Einführung in lineare Gleichungssysteme
Lerne, was lineare Gleichungssysteme sind und wie zwei Gleichungen zusammenwirken, um eine eindeutige Lösung zu finden.
Definition
- (erste Gleichung ist wahr)
- (zweite Gleichung ist wahr)
Probier es gleich aus
Lösungsbeispiele
Ist eine Lösung des Systems: und ?
In die erste Gleichung einsetzen
→ Erste Gleichung: ist WAHR
In die zweite Gleichung einsetzen
→ Zweite Gleichung: ist WAHR
Prüfen, ob BEIDE erfüllt sind
Erste Gleichung: WAHR, Zweite Gleichung: WAHR → Beide Gleichungen sind erfüllt
Antwort: Ja, ist eine Lösung, weil beide Gleichungen erfüllt sind.
Häufige Fehler
Nur eine Gleichung prüfen und es als Lösung bezeichnen
Warum es falsch ist: Eine Lösung muss ALLE Gleichungen im System erfüllen, nicht nur eine.
Richtig: Setze deine Antwort immer in jede Gleichung ein, um zu überprüfen, ob sie für alle funktioniert.
Die Lösung mit verwechseln
Warum es falsch ist: Bei geordneten Paaren ist die erste Zahl und die zweite . Die Reihenfolge ist wichtig!
Richtig: Schreibe Lösungen immer in der richtigen Reihenfolge: . Beschrifte deine Arbeit deutlich.
Denken, dass parallele Geraden eine Lösung haben
Warum es falsch ist: Parallele Geraden schneiden sich nie, also gibt es keinen Punkt, der auf beiden liegt.
Richtig: Wenn zwei Geraden parallel sind (gleiche Steigung, unterschiedlicher y-Achsenabschnitt), hat das System keine Lösung.
Interaktive Visualisierung
Lineare Funktion erkunden
Waage
Lösung: x = 4
Interaktiver Sandkasten
Interaktiver Grapher
Probiere diese Beispiele:
y = 2x + 1
m=2, b=1
Ausdrucksrechner
Probiere diese:
Verlauf
Noch keine Berechnungen
Übungsaufgaben
16 AufgabenWas ist ein Gleichungssystem?
Warum es wichtig ist
- Wirtschaft: Ermittlung von Einzelpreisen bei verschiedenen Gesamtkosten
- Chemie: Ausgleichen von chemischen Gleichungen und Mischungsaufgaben
- Ingenieurwesen: Berechnung von Kräften in Bauwerken mit mehreren Stützpunkten
- Alltag: Herausfinden, wie viele Artikel einer Sorte jemand gekauft hat, wenn man Gesamtzahl und Gesamtpreis kennt
Anwendungen im echten Leben
Einkaufsprobleme
Einzelpreise bestimmen, wenn man nur Gesamtsummen kennt.
Beispiel:
Wenn 3 Äpfel und 2 Orangen 11 Euro kosten und 2 Äpfel und 3 Orangen 9 Euro kosten, kannst du den Preis jeder Frucht mit einem Gleichungssystem finden.
Ein Geschäft verkauft Hefte und Stifte. Emma kauft 2 Hefte und 3 Stifte für 13 Euro. Tom kauft 4 Hefte und 1 Stift für 17 Euro.
Was kostet ein Heft?
Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck
Stelle das System auf: und
Mischungsaufgaben
Verschiedene Stoffe mischen, um eine bestimmte Konzentration oder Menge zu erreichen.
Beispiel:
Eine 10%ige Säurelösung mit einer 30%igen Säurelösung mischen, um 100 mL einer 22%igen Lösung herzustellen.
Eine Chemikerin braucht 50 Liter einer 60%igen Alkohollösung. Sie hat eine 40%ige und eine 80%ige Lösung zur Verfügung.
Wie viele Liter der 80%igen Lösung braucht sie?
Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck
Sei = Liter von 40%, = Liter von 80%. Stelle auf: und
Wichtige Erkenntnisse
- 1Ein Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr Gleichungen mit denselben Variablen
- 2Die Lösung sind die Werte, die ALLE Gleichungen gleichzeitig erfüllen
- 3Graphisch ist die Lösung der Schnittpunkt der Geraden
- 4Um eine Lösung zu überprüfen, setze die Werte in jede Gleichung ein und prüfe
- 5Systeme können eine Lösung (sich schneidende Geraden), keine Lösung (parallele Geraden) oder unendlich viele Lösungen (dieselbe Gerade) haben
Häufig gestellte Fragen
Glossar
- Gleichungssystem
- Eine Menge von zwei oder mehr Gleichungen mit denselben Variablen, die gemeinsam gelöst werden
- Lösung eines Systems
- Das geordnete Paar (die geordneten Paare), das alle Gleichungen im System gleichzeitig erfüllt
- Eindeutig lösbares System
- Ein System, das genau eine Lösung hat
- Widersprüchliches System
- Ein System ohne Lösung (parallele Geraden)
- Abhängiges System
- Ein System, bei dem die Gleichungen dieselbe Gerade darstellen und unendlich viele Lösungen ergeben