Eine Potenz mit negativem Exponenten berechnen

Berechne $2^{-3}$.

Wende die Regel für negative Exponenten an: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ = $2^{-3} = \frac{1}{2^3}$

Berechne die Potenz im Nenner: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ = $\frac{1}{8}$

Prüfe das Vorzeichen: Die Basis $2$ ist positiv, also ist auch das Ergebnis positiv = $\frac{1}{8} = 0{,}125$

Answer: $2^{-3} = \frac{1}{8}$, eine kleine positive Zahl und nicht $-8$.

Kleine Zehnerpotenzen

Schreibe $10^{-3}$ als Bruch und als Dezimalzahl.

Wende die Regel für negative Exponenten an: $10^{-3} = \frac{1}{10^3}$ = $\frac{1}{10^3}$

Berechne $10^3$: $10^3 = 1000$ = $\frac{1}{1000}$

Schreibe als Dezimalzahl: Ein Tausendstel: Die 1 steht an der dritten Nachkommastelle = $0{,}001$

Answer: $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001$. Der Exponent $-3$ sagt dir, dass die 1 an der dritten Stelle nach dem Komma steht.

Ein Bruch hoch eine negative Zahl

Berechne $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$.

Drehe den Bruch um und mache den Exponenten positiv: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$ = $\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$

Quadriere Zähler und Nenner: $\frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$ = $\frac{9}{4}$

Prüfe mit der Definition: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4}$ = Gleiches Ergebnis

Answer: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{9}{4} = 2{,}25$

Faktoren über den Bruchstrich bringen

Schreibe $\frac{x^{-3}}{y^{-2}}$ mit positiven Exponenten.

Bringe $x^{-3}$ vom Zähler in den Nenner: $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$, also wird daraus $x^3$ unter dem Bruchstrich = $\frac{1}{x^3 \, y^{-2}}$

Bringe $y^{-2}$ vom Nenner in den Zähler: $\frac{1}{y^{-2}} = y^2$, also wird daraus $y^2$ über dem Bruchstrich = $\frac{y^2}{x^3}$

Prüfe, ob alle Exponenten positiv sind: $y^2$ und $x^3$ = Fertig

Answer: $\frac{x^{-3}}{y^{-2}} = \frac{y^2}{x^3}$. Ein Faktor wechselt das Vorzeichen seines Exponenten, wenn er über den Bruchstrich wandert.

Alle Potenzgesetze kombinieren

Vereinfache $\frac{6a^{-2}b^{3}}{3a^{4}b^{-1}}$ und schreibe das Ergebnis mit positiven Exponenten.

Teile die Koeffizienten: $6 : 3 = 2$ = $2$

Division von Potenzen mit gleicher Basis für $a$: $a^{-2-4} = a^{-6}$ = $a^{-6}$

Division von Potenzen mit gleicher Basis für $b$ (eine negative Zahl subtrahieren): $b^{3-(-1)} = b^{3+1} = b^{4}$ = $b^{4}$

Schreibe mit positiven Exponenten: $2a^{-6}b^{4} = \frac{2b^{4}}{a^{6}}$ = $\frac{2b^{4}}{a^{6}}$

Answer: $\frac{6a^{-2}b^{3}}{3a^{4}b^{-1}} = \frac{2b^{4}}{a^{6}}$. Nur $a^{-6}$ wandert nach unten, der Koeffizient $2$ bleibt oben.

Mistake: Glauben, dass ein negativer Exponent die Zahl negativ macht: $2^{-3} = -8$

Why: Das Minuszeichen steht im Exponenten, nicht vor der Zahl. Es bedeutet "Kehrwert", nicht "negativ".

Correct: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$, eine positive Zahl.

Mistake: Den Koeffizienten mitverschieben: $2x^{-3} = \frac{1}{2x^3}$

Why: Der Exponent $-3$ gehört nur zu $x$. Die $2$ hat den Exponenten $1$ und bleibt, wo sie ist.

Correct: $2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$. Nur bei $(2x)^{-3}$ mit Klammern schreibst du $\frac{1}{(2x)^3}$.

Mistake: Den Bruch umdrehen, aber die Potenz vergessen oder das Ergebnis negativ machen: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{3}{2}$ oder $-\frac{4}{9}$

Why: Das Minuszeichen dreht den Bruch um, und die $2$ quadriert ihn trotzdem. Beide Teile des Exponenten haben eine Aufgabe.

Correct: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$

Mistake: Einen negativen Exponenten falsch subtrahieren: $\frac{x^5}{x^{-2}} = x^{3}$

Why: Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis subtrahierst du den ganzen Exponenten mit seinem Vorzeichen: $5 - (-2)$, nicht $5 - 2$.

Correct: $\frac{x^5}{x^{-2}} = x^{5-(-2)} = x^{7}$

Winzige Maße in der Wissenschaft

Wissenschaftler schreiben sehr kleine Längen mit negativen Zehnerpotenzen. Die Vorsilben Milli, Mikro und Nano stehen für $10^{-3}$, $10^{-6}$ und $10^{-9}$.

Ein Millimeter ist $10^{-3}$ m $= 0{,}001$ m, und ein typisches Bakterium ist etwa $2 \cdot 10^{-6}$ m lang.

Blendenstufen bei der Kamera

Fotografen messen Licht in Blendenstufen. Jede Stufe dunkler halbiert das Licht, also lassen $n$ Stufen nur $2^{-n}$ des ursprünglichen Lichts durch.

Ein Filter mit 3 Stufen lässt $2^{-3} = \frac{1}{8}$ des Lichts durch.

Proben im Labor verdünnen

Im Labor wird eine Probe oft mehrmals im Verhältnis 1 zu 10 verdünnt. Nach $n$ solchen Verdünnungen ist die Konzentration das $10^{-n}$-Fache der ursprünglichen.

Nach 3 Verdünnungen hat eine Probe nur noch $10^{-3} = 0{,}001$ ihrer ursprünglichen Konzentration.

Q: Warum ist $a^{-1}$ der Kehrwert von $a$?

A: Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis gilt $a^{1} \cdot a^{-1} = a^{0} = 1$. Die Zahl, mit der du $a$ multiplizieren musst, um $1$ zu erhalten, ist $\frac{1}{a}$, also ist $a^{-1} = \frac{1}{a}$.

Q: Kann eine Potenz mit negativem Exponenten jemals negativ sein?

A: Nur wenn die Basis selbst negativ ist. Zum Beispiel ist $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}$. Der negative Exponent allein fügt nie ein Minuszeichen hinzu.

Q: Warum darf die Basis nicht null sein?

A: $0^{-2}$ würde $\frac{1}{0^2} = \frac{1}{0}$ bedeuten, und durch null zu teilen ist nicht definiert. Deshalb steht in der Regel $a \neq 0$.

Q: Ist es falsch, negative Exponenten im Ergebnis stehen zu lassen?

A: $x^{-3}$ und $\frac{1}{x^3}$ sind gleich, also ist keines davon falsch. Viele Lehrkräfte und Schulbücher verlangen im Endergebnis positive Exponenten, also schreibe am Ende um, wenn die Aufgabe nichts anderes sagt.