Einführung in lineare Gleichungssysteme

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist ein Gleichungssystem?
1. a)Ein Graph mit mehreren Geraden
2. b)Zwei oder mehr Gleichungen mit denselben Variablen
3. c)Eine Gleichung mit einer Variablen
4. d)Ein Ausdruck mit mehreren Termen
Lösung: Zwei oder mehr Gleichungen mit denselben Variablen
Ein Gleichungssystem ist eine Menge von zwei oder mehr Gleichungen mit denselben Variablen, die gemeinsam gelöst werden müssen.
2.
Was stellt die Lösung eines Gleichungssystems grafisch dar?
1. a)Den Schnittpunkt der Geraden
2. b)Den y-Achsenabschnitt beider Geraden
3. c)Die Steigung der Geraden
4. d)Den Abstand zwischen den Geraden
Lösung: Den Schnittpunkt der Geraden
Die Lösung eines Systems aus zwei linearen Gleichungen ist der Punkt, an dem sich beide Geraden schneiden. Dieser Punkt erfüllt beide Gleichungen gleichzeitig.
3.
Ist eine Lösung des Systems: und ?
1. a)Ja, es erfüllt beide Gleichungen
2. b)Nein, es erfüllt keine der Gleichungen
3. c)Nein, es erfüllt nur die zweite Gleichung
4. d)Nein, es erfüllt nur die erste Gleichung
Lösung: Ja, es erfüllt beide Gleichungen
Überprüfung: (wahr) und (wahr). Da beide Gleichungen erfüllt sind, ist die Lösung.
4.
Wenn und , was ist der Wert von ?
Lösung: 7
Addition der Gleichungen: , also , was ergibt.
5.
Wenn und , was ist der Wert von ?
Lösung: 3
Aus dem vorherigen Problem ist . Einsetzen in : , also .
6.
Was passiert, wenn zwei Geraden parallel sind?
1. a)Das System hat keine Lösung
2. b)Das System hat unendlich viele Lösungen
3. c)Das System hat genau eine Lösung
4. d)Das System kann nicht bestimmt werden
Lösung: Das System hat keine Lösung
Parallele Geraden haben dieselbe Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte. Da sie sich nie schneiden, gibt es keinen Punkt, der beide Gleichungen erfüllt, also hat das System keine Lösung.
7.
Überprüfe, ob eine Lösung ist für: und
Lösung: Yes
1. Setze und in die erste Gleichung ein. Was erhältst du? 10
2. Ist die erste Gleichung erfüllt? (ja/nein) ja
3. Setze und in die zweite Gleichung ein. Was erhältst du? -1
4. Ist die zweite Gleichung erfüllt? (ja/nein) ja
8.
Die Geraden und schneiden sich in einem Punkt. Was ist die -Koordinate dieses Punktes?
Lösung: 2
Gleichsetzen: . auf beiden Seiten addieren: . 1 subtrahieren: . Dividieren: .
9.
Die Geraden und schneiden sich in einem Punkt. Was ist die -Koordinate dieses Punktes?
Lösung: 5
Aus dem vorherigen Problem ist . Einsetzen in : .
10.
Finde die Lösung von: und
Lösung: (3, 5)
1. Addiere beide Gleichungen. Was ist ? 3x
2. Was ist ? 9
3. Also . Was ist ? 3
4. Setze in ein. Was ist ? 5
11.
In einem Geschäft kosten 3 Bleistifte und 2 Radiergummis 8 Euro. 1 Bleistift und 4 Radiergummis kosten 6 Euro. Finde den Preis eines Bleistifts.
Lösung: 2
1. Sei = Preis eines Bleistifts, = Preis eines Radiergummis. Schreibe die erste Gleichung. 3b + 2r = 8
2. Schreibe die zweite Gleichung. b + 4r = 6
3. Drücke aus Gleichung 2 durch aus. b = 6 - 4r
4. Setze in Gleichung 1 ein und löse nach auf. Was ist ? 1
5. Finde jetzt mit . Was ist ? 2
12.
Welches System hat unendlich viele Lösungen?
1. a) und
2. b) und
3. c) und
4. d) und
Lösung: und
Die zweite Gleichung vereinfacht sich zu , was identisch mit der ersten Gleichung ist. Da beide Gleichungen dieselbe Gerade darstellen, ist jeder Punkt auf dieser Geraden eine Lösung.
13.
Die Summe zweier Zahlen ist 15 und ihre Differenz ist 3. Was ist die größere Zahl?
Lösung: 9
Sei = größere Zahl, = kleinere Zahl. System: und . Addition: , also .
14.
Auf einem Parkplatz stehen Autos und Motorräder. Insgesamt gibt es 50 Fahrzeuge und 160 Räder. Wie viele Autos gibt es?
Lösung: 30
1. Sei = Autos, = Motorräder. Schreibe die Gleichung für die Gesamtzahl der Fahrzeuge. a + m = 50
2. Autos haben 4 Räder, Motorräder haben 2. Schreibe die Rädergleichung. 4a + 2m = 160
3. Drücke aus Gleichung 1 durch aus. m = 50 - a
4. Setze in die Rädergleichung ein und vereinfache. 4a + 2(50 - a) = 160
5. Löse nach auf. Wie viele Autos gibt es? 30
15.
Finde, wo sich die Geraden und schneiden.
Lösung: (2, 3)
1. Drücke aus der zweiten Gleichung durch aus. x = y - 1
2. Setze in ein. Welche Gleichung erhältst du? 3(y - 1) + 2y = 12
3. Vereinfache und löse nach auf. Was ist ? 3
4. Finde jetzt mit . Was ist ? 2
16.
Kinokarten kosten unterschiedliche Beträge für Erwachsene und Kinder. 2 Erwachsenenkarten und 3 Kinderkarten kosten 36 Euro. 3 Erwachsenenkarten und 2 Kinderkarten kosten 39 Euro. Was ist der Preis einer Erwachsenenkarte in Euro?
Lösung: 9
System: und . Erste Gleichung mal 2: . Zweite mal 3: . Subtrahieren: , also Euro.