Additionsverfahren

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welches System ist bereit für Elimination durch Addition (keine Multiplikation nötig)?
1. a) und
2. b) und
3. c) und
4. d) und
Lösung: und
Das erste System hat und - entgegengesetzte Koeffizienten! Addition eliminiert sofort: , also .
2.
Löse durch Addition: und . Was ist ?
Lösung: 7
Addition: , also . Die -Terme heben sich auf, weil .
3.
Löse: und . Was ist ?
Lösung: 1
Addition: , also . In Gleichung 1 einsetzen: , also , , .
4.
Um aus und zu eliminieren, womit musst du die zweite Gleichung multiplizieren?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Multipliziere mit : ergibt . Addition eliminiert nun : , also .
5.
Löse: und
Lösung: (3, 2)
1. Multipliziere Gleichung 2 mit , um zu eliminieren. Was erhältst du? -2x - 2y = -10
2. Addiere die Gleichungen. Was ist das Ergebnis? y = 2
3. Setze in Gleichung 2 ein. Was ist ? 3
6.
Löse: und . Was ist der Wert von ?
Lösung: 5
Addition: , also . Einsetzen: , also . Daher .
7.
Was passiert, wenn du und addierst?
1. a) (eindeutige Lösung)
2. b) (keine Lösung)
3. c) (eindeutige Lösung)
4. d) (unendlich viele Lösungen)
Lösung: (unendlich viele Lösungen)
Addition ergibt , was immer wahr ist. Das bedeutet, die Gleichungen stellen dieselbe Gerade dar, also gibt es unendlich viele Lösungen!
8.
Löse: und
Lösung: (3, 4)
1. Beachte, dass die -Koeffizienten bereits entgegengesetzt sind. Addiere die Gleichungen. Was erhältst du? 5x = 15
2. Löse nach auf 3
3. Setze in die erste Gleichung ein, um zu finden 4
9.
Löse: und . Was ist ?
Lösung: 2
Subtraktion: , also , .
10.
Löse: und
Lösung: (2, 4)
1. Um zu eliminieren, multipliziere Gleichung 1 mit 3 und Gleichung 2 mit -2. Was ist die neue Gleichung 1? 6x + 15y = 72
2. Was ist die neue Gleichung 2? -6x - 4y = -28
3. Addiere die Gleichungen. Was erhältst du? 11y = 44
4. Löse nach auf 4
11.
Löse: und . Was ist ?
Lösung: 2
Multipliziere Gleichung 2 mit -2: . Addition zu Gleichung 1: , also . Probe: , ✓, ✓.
12.
Was passiert, wenn du versuchst und zu lösen?
1. a)Genau eine Lösung:
2. b)Unendlich viele Lösungen (gleiche Gerade)
3. c)Genau eine Lösung:
4. d)Keine Lösung (parallele Geraden)
Lösung: Keine Lösung (parallele Geraden)
Multipliziere Gleichung 1 mit -2: . Addition: , was falsch ist! Das System hat keine Lösung - die Geraden sind parallel (gleiche Steigung, verschiedene y-Achsenabschnitte).
13.
Ein Geschäft verkaufte 150 Artikel. Hemden kosten je 25 Euro und Hosen je 40 Euro. Der Gesamtumsatz betrug 4.500 Euro. Wie viele Hemden wurden verkauft?
Lösung: 100
1. Sei = Hemden und = Hosen. Schreibe die Gleichung für die Gesamtzahl der Artikel. s + p = 150
2. Schreibe die Gleichung für den Gesamtumsatz. 25s + 40p = 4500
3. Multipliziere die erste Gleichung mit -25 und addiere. Was erhältst du? 15p = 750
4. Löse nach auf, dann finde . 100
14.
Wann solltest du beim Additionsverfahren Subtraktion statt Addition verwenden?
1. a)Wenn Koeffizienten entgegengesetzt sind (+3 und -3)
2. b)Wenn ein Koeffizient größer als der andere ist
3. c)Wenn Koeffizienten gleich sind (beide positiv oder beide negativ)
4. d)Niemals - immer Addition verwenden
Lösung: Wenn Koeffizienten gleich sind (beide positiv oder beide negativ)
Wenn Koeffizienten gleich sind (wie und ), hebt Subtraktion sie auf: . Addition würde ergeben, keine Elimination!
15.
Löse: und . Was ist ?
Lösung: 3
Addition: , also , .
16.
Löse: und
Lösung: (4, 3)
1. Beachte, dass und verwandt sind. Multipliziere Gleichung 1 mit 2, um die -Koeffizienten entgegengesetzt zu machen. Was erhältst du? 10x - 6y = 22
2. Addiere nun die beiden Gleichungen. Was ist das Ergebnis? 12x = 48
3. Löse nach auf 4