Ist $(a^2)^3$ dasselbe wie $(a^3)^2$?

Ja. Beide ergeben $a^6$, weil $2 \cdot 3 = 3 \cdot 2$ ist. Prüfe es mit Zahlen: $(2^2)^3 = 4^3 = 64$ und $(2^3)^2 = 8^2 = 64$.

Was bedeutet $2^{3^2}$ ohne Klammern?

Ein Exponententurm wird von oben nach unten berechnet: zuerst $3^2 = 9$, dann $2^9 = 512$. Wenn du $(2^3)^2 = 64$ meinst, musst du die Klammern schreiben.

Gilt die Regel auch für eine Summe, zum Beispiel $(x + 2)^2$?

Nein. Den Exponenten darf man nur auf Faktoren verteilen. Eine Summe musst du ausmultiplizieren: $(x + 2)^2 = (x + 2)(x + 2) = x^2 + 4x + 4$.

Lehrermaterialien

Potenz einer Potenz

Q: Warum multiplizieren wir die Exponenten, statt sie zu addieren?

Weil $(a^m)^n$ bedeutet, dass $n$ Kopien von $a^m$ miteinander multipliziert werden. Nach dem Gesetz für gleiche Basen werden ihre Exponenten addiert: $m + m + \dots + m$ ($n$-mal), und das ist $m \cdot n$.

Lerne, warum man beim Potenzieren einer Potenz die Exponenten multipliziert, und wie man Produkte, Quotienten und Koeffizienten potenziert.

Mittelstufe25 MinLektion

Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Wenn eine Potenz noch einmal potenziert wird, behältst du die Basis und multiplizierst die Exponenten:

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Warum das funktioniert: Der äußere Exponent

n

sagt: „Nimm

a^m

genau

n

-mal als Faktor.“ Den Rest erledigt das Potenzgesetz für gleiche Basen (Exponenten addieren):

(2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3} = 2^6 = 64

Wenn du den Exponenten

m

insgesamt

n

-mal addierst, ist das dasselbe wie

m \cdot n

Zwei verwandte Regeln folgen aus derselben Idee:

Potenz eines Produkts: $(ab)^n = a^n b^n$ . Jeder Faktor in der Klammer bekommt den Exponenten, auch die Zahl davor: $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot (x^2)^3 = 27x^6$
Potenz eines Quotienten: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ (mit $b \neq 0$ )

Achte auf die Klammern:

(2^3)^2 = 2^6 = 64

, aber

2^{3^2} = 2^9 = 512

. Ohne Klammern wird zuerