Eine Lösung überprüfen

Ist $(x, y) = (4, 3)$ eine Lösung des Systems: $x + y = 7$ und $2x - y = 5$?

In die erste Gleichung einsetzen: $x + y = 4 + 3 = 7$ = Erste Gleichung: $7 = 7$ ist WAHR

In die zweite Gleichung einsetzen: $2x - y = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5$ = Zweite Gleichung: $5 = 5$ ist WAHR

Prüfen, ob BEIDE erfüllt sind: Erste Gleichung: WAHR, Zweite Gleichung: WAHR = Beide Gleichungen sind erfüllt

Answer: Ja, $(4, 3)$ ist eine Lösung, weil beide Gleichungen erfüllt sind.

Lösung durch Ausprobieren finden

Finde die Lösung von: $x + y = 6$ und $x - y = 2$ durch Ausprobieren.

Überlege, was die Gleichungen aussagen: Die Summe ist 6, die Differenz ist 2. Eine Zahl ist größer als die andere. = Wir brauchen $x > y$

Versuche $x = 4$, $y = 2$: Summe: $4 + 2 = 6$ (stimmt!). Differenz: $4 - 2 = 2$ (stimmt!) = Beide Gleichungen sind erfüllt

Lösung bestätigen: $x + y = 4 + 2 = 6$, $x - y = 4 - 2 = 2$ = $(4, 2)$ ist die Lösung

Answer: Die Lösung ist $x = 4$ und $y = 2$, also $(4, 2)$.

Das Diagramm verstehen

Die Geraden $y = x + 1$ und $y = -x + 5$ schneiden sich in einem Punkt. Welcher Punkt ist das?

Gleichungen gleichsetzen (beide sind gleich $y$): $x + 1 = -x + 5$ = Gleichung zum Lösen nach $x$

Nach $x$ auflösen: $x + x = 5 - 1$, also $2x = 4$, ergibt $x = 2$ = $x = 2$

$y$ durch Einsetzen finden: $y = x + 1 = 2 + 1 = 3$ = $y = 3$

Schnittpunkt angeben: Der Punkt ist $(2, 3)$ = Hier kreuzen sich beide Geraden

Answer: Die Geraden schneiden sich im Punkt $(2, 3)$.

Gleichungssystem aus dem Alltag

In einem Café kosten 2 Kaffee und 1 Tee zusammen 9 Euro. 1 Kaffee und 2 Tee kosten 6 Euro. Was kostet jedes Getränk?

Variablen definieren: Sei $k$ = Preis eines Kaffees, $t$ = Preis eines Tees = $k$ und $t$ sind unsere Unbekannten

Gleichungen aufstellen: $2k + t = 9$ und $k + 2t = 6$ = Gleichungssystem aufgestellt

Mit Einsetzungs- oder Additionsverfahren lösen: Aus Gleichung 2: $k = 6 - 2t$. Einsetzen: $2(6 - 2t) + t = 9$ = $12 - 4t + t = 9$, also $-3t = -3$

Beide Werte finden: $t = 1$, dann $k = 6 - 2(1) = 4$ = Kaffee = 4 Euro, Tee = 1 Euro

Answer: Ein Kaffee kostet 4 Euro und ein Tee kostet 1 Euro.

Mistake: Nur eine Gleichung prüfen und es als Lösung bezeichnen

Why: Eine Lösung muss ALLE Gleichungen im System erfüllen, nicht nur eine.

Correct: Setze deine Antwort immer in jede Gleichung ein, um zu überprüfen, ob sie für alle funktioniert.

Mistake: Die Lösung $(3, 2)$ mit $(2, 3)$ verwechseln

Why: Bei geordneten Paaren ist die erste Zahl $x$ und die zweite $y$. Die Reihenfolge ist wichtig!

Correct: Schreibe Lösungen immer in der richtigen Reihenfolge: $(x, y)$. Beschrifte deine Arbeit deutlich.

Mistake: Denken, dass parallele Geraden eine Lösung haben

Why: Parallele Geraden schneiden sich nie, also gibt es keinen Punkt, der auf beiden liegt.

Correct: Wenn zwei Geraden parallel sind (gleiche Steigung, unterschiedlicher y-Achsenabschnitt), hat das System keine Lösung.

Einkaufsprobleme

Einzelpreise bestimmen, wenn man nur Gesamtsummen kennt.

Wenn 3 Äpfel und 2 Orangen 11 Euro kosten und 2 Äpfel und 3 Orangen 9 Euro kosten, kannst du den Preis jeder Frucht mit einem Gleichungssystem finden.

Mischungsaufgaben

Verschiedene Stoffe mischen, um eine bestimmte Konzentration oder Menge zu erreichen.

Eine 10%ige Säurelösung mit einer 30%igen Säurelösung mischen, um 100 mL einer 22%igen Lösung herzustellen.

Q: Was ist, wenn sich die Geraden nie schneiden?

A: Wenn die Geraden parallel sind (gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte), treffen sie sich nie und das System hat keine Lösung. Man nennt dies ein widersprüchliches System.

Q: Kann ein System mehr als eine Lösung haben?

A: Wenn beide Gleichungen dieselbe Gerade darstellen, ist jeder Punkt auf dieser Geraden eine Lösung. Das ergibt unendlich viele Lösungen. Man nennt dies ein abhängiges System.

Q: Warum brauchen wir zwei Gleichungen für zwei Unbekannte?

A: Eine Gleichung mit zwei Unbekannten hat unendlich viele Lösungen (eine ganze Gerade von Punkten). Die zweite Gleichung grenzt es auf einen bestimmten Punkt ein, an dem beide Bedingungen erfüllt sind.