Koeffizienten bereits entgegengesetzt

Löse das Gleichungssystem: $$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ x - 2y = 1 \end{cases}$$

Identifiziere entgegengesetzte Koeffizienten: Die $y$-Koeffizienten sind $+2$ und $-2$ - sie sind entgegengesetzt! = Bereit zum Addieren

Addiere die Gleichungen: $(x + 2y) + (x - 2y) = 7 + 1$ $2x + 0y = 8$ = $2x = 8$

Löse nach $x$ auf: $2x = 8$ $x = 4$ = $x = 4$

Setze zurück ein, um $y$ zu finden: $4 + 2y = 7$ $2y = 3$ $y = 1,5$ = $y = 1,5$

Überprüfe die Lösung: Gleichung 1: $4 + 2(1,5) = 4 + 3 = 7$ ✓ Gleichung 2: $4 - 2(1,5) = 4 - 3 = 1$ ✓ = Beide Gleichungen erfüllt

Answer: Die Lösung ist $(4; 1,5)$

Multiplizieren um Gegenteile zu erzeugen

Löse das Gleichungssystem: $$\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x + y = 6 \end{cases}$$

Wähle eine Variable zum Eliminieren: Lass uns $y$ eliminieren. Die $y$-Koeffizienten müssen entgegengesetzt werden. = Ziel: $y$ eliminieren

Multipliziere Gleichung 2 mit $-2$: $-2(x + y) = -2(6)$ $-2x - 2y = -12$ = Neue Gleichung 2: $-2x - 2y = -12$

Addiere die Gleichungen: $(3x + 2y) + (-2x - 2y) = 16 + (-12)$ $x + 0y = 4$ = $x = 4$

Setze zurück ein, um $y$ zu finden: $4 + y = 6$ $y = 2$ = $y = 2$

Überprüfe die Lösung: Gleichung 1: $3(4) + 2(2) = 12 + 4 = 16$ ✓ Gleichung 2: $4 + 2 = 6$ ✓ = Beide Gleichungen erfüllt

Answer: Die Lösung ist $(4; 2)$

Beide Gleichungen multiplizieren

Löse das Gleichungssystem: $$\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases}$$

Wähle eine Variable zum Eliminieren: Lass uns $x$ eliminieren. Aktuelle Koeffizienten: $2$ und $3$. kgV ist $6$. = Benötige Koeffizienten $6$ und $-6$

Multipliziere Gleichung 1 mit $3$: $3(2x + 3y) = 3(13)$ $6x + 9y = 39$ = $6x + 9y = 39$

Multipliziere Gleichung 2 mit $-2$: $-2(3x + 2y) = -2(12)$ $-6x - 4y = -24$ = $-6x - 4y = -24$

Addiere die Gleichungen: $(6x + 9y) + (-6x - 4y) = 39 + (-24)$ $5y = 15$ = $y = 3$

Setze zurück ein, um $x$ zu finden: $2x + 3(3) = 13$ $2x + 9 = 13$ $2x = 4$ $x = 2$ = $x = 2$

Überprüfe die Lösung: Gleichung 1: $2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13$ ✓ Gleichung 2: $3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12$ ✓ = Beide Gleichungen erfüllt

Answer: Die Lösung ist $(2; 3)$

Mistake: Vergessen, die gesamte Gleichung zu multiplizieren

Why: Beim Multiplizieren, um entgegengesetzte Koeffizienten zu erzeugen, muss jeder Term multipliziert werden, einschließlich der Konstanten auf der rechten Seite.

Correct: Wenn du $x + 2y = 5$ mit $3$ multiplizierst, erhältst du $3x + 6y = 15$, nicht $3x + 6y = 5$.

Mistake: Addieren statt subtrahieren (oder umgekehrt)

Why: Damit die Elimination funktioniert, müssen die Koeffizienten echte Gegenteile sein (wie $+3$ und $-3$). Wenn sie gleich sind, musst du stattdessen subtrahieren.

Correct: Gleiche Vorzeichen: Gleichungen subtrahieren. Entgegengesetzte Vorzeichen: Gleichungen addieren.

Mistake: Lösung nicht in beiden Gleichungen überprüfen

Why: Eine Lösung muss beide ursprünglichen Gleichungen erfüllen. Das Überprüfen nur einer Gleichung kann Fehler übersehen.

Correct: Setze deine Antwort immer in BEIDE ursprünglichen Gleichungen ein, um zu überprüfen.

Konzertkartenverkauf

Veranstaltungsmanager verwenden Gleichungssysteme zur Analyse von Ticketverkäufen, wenn verschiedene Kategorien unterschiedliche Preise haben.

Ein Konzert verkaufte insgesamt 500 Tickets. VIP-Tickets kosten 80 Euro und reguläre Tickets 40 Euro. Der Gesamtumsatz betrug 28.000 Euro. Wie viele von jeder Sorte wurden verkauft?

Chemie: Mischungen ausgleichen

Chemiker verwenden Elimination, um zu bestimmen, wie viel von jeder Lösung gemischt werden muss, um eine gewünschte Konzentration zu erreichen.

Eine Chemikerin benötigt 100 mL einer 30%igen Säurelösung. Sie hat 20%ige und 50%ige Säurelösungen verfügbar. Wie viel von jeder sollte sie mischen?

Q: Wann sollte ich das Additionsverfahren statt des Einsetzungsverfahrens verwenden?

A: Verwende das Additionsverfahren, wenn: (1) die Koeffizienten bereits entgegengesetzt oder gleich sind, (2) keine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist, oder (3) das Einsetzungsverfahren unübersichtliche Brüche erzeugen würde. Verwende das Einsetzungsverfahren, wenn eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist (wie $y = 3x + 2$).

Q: Was passiert, wenn beide Variablen eliminiert werden?

A: Wenn du eine wahre Aussage wie $0 = 0$ erhältst, hat das System unendlich viele Lösungen (die Geraden sind identisch). Wenn du eine falsche Aussage wie $0 = 5$ erhältst, hat das System keine Lösung (die Geraden sind parallel).

Q: Spielt es eine Rolle, welche Variable ich zuerst eliminiere?

A: Nein! Du erhältst so oder so dieselbe Antwort. Wähle die Variable, die die einfachste Multiplikation erfordert, um entgegengesetzte Koeffizienten zu erzeugen.