Kann eine Potenz mit negativem Exponenten jemals negativ sein?

Nur wenn die Basis selbst negativ ist. Zum Beispiel ist $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}$. Der negative Exponent allein fügt nie ein Minuszeichen hinzu.

Warum darf die Basis nicht null sein?

$0^{-2}$ würde $\frac{1}{0^2} = \frac{1}{0}$ bedeuten, und durch null zu teilen ist nicht definiert. Deshalb steht in der Regel $a \neq 0$.

Ist es falsch, negative Exponenten im Ergebnis stehen zu lassen?

$x^{-3}$ und $\frac{1}{x^3}$ sind gleich, also ist keines davon falsch. Viele Lehrkräfte und Schulbücher verlangen im Endergebnis positive Exponenten, also schreibe am Ende um, wenn die Aufgabe nichts anderes sagt.

Lehrermaterialien

Negative Exponenten

Q: Warum ist $a^{-1}$ der Kehrwert von $a$?

Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis gilt $a^{1} \cdot a^{-1} = a^{0} = 1$. Die Zahl, mit der du $a$ multiplizieren musst, um $1$ zu erhalten, ist $\frac{1}{a}$, also ist $a^{-1} = \frac{1}{a}$.

Lerne, was ein negativer Exponent bedeutet, warum er einen Kehrwert und keine negative Zahl ergibt und wie du jeden Term mit positiven Exponenten schreibst.

Mittelstufe25 MinLektion

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Definition

Ein negativer Exponent sagt dir, dass du den Kehrwert der Potenz mit dem gleichen positiven Exponenten nehmen sollst:

a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad (a \neq 0)

Zum Beispiel ist

2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}

Woher kommt das? Schau dir die Zweierpotenzen an. Jedes Mal, wenn der Exponent um 1 kleiner wird, teilst du durch 2:

2^3 = 8,\; 2^2 = 4,\; 2^1 = 2,\; 2^0 = 1,\; 2^{-1} = \frac{1}{2},\; 2^{-2} = \frac{1}{4},\; 2^{-3} = \frac{1}{8}

Das Muster geht einfach unter dem Exponenten null weiter.

Das Wichtigste:

Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ: $2^{-3} = \frac{1}{8}$ ist positiv.
Es gilt in beide Richtungen: $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$ . Ein Faktor darf also über den Bruchstrich wandern, wenn sein Exponent das Vorzeichen wechselt.
Ein Bruch hoch eine negative Zahl wird umgedreht: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$ .
Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten sind kleine Dezimalzahlen: $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001$ .

Probier es gleich aus

Welchen Wert hat

2^{-3}

Lösungsbeispiele

Berechne $2^{-3}$ .

Wende die Regel für negative Exponenten an

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ → $2^{-3} = \frac{1}{2^3}$

Berechne die Potenz im Nenner

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ → $\frac{1}{8}$

Prüfe das Vorzeichen

Die Basis $2$ ist positiv, also ist auch das Ergebnis positiv → $\frac{1}{8} = 0{,}125$

Antwort: $2^{-3} = \frac{1}{8}$ , eine kleine positive Zahl und nicht $-8$ .

Häufige Fehler

Glauben, dass ein negativer Exponent die Zahl negativ macht: $2^{-3} = -8$

Warum es falsch ist: Das Minuszeichen steht im Exponenten, nicht vor der Zahl. Es bedeutet "Kehrwert", nicht "negativ".

Richtig: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ , eine positive Zahl.

Den Koeffizienten mitverschieben: $2x^{-3} = \frac{1}{2x^3}$

Warum es falsch ist: Der Exponent $-3$ gehört nur zu $x$ . Die $2$ hat den Exponenten $1$ und bleibt, wo sie ist.

Richtig: $2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$ . Nur bei $(2x)^{-3}$ mit Klammern schreibst du $\frac{1}{(2x)^3}$ .

Den Bruch umdrehen, aber die Potenz vergessen oder das Ergebnis negativ machen: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{3}{2}$ oder $-\frac{4}{9}$

Warum es falsch ist: Das Minuszeichen dreht den Bruch um, und die $2$ quadriert ihn trotzdem. Beide Teile des Exponenten haben eine Aufgabe.

Richtig: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$

Einen negativen Exponenten falsch subtrahieren: $\frac{x^5}{x^{-2}} = x^{3}$

Warum es falsch ist: Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis subtrahierst du den ganzen Exponenten mit seinem Vorzeichen: $5 - (-2)$ , nicht $5 - 2$ .

Richtig: $\frac{x^5}{x^{-2}} = x^{5-(-2)} = x^{7}$

Interaktive Visualisierung

Potenzen als wiederholte Faktoren

Potenzen dividieren

Gleiche Basis, dividieren: Exponenten subtrahieren.

\frac{x^{2}}{x^{5}}

Jede Potenz als Produkt gleicher Faktoren schreiben

x

x

x

x

x

x

x

2 gemeinsame Faktoren werden oben und unten gekürzt

3 Faktoren bleiben unten übrig: negativer Exponent

\displaystyle \frac{1}{x^{3}} = x^{-3}

Ergebnis

\displaystyle \frac{x^{2}}{x^{5}}

=

\displaystyle x^{2 - 5}

=

\displaystyle x^{-3}

=

\displaystyle \frac{1}{x^{3}}

Gilt für jede Basis außer 0

Exponent m2Exponent n5

Basis:

Berechnen:10³ = 1000

Sieh, wie Potenzen einer Zahl auf dem Zahlenstrahl wachsen. Ändere Basis und Exponent.

Basis:

Berechnen:2³ = 8

Sieh, wie Potenzen einer Zahl auf dem Zahlenstrahl wachsen. Ändere Basis und Exponent.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Welchen Wert hat $2^{-3}$ ?

Warum es wichtig ist

Mit negativen Exponenten schreiben wir sehr kleine Zahlen genauso leicht wie sehr große, und die Potenzgesetze funktionieren in jedem Fall:

Naturwissenschaften: Ein rotes Blutkörperchen ist etwa $8 \cdot 10^{-6}$ Meter breit, eine Nanosekunde dauert $10^{-9}$ Sekunden
Vorsilben im metrischen System: Milli bedeutet $10^{-3}$ und Mikro bedeutet $10^{-6}$ , also ist 1 mm $= 10^{-3}$ m
Fotografie: Jede Blendenstufe halbiert das Licht, also lassen 3 Stufen nur $2^{-3} = \frac{1}{8}$ des Lichts durch
Algebra: Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis ist $\frac{x^2}{x^5} = x^{2-5} = x^{-3}$ . Ohne negative Exponenten hätte dieses Ergebnis keine Bedeutung

Wenn du ohne Nachdenken zwischen

x^{-3}

und

\frac{1}{x^3}

wechseln kannst, wird das Vereinfachen langer Terme zur Routine.

Anwendungen im echten Leben

Winzige Maße in der Wissenschaft

Wissenschaftler schreiben sehr kleine Längen mit negativen Zehnerpotenzen. Die Vorsilben Milli, Mikro und Nano stehen für $10^{-3}$, $10^{-6}$ und $10^{-9}$.

Beispiel:

Ein Millimeter ist $10^{-3}$ m $= 0{,}001$ m, und ein typisches Bakterium ist etwa $2 \cdot 10^{-6}$ m lang.

1Probiere es selbst

Ein menschliches Haar ist etwa $10^{-4}$ Meter dick.

Gib die Dicke des Haares als Dezimalzahl in Metern an.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe $10^{-4}$ als $\frac{1}{10^4}$ und teile:

Blendenstufen bei der Kamera

Fotografen messen Licht in Blendenstufen. Jede Stufe dunkler halbiert das Licht, also lassen $n$ Stufen nur $2^{-n}$ des ursprünglichen Lichts durch.

Beispiel:

Ein Filter mit 3 Stufen lässt $2^{-3} = \frac{1}{8}$ des Lichts durch.

2Probiere es selbst

Eine Fotografin setzt einen Filter mit 5 Stufen vor das Objektiv.

Welcher Bruchteil des Lichts erreicht die Kamera?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Jede Stufe halbiert das Licht, der Bruchteil ist also $2^{-5}$ :

Proben im Labor verdünnen

Im Labor wird eine Probe oft mehrmals im Verhältnis 1 zu 10 verdünnt. Nach $n$ solchen Verdünnungen ist die Konzentration das $10^{-n}$-Fache der ursprünglichen.

Beispiel:

Nach 3 Verdünnungen hat eine Probe nur noch $10^{-3} = 0{,}001$ ihrer ursprünglichen Konzentration.

3Probiere es selbst

Eine Probe enthält 20000 Bakterien pro Milliliter. Sie wird viermal hintereinander im Verhältnis 1 zu 10 verdünnt.

Wie viele Bakterien pro Milliliter bleiben übrig?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Multipliziere die Anfangsmenge mit $10^{-4}$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ für $a \neq 0$
2Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ: $2^{-3} = \frac{1}{8}$
3Die Regel gilt in beide Richtungen: $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$ , ein Faktor wandert also über den Bruchstrich, indem sein Exponent das Vorzeichen wechselt
4Ein Bruch hoch eine negative Zahl wird umgedreht: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$
5Negative Zehnerpotenzen sind kleine Dezimalzahlen: $10^{-3} = 0{,}001$
6Die Regeln für Produkt, Quotient und Potenz einer Potenz gelten auch mit negativen Exponenten; zum Schluss schreibst du alles mit positiven Exponenten

Häufig gestellte Fragen

Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis gilt

a^{1} \cdot a^{-1} = a^{0} = 1

. Die Zahl, mit der du

a

multiplizieren musst, um

1

zu erhalten, ist

\frac{1}{a}

, also ist

a^{-1} = \frac{1}{a}

Glossar

Negativer Exponent: Ein Exponent kleiner als null. $a^{-n}$ bedeutet $\frac{1}{a^n}$ .
Kehrwert: Die Zahl, mit der man multipliziert, um 1 zu erhalten. Der Kehrwert von $5$ ist $\frac{1}{5}$ , der Kehrwert von $\frac{2}{3}$ ist $\frac{3}{2}$ .
Basis: Die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird. In $10^{-3}$ ist die Basis $10$ .
Schreibweise mit positiven Exponenten: Ein Term, der so umgeschrieben ist, dass alle Exponenten positiv sind, zum Beispiel $\frac{y^2}{x^3}$ statt $x^{-3}y^{2}$ .
Koeffizient: Die Zahl vor einer Variablen. In $2x^{-3}$ ist der Koeffizient $2$ , und der Exponent wirkt nicht auf ihn.

Formelkarte

Negativer Exponent

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert ($a \neq 0$)

Negativer Exponent im Nenner

\frac{1}{a^{-n}} = a^n

Ein Faktor wandert über den Bruchstrich und sein Exponent wechselt das Vorzeichen

Bruch hoch negative Zahl

\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n

Bruch umdrehen, dann mit dem positiven Exponenten rechnen

Kleine Zehnerpotenzen

10^{-n} = 0{,}\underbrace{0\ldots0}_{n-1}1

Zum Beispiel $10^{-3} = 0{,}001$

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Definition

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Häufige Fehler

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Potenzen als wiederholte Faktoren

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Warum es wichtig ist

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Winzige Maße in der Wissenschaft

Blendenstufen bei der Kamera

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Wichtige Erkenntnisse

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Glossar

Formelkarte

Negativer Exponent

Negativer Exponent im Nenner

Bruch hoch negative Zahl

Kleine Zehnerpotenzen

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Quadratwurzeln und Kubikwurzeln

Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren