Subtraktion rationaler Ausdrücke (gleiche Nenner)
Lerne, wie man rationale Ausdrücke mit gleichem Nenner subtrahiert, indem man die Zähler kombiniert.
Definition
Probier es gleich aus
Lösungsbeispiele
Vereinfache:
Überprüfe, ob die Nenner gleich sind
Beide haben den Nenner → Gleiche Nenner bestätigt
Subtrahiere die Zähler
→
Prüfe, ob das Ergebnis vereinfacht werden kann
und haben keine gemeinsamen Faktoren → Keine weitere Vereinfachung möglich
Antwort:
Häufige Fehler
Vergessen, das Minuszeichen auf alle Terme zu verteilen
Warum es falsch ist: Wenn du subtrahierst, gilt das Minus für beide Terme: UND .
Richtig: Verwende immer Klammern:
Die Nenner auch subtrahieren
Warum es falsch ist: Bei gleichen Nennern ändern sich nur die Zähler. Der Nenner bleibt gleich.
Richtig: , NICHT
Das Endergebnis nicht vereinfachen
Warum es falsch ist: Nach dem Subtrahieren immer faktorisieren und nach gemeinsamen Faktoren zum Kürzen suchen.
Richtig: Wenn du erhältst, faktorisiere zu
Klammern vor dem Verteilen weglassen
Warum es falsch ist: Wenn du ohne Klammern um schreibst, kann das zu Vorzeichenfehlern führen.
Richtig: Schreibe immer zuerst , dann verteile
Interaktiver Sandkasten
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Probiere diese:
Verlauf
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Übungsaufgaben
16 AufgabenWas ist der erste Schritt beim Subtrahieren von ?
Warum es wichtig ist
- Gleichungen lösen: Viele algebraische Gleichungen erfordern das Kombinieren rationaler Ausdrücke
- Physik: Berechnung von Differenzen bei Raten, Geschwindigkeiten oder elektrischen Widerständen
- Wirtschaft: Ermittlung der Differenz zwischen Kosten- und Erlösfunktionen
- Ingenieurwesen: Berechnung von Unterschieden bei Signalfrequenzen oder Übertragungsfunktionen
Anwendungen im echten Leben
Gewinnmargenanalyse
Unternehmen berechnen Nettogewinnmargen, indem sie Kostenverhältnisse von Umsatzverhältnissen subtrahieren.
Beispiel:
Wenn der Umsatz pro Einheit und die Kosten pro Einheit betragen, ist der Gewinn pro Einheit .
Die Umsatzfunktion eines Unternehmens ist und die Ausgaben betragen pro Produkt.
Wie lautet der vereinfachte Gewinnausdruck?
Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck
Subtrahiere die Ausgaben vom Umsatz:
Physik: Relativbewegung
Bei der Berechnung von Relativgeschwindigkeiten oder Ratendifferenzen subtrahieren wir oft rationale Ausdrücke.
Beispiel:
Wenn sich Objekt A mit und Objekt B mit bewegt, beinhaltet ihre relative Position .
Zwei Signale bewegen sich mit Raten von und Metern pro Sekunde.
Was ist die Differenz ihrer Raten?
Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck
Subtrahiere die zweite Rate von der ersten:
Wichtige Erkenntnisse
- 1Subtraktion rationaler Ausdrücke mit gleichen Nennern:
- 2Verwende immer Klammern um den zweiten Zähler, bevor du das Minuszeichen verteilst
- 3Das Minuszeichen muss auf JEDEN Term im subtrahierten Ausdruck verteilt werden
- 4Nach dem Subtrahieren fasse gleichartige Terme zusammen und vereinfache durch Faktorisieren
- 5Prüfe, ob das Endergebnis durch Kürzen gemeinsamer Faktoren reduziert werden kann
Häufig gestellte Fragen
Glossar
- Rationaler Ausdruck
- Ein Bruch, bei dem Zähler und/oder Nenner Variablen enthalten (Polynome)
- Gleiche Nenner
- Brüche, die genau denselben Ausdruck in ihren Nennern haben
- Verteilen
- Eine Operation (wie Negation) auf jeden Term innerhalb von Klammern anwenden
- Vereinfachen
- Einen rationalen Ausdruck reduzieren, indem gemeinsame Faktoren aus Zähler und Nenner gekürzt werden
Formelkarte
Subtraktion mit gleichen Nennern
Subtrahiere Zähler, behalte den gemeinsamen Nenner
Minuszeichen verteilen
Das Minus ändert alle Vorzeichen im zweiten Ausdruck