Additionsverfahren

Lerne, lineare Gleichungssysteme durch Eliminieren einer Variablen mittels Addition oder Subtraktion zu lösen.

Mittelstufe25 MinLektion
Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Das Additionsverfahren (auch Eliminationsverfahren genannt) löst Gleichungssysteme, indem Gleichungen addiert oder subtrahiert werden, um eine Variable zu eliminieren.
Kernidee: Wenn wir zwei Gleichungen addieren, kann eine Variable verschwinden, wenn ihre Koeffizienten entgegengesetzt sind.
{2x+3y=122x−3y=0\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 2x - 3y = 0 \end{cases}
Addition dieser Gleichungen:
4x+0y=124x + 0y = 12
x=3x = 3
Die yy-Terme (+3y+3y und −3y-3y) sind entgegengesetzt, also heben sie sich auf, wenn wir addieren!

Probier es gleich aus

Welches System ist bereit für Elimination durch Addition (keine Multiplikation nötig)?

Lösungsbeispiele

Löse das Gleichungssystem:
{x+2y=7x−2y=1\begin{cases} x + 2y = 7 \\ x - 2y = 1 \end{cases}
1

Identifiziere entgegengesetzte Koeffizienten

Die yy-Koeffizienten sind +2+2 und −2-2 - sie sind entgegengesetzt! → Bereit zum Addieren
2

Addiere die Gleichungen

(x+2y)+(x−2y)=7+1(x + 2y) + (x - 2y) = 7 + 1 2x+0y=82x + 0y = 8 → 2x=82x = 8
3

Löse nach xx auf

2x=82x = 8 x=4x = 4
4

Setze zurück ein, um yy zu finden

4+2y=74 + 2y = 7 2y=32y = 3 y=1,5y = 1,5
5

Überprüfe die Lösung

Gleichung 1: 4+2(1,5)=4+3=74 + 2(1,5) = 4 + 3 = 7 ✓ Gleichung 2: 4−2(1,5)=4−3=14 - 2(1,5) = 4 - 3 = 1 ✓ → Beide Gleichungen erfüllt

Häufige Fehler

Vergessen, die gesamte Gleichung zu multiplizieren

Warum es falsch ist: Beim Multiplizieren, um entgegengesetzte Koeffizienten zu erzeugen, muss jeder Term multipliziert werden, einschließlich der Konstanten auf der rechten Seite.

Richtig: Wenn du x+2y=5x + 2y = 5 mit 33 multiplizierst, erhältst du 3x+6y=153x + 6y = 15, nicht 3x+6y=53x + 6y = 5.

Addieren statt subtrahieren (oder umgekehrt)

Warum es falsch ist: Damit die Elimination funktioniert, müssen die Koeffizienten echte Gegenteile sein (wie +3+3 und −3-3). Wenn sie gleich sind, musst du stattdessen subtrahieren.

Richtig: Gleiche Vorzeichen: Gleichungen subtrahieren. Entgegengesetzte Vorzeichen: Gleichungen addieren.

Lösung nicht in beiden Gleichungen überprüfen

Warum es falsch ist: Eine Lösung muss beide ursprünglichen Gleichungen erfüllen. Das Überprüfen nur einer Gleichung kann Fehler übersehen.

Richtig: Setze deine Antwort immer in BEIDE ursprünglichen Gleichungen ein, um zu überprüfen.

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

-2024680510xy(4 | 2)

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

3x + 2y = 16x + y = 6
  • Schnittpunkt: (4 | 2)

Gleichungslöser

Löse nach x,yx, y:

(1)x+2y=7(2)x−2y=1\begin{aligned} (1)\quad x + 2y &= 7 \\ (2)\quad x - 2y &= 1 \end{aligned}
1
(1)x+2y=7(2)x−2y=1\begin{aligned} (1)\quad x + 2y &= 7 \\ (2)\quad x - 2y &= 1 \end{aligned}
Gleichung (2) von Gleichung (1) subtrahierenDie Terme mit xx heben sich auf

Tipps:

  • • Was du auf einer Seite machst, mache auch auf der anderen
  • • Operationen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig machen
  • • Überprüfe deine Antwort durch Einsetzen

Folge mit, während wir die Gleichung Schritt für Schritt lösen.

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

-10-50510-10-50510xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = (16 - 3x)/2

m=-1,5, b=8

y = 6 - x

m=-1, b=6

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

16 Aufgaben
Aufgabe 1 von 16
Einfach
Welches System ist bereit für Elimination durch Addition (keine Multiplikation nötig)?

Warum es wichtig ist

Das Additionsverfahren ist mächtig, weil:
  • Effizient für bestimmte Systeme: Wenn Koeffizienten bereits entgegengesetzt oder gleich sind, ist die Elimination schneller als das Einsetzungsverfahren
  • Keine Brüche nötig: Vermeidet oft unübersichtliche Brüche, die das Einsetzungsverfahren erzeugt
  • Grundlage für fortgeschrittene Mathematik: Matrixoperationen in der linearen Algebra nutzen dasselbe Konzept
  • Reale Anwendungen: Ingenieure verwenden Gleichungssysteme zur Analyse von Schaltkreisen, zum Ausgleichen chemischer Gleichungen und zur Ressourcenoptimierung
Die Wahl zwischen Einsetzungs- und Additionsverfahren ist wie die Wahl des richtigen Werkzeugs - beide funktionieren, aber eines kann für ein bestimmtes Problem einfacher sein.

