Eine Potenz einer Potenz

Vereinfache $(5^2)^4$.

Bestimme die Basis und die beiden Exponenten: Basis $5$, innerer Exponent $2$, äußerer Exponent $4$ = Eine Potenz wird potenziert

Schreibe es als Produkt: $(5^2)^4 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = 5^{2+2+2+2}$ = $5^8$

Nutze die Abkürzung: Exponenten multiplizieren: $2 \cdot 4 = 8$ = $(5^2)^4 = 5^8$

Answer: $(5^2)^4 = 5^8 = 390\,625$

Potenz eines Produkts

Vereinfache $(2x)^4$.

Gib jedem Faktor in der Klammer den Exponenten: $(2x)^4 = 2^4 \cdot x^4$ = Sowohl $2$ als auch $x$ bekommen den Exponenten $4$

Berechne die Zahl: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ = $16$

Schreibe das Ergebnis auf: $16 \cdot x^4$ = $16x^4$

Answer: $(2x)^4 = 16x^4$

Vergiss den Koeffizienten nicht

Vereinfache $(3x^2)^3$.

Gib jedem Faktor den Exponenten: $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot (x^2)^3$ = Zwei Faktoren: $3$ und $x^2$

Potenziere den Koeffizienten: $3^3 = 27$ = $27$

Potenz einer Potenz für die Variable: $(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$ = $x^6$

Setze die Teile zusammen: $27 \cdot x^6$ = $27x^6$

Answer: $(3x^2)^3 = 27x^6$

Potenz eines Quotienten

Vereinfache $\left(\frac{x^3}{2}\right)^4$.

Potenziere Zähler und Nenner: $\left(\frac{x^3}{2}\right)^4 = \frac{(x^3)^4}{2^4}$ = Zwei getrennte Potenzen

Zähler: Exponenten multiplizieren: $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$ = $x^{12}$

Nenner: Potenz berechnen: $2^4 = 16$ = $16$

Schreibe den Bruch auf: $\frac{x^{12}}{16}$ = $\frac{x^{12}}{16}$

Answer: $\left(\frac{x^3}{2}\right)^4 = \frac{x^{12}}{16}$

Alle drei Regeln zusammen

Vereinfache $\frac{(2a^3)^2 \cdot a^4}{(a^2)^3}$.

Potenz eines Produkts im Zähler: $(2a^3)^2 = 2^2 \cdot a^{3 \cdot 2} = 4a^6$ = $4a^6$

Multiplikation gleicher Basen: Exponenten addieren: $4a^6 \cdot a^4 = 4a^{6+4}$ = $4a^{10}$

Potenz einer Potenz im Nenner: $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3}$ = $a^6$

Division gleicher Basen: Exponenten subtrahieren: $\frac{4a^{10}}{a^6} = 4a^{10-6}$ = $4a^4$

Answer: $\frac{(2a^3)^2 \cdot a^4}{(a^2)^3} = 4a^4$

Mistake: Die Exponenten addieren: $(x^3)^4 = x^7$

Why: Addieren gehört zur Multiplikation gleicher Basen, also zu $x^3 \cdot x^4$. Hier bedeutet die äußere $4$ vier Kopien von $x^3$, also ist der Exponent $3 + 3 + 3 + 3 = 12$.

Correct: Multipliziere die Exponenten: $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$

Mistake: Denken, dass $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ gilt

Why: Die Regel $(ab)^n = a^n b^n$ gilt für ein Produkt, nicht für eine Summe. Probiere es mit Zahlen: $(3 + 4)^2 = 7^2 = 49$, aber $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Correct: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$, also $(3 + 4)^2 = 9 + 24 + 16 = 49$

Mistake: $(2^3)^2$ und $2^{3^2}$ für dasselbe halten

Why: Die Klammern ändern die Reihenfolge. $(2^3)^2$ quadriert $2^3$, während bei $2^{3^2}$ zuerst der obere Exponent $3^2 = 9$ berechnet wird.

Correct: $(2^3)^2 = 2^6 = 64$, aber $2^{3^2} = 2^9 = 512$

Mistake: Den Koeffizienten vergessen: $(3x^2)^3 = 3x^6$

Why: Der Exponent gilt für jeden Faktor in der Klammer, und die Zahl $3$ ist auch ein Faktor.

Correct: $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot x^6 = 27x^6$

Speicherplatz im Computer

Computer zählen Speicher in Zweierpotenzen. Jede größere Einheit ist $2^{10} = 1024$-mal so groß wie die vorige.

Ein Kilobyte sind $2^{10}$ Byte, ein Megabyte sind $2^{10}$ Kilobyte, also ist ein Megabyte $(2^{10})^2 = 2^{20}$ Byte.

Ein Foto vergrößern

Wenn ein Bild vergrößert wird, werden Breite und Höhe mit demselben Faktor multipliziert. Die Fläche (die Anzahl der Pixel) wächst deshalb mit dem Quadrat dieses Faktors.

Verdoppelt man Breite und Höhe eines Fotos, wird die Anzahl der Pixel mit $2^2 = 4$ multipliziert.

Energie und Lichtgeschwindigkeit

Einsteins Formel $E = mc^2$ quadriert die Lichtgeschwindigkeit $c$, die ungefähr $3 \cdot 10^8$ Meter pro Sekunde beträgt.

Um $3 \cdot 10^8$ zu quadrieren, quadrierst du die $3$ und die Zehnerpotenz getrennt, weil beide Faktoren sind.

Q: Warum multiplizieren wir die Exponenten, statt sie zu addieren?

A: Weil $(a^m)^n$ bedeutet, dass $n$ Kopien von $a^m$ miteinander multipliziert werden. Nach dem Gesetz für gleiche Basen werden ihre Exponenten addiert: $m + m + \dots + m$ ($n$-mal), und das ist $m \cdot n$.

Q: Ist $(a^2)^3$ dasselbe wie $(a^3)^2$?

A: Ja. Beide ergeben $a^6$, weil $2 \cdot 3 = 3 \cdot 2$ ist. Prüfe es mit Zahlen: $(2^2)^3 = 4^3 = 64$ und $(2^3)^2 = 8^2 = 64$.

Q: Was bedeutet $2^{3^2}$ ohne Klammern?

A: Ein Exponententurm wird von oben nach unten berechnet: zuerst $3^2 = 9$, dann $2^9 = 512$. Wenn du $(2^3)^2 = 64$ meinst, musst du die Klammern schreiben.

Q: Gilt die Regel auch für eine Summe, zum Beispiel $(x + 2)^2$?

A: Nein. Den Exponenten darf man nur auf Faktoren verteilen. Eine Summe musst du ausmultiplizieren: $(x + 2)^2 = (x + 2)(x + 2) = x^2 + 4x + 4$.