Subtraktion rationaler Ausdrücke (gleiche Nenner)

Lerne, wie man rationale Ausdrücke mit gleichem Nenner subtrahiert, indem man die Zähler kombiniert.

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Definition

Um rationale Ausdrücke mit gleichen Nennern zu subtrahieren, subtrahiere die Zähler und behalte den gemeinsamen Nenner:
AC−BC=A−BC\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A - B}{C}
wobei C≠0C \neq 0.
Kritischer Schritt: Beim Subtrahieren musst du das Minuszeichen auf jeden Term im zweiten Zähler verteilen:
3x+5x−2−x−1x−2=(3x+5)−(x−1)x−2=3x+5−x+1x−2=2x+6x−2\frac{3x + 5}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = \frac{(3x + 5) - (x - 1)}{x - 2} = \frac{3x + 5 - x + 1}{x - 2} = \frac{2x + 6}{x - 2}
Vereinfache das Endergebnis immer, wenn möglich.

Probier es gleich aus

Was ist der erste Schritt beim Subtrahieren von 5xx+2−3xx+2\frac{5x}{x+2} - \frac{3x}{x+2}?

Lösungsbeispiele

Vereinfache: 7xx+3−2xx+3\frac{7x}{x + 3} - \frac{2x}{x + 3}
1

Überprüfe, ob die Nenner gleich sind

Beide haben den Nenner (x+3)(x + 3) → Gleiche Nenner bestätigt
2

Subtrahiere die Zähler

7x−2x=5x7x - 2x = 5x → 5xx+3\frac{5x}{x + 3}
3

Prüfe, ob das Ergebnis vereinfacht werden kann

5x5x und (x+3)(x + 3) haben keine gemeinsamen Faktoren → Keine weitere Vereinfachung möglich

Häufige Fehler

Vergessen, das Minuszeichen auf alle Terme zu verteilen

Warum es falsch ist: Wenn du (x−3)(x - 3) subtrahierst, gilt das Minus für beide Terme: −x-x UND +3+3.

Richtig: Verwende immer Klammern: (5x+2)−(x−3)=5x+2−x+3=4x+5(5x + 2) - (x - 3) = 5x + 2 - x + 3 = 4x + 5

Die Nenner auch subtrahieren

Warum es falsch ist: Bei gleichen Nennern ändern sich nur die Zähler. Der Nenner bleibt gleich.

Richtig: AC−BC=A−BC\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A - B}{C}, NICHT A−BC−C\frac{A - B}{C - C}

Das Endergebnis nicht vereinfachen

Warum es falsch ist: Nach dem Subtrahieren immer faktorisieren und nach gemeinsamen Faktoren zum Kürzen suchen.

Richtig: Wenn du 2x+4x+2\frac{2x + 4}{x + 2} erhältst, faktorisiere zu 2(x+2)x+2=2\frac{2(x + 2)}{x + 2} = 2

Klammern vor dem Verteilen weglassen

Warum es falsch ist: Wenn du A−BC\frac{A - B}{C} ohne Klammern um BB schreibst, kann das zu Vorzeichenfehlern führen.

Richtig: Schreibe immer zuerst (A)−(B)C\frac{(A) - (B)}{C}, dann verteile

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Übungsaufgaben

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Aufgabe 1 von 16
Einfach
Was ist der erste Schritt beim Subtrahieren von 5xx+2−3xx+2\frac{5x}{x+2} - \frac{3x}{x+2}?

Warum es wichtig ist

Die Subtraktion rationaler Ausdrücke ist in der Algebra und darüber hinaus wesentlich:
  • Gleichungen lösen: Viele algebraische Gleichungen erfordern das Kombinieren rationaler Ausdrücke
  • Physik: Berechnung von Differenzen bei Raten, Geschwindigkeiten oder elektrischen Widerständen
  • Wirtschaft: Ermittlung der Differenz zwischen Kosten- und Erlösfunktionen
  • Ingenieurwesen: Berechnung von Unterschieden bei Signalfrequenzen oder Übertragungsfunktionen
Diese Fähigkeit zu beherrschen bildet die Grundlage für die Arbeit mit komplexen algebraischen Ausdrücken.

Anwendungen im echten Leben

Gewinnmargenanalyse

Unternehmen berechnen Nettogewinnmargen, indem sie Kostenverhältnisse von Umsatzverhältnissen subtrahieren.

Beispiel:

Wenn der Umsatz pro Einheit 5x+100x\frac{5x + 100}{x} und die Kosten pro Einheit 3x+60x\frac{3x + 60}{x} betragen, ist der Gewinn pro Einheit 5x+100−3x−60x=2x+40x\frac{5x + 100 - 3x - 60}{x} = \frac{2x + 40}{x}.

1Probiere es selbst

Die Umsatzfunktion eines Unternehmens ist 8x+200x+5\frac{8x + 200}{x + 5} und die Ausgaben betragen 3x+50x+5\frac{3x + 50}{x + 5} pro Produkt.

Wie lautet der vereinfachte Gewinnausdruck?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Subtrahiere die Ausgaben vom Umsatz:

Physik: Relativbewegung

Bei der Berechnung von Relativgeschwindigkeiten oder Ratendifferenzen subtrahieren wir oft rationale Ausdrücke.

Beispiel:

Wenn sich Objekt A mit dt−2\frac{d}{t-2} und Objekt B mit d−10t−2\frac{d-10}{t-2} bewegt, beinhaltet ihre relative Position d−(d−10)t−2=10t−2\frac{d - (d-10)}{t-2} = \frac{10}{t-2}.

2Probiere es selbst

Zwei Signale bewegen sich mit Raten von 4t+12t+3\frac{4t + 12}{t + 3} und 2t+6t+3\frac{2t + 6}{t + 3} Metern pro Sekunde.

Was ist die Differenz ihrer Raten?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Subtrahiere die zweite Rate von der ersten:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Subtraktion rationaler Ausdrücke mit gleichen Nennern: AC−BC=A−BC\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A - B}{C}
  • 2Verwende immer Klammern um den zweiten Zähler, bevor du das Minuszeichen verteilst
  • 3Das Minuszeichen muss auf JEDEN Term im subtrahierten Ausdruck verteilt werden
  • 4Nach dem Subtrahieren fasse gleichartige Terme zusammen und vereinfache durch Faktorisieren
  • 5Prüfe, ob das Endergebnis durch Kürzen gemeinsamer Faktoren reduziert werden kann

Häufig gestellte Fragen

Klammern stellen sicher, dass du das Minuszeichen auf alle Terme verteilst. Ohne sie könntest du nur den ersten Term negieren und die falsche Antwort bekommen.
Klammern stellen sicher, dass du das Minuszeichen auf alle Terme verteilst. Ohne sie könntest du nur den ersten Term negieren und die falsche Antwort bekommen.
Das ist in Ordnung! Solange es keine gemeinsamen Faktoren zwischen Zähler und Nenner gibt, ist deine faktorisierte Form die Endantwort.
Ja! Wenn die Zähler identisch sind, ergibt die Subtraktion 0C=0\frac{0}{C} = 0 (wobei C≠0C \neq 0).

Glossar

Rationaler Ausdruck
Ein Bruch, bei dem Zähler und/oder Nenner Variablen enthalten (Polynome)
Gleiche Nenner
Brüche, die genau denselben Ausdruck in ihren Nennern haben
Verteilen
Eine Operation (wie Negation) auf jeden Term innerhalb von Klammern anwenden
Vereinfachen
Einen rationalen Ausdruck reduzieren, indem gemeinsame Faktoren aus Zähler und Nenner gekürzt werden

Formelkarte

Subtraktion mit gleichen Nennern

AC−BC=A−BC\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A - B}{C}

Subtrahiere Zähler, behalte den gemeinsamen Nenner

Minuszeichen verteilen

(A)−(B−C)=A−B+C(A) - (B - C) = A - B + C

Das Minus ändert alle Vorzeichen im zweiten Ausdruck

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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