Anwendungen im echten Leben

Konzertkartenverkauf

Veranstaltungsmanager verwenden Gleichungssysteme zur Analyse von Ticketverkäufen, wenn verschiedene Kategorien unterschiedliche Preise haben.

Beispiel:

Ein Konzert verkaufte insgesamt 500 Tickets. VIP-Tickets kosten 80 Euro und reguläre Tickets 40 Euro. Der Gesamtumsatz betrug 28.000 Euro. Wie viele von jeder Sorte wurden verkauft?

1Probiere es selbst

Sei vv = VIP-Tickets und rr = reguläre Tickets. System: v+r=500v + r = 500 (Gesamtzahl Tickets) 80v+40r=2800080v + 40r = 28000 (Gesamtumsatz)

Wie viele VIP-Tickets wurden verkauft?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Multipliziere die erste Gleichung mit −40-40 und addiere, um rr zu eliminieren:

Chemie: Mischungen ausgleichen

Chemiker verwenden Elimination, um zu bestimmen, wie viel von jeder Lösung gemischt werden muss, um eine gewünschte Konzentration zu erreichen.

Beispiel:

Eine Chemikerin benötigt 100 mL einer 30%igen Säurelösung. Sie hat 20%ige und 50%ige Säurelösungen verfügbar. Wie viel von jeder sollte sie mischen?

2Probiere es selbst

Sei xx = mL der 20%igen Lösung und yy = mL der 50%igen Lösung. System: x+y=100x + y = 100 (Gesamtvolumen) 0,20x+0,50y=300,20x + 0,50y = 30 (Säuremenge: 100×0,30=30100 \times 0,30 = 30 mL)

Wie viele mL der 50%igen Lösung werden benötigt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Multipliziere die erste Gleichung mit −0,20-0,20 und addiere:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Das Additionsverfahren eliminiert eine Variable durch Addition oder Subtraktion von Gleichungen
  • 2Wenn Koeffizienten bereits entgegengesetzt sind, addiere die Gleichungen direkt
  • 3Wenn Koeffizienten gleich sind, subtrahiere die Gleichungen
  • 4Wenn keines zutrifft, multipliziere eine oder beide Gleichungen, um entgegengesetzte Koeffizienten zu erzeugen
  • 5Überprüfe deine Lösung immer, indem du sie in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzt

Häufig gestellte Fragen

Verwende das Additionsverfahren, wenn: (1) die Koeffizienten bereits entgegengesetzt oder gleich sind, (2) keine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist, oder (3) das Einsetzungsverfahren unübersichtliche Brüche erzeugen würde. Verwende das Einsetzungsverfahren, wenn eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist (wie y=3x+2y = 3x + 2).
Verwende das Additionsverfahren, wenn: (1) die Koeffizienten bereits entgegengesetzt oder gleich sind, (2) keine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist, oder (3) das Einsetzungsverfahren unübersichtliche Brüche erzeugen würde. Verwende das Einsetzungsverfahren, wenn eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist (wie y=3x+2y = 3x + 2).
Wenn du eine wahre Aussage wie 0=00 = 0 erhältst, hat das System unendlich viele Lösungen (die Geraden sind identisch). Wenn du eine falsche Aussage wie 0=50 = 5 erhältst, hat das System keine Lösung (die Geraden sind parallel).
Nein! Du erhältst so oder so dieselbe Antwort. Wähle die Variable, die die einfachste Multiplikation erfordert, um entgegengesetzte Koeffizienten zu erzeugen.

Glossar

Additionsverfahren
Eine Technik zum Lösen von Gleichungssystemen durch Addition oder Subtraktion von Gleichungen, um eine Variable zu eliminieren
Entgegengesetzte Koeffizienten
Koeffizienten, die sich zu Null addieren, wie +3+3 und −3-3
kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)
Die kleinste Zahl, durch die beide Koeffizienten glatt teilbar sind; wird verwendet, um die benötigten Multiplikatoren für entgegengesetzte Koeffizienten zu finden
Überprüfen
Kontrollieren, dass eine Lösung beide ursprünglichen Gleichungen erfüllt

Formelkarte

Eliminationsstrategie

Entgegengesetzt: +a und −a→ADDIEREN\text{Entgegengesetzt: } +a \text{ und } -a \rightarrow \text{ADDIEREN}
Gleich: +a und +a→SUBTRAHIEREN\text{Gleich: } +a \text{ und } +a \rightarrow \text{SUBTRAHIEREN}

Entscheide ob addieren oder subtrahieren basierend auf Koeffizienten

Gegenteile erzeugen

Multipliziere Gleichungen, um ±kgV der Koeffizienten zu erhalten\text{Multipliziere Gleichungen, um } \pm\text{kgV der Koeffizienten zu erhalten}

Verwende das kgV um Multiplikatoren zu finden

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

Mehr zu diesem Thema

Einführung in lineare Gleichungssysteme

Mittelstufe25 Min

Gleichungssysteme (Einsetzungsverfahren)

Fortgeschritten25 Min

Gleichungssysteme grafisch lösen

Mittelstufe25 Min

Einsetzungsverfahren

Mittelstufe25 Min