ sind verschiedene Faktoren = Keine Kürzung möglich

Answer: $\frac{2(x + 1)}{x + 2}$ oder $\frac{2x + 2}{x + 2}$

Mistake: Vergessen, das Minuszeichen auf alle Terme zu verteilen

Why: Wenn du $(x - 3)$ subtrahierst, gilt das Minus für beide Terme: $-x$ UND $+3$.

Correct: Verwende immer Klammern: $(5x + 2) - (x - 3) = 5x + 2 - x + 3 = 4x + 5$

Mistake: Die Nenner auch subtrahieren

Why: Bei gleichen Nennern ändern sich nur die Zähler. Der Nenner bleibt gleich.

Correct: $\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A - B}{C}$, NICHT $\frac{A - B}{C - C}$

Mistake: Das Endergebnis nicht vereinfachen

Why: Nach dem Subtrahieren immer faktorisieren und nach gemeinsamen Faktoren zum Kürzen suchen.

Correct: Wenn du $\frac{2x + 4}{x + 2}$ erhältst, faktorisiere zu $\frac{2(x + 2)}{x + 2} = 2$

Mistake: Klammern vor dem Verteilen weglassen

Why: Wenn du $\frac{A - B}{C}$ ohne Klammern um $B$ schreibst, kann das zu Vorzeichenfehlern führen.

Correct: Schreibe immer zuerst $\frac{(A) - (B)}{C}$, dann verteile

Gewinnmargenanalyse

Unternehmen berechnen Nettogewinnmargen, indem sie Kostenverhältnisse von Umsatzverhältnissen subtrahieren.

Wenn der Umsatz pro Einheit $\frac{5x + 100}{x}$ und die Kosten pro Einheit $\frac{3x + 60}{x}$ betragen, ist der Gewinn pro Einheit $\frac{5x + 100 - 3x - 60}{x} = \frac{2x + 40}{x}$.

Physik: Relativbewegung

Bei der Berechnung von Relativgeschwindigkeiten oder Ratendifferenzen subtrahieren wir oft rationale Ausdrücke.

Wenn sich Objekt A mit $\frac{d}{t-2}$ und Objekt B mit $\frac{d-10}{t-2}$ bewegt, beinhaltet ihre relative Position $\frac{d - (d-10)}{t-2} = \frac{10}{t-2}$.

Q: Warum brauche ich Klammern beim Subtrahieren?

A: Klammern stellen sicher, dass du das Minuszeichen auf alle Terme verteilst. Ohne sie könntest du nur den ersten Term negieren und die falsche Antwort bekommen.

Q: Was ist, wenn meine Antwort faktorisiert werden kann, aber nicht vereinfacht?

A: Das ist in Ordnung! Solange es keine gemeinsamen Faktoren zwischen Zähler und Nenner gibt, ist deine faktorisierte Form die Endantwort.

Q: Kann das Ergebnis null sein?

A: Ja! Wenn die Zähler identisch sind, ergibt die Subtraktion $\frac{0}{C} = 0$ (wobei $C \neq 0$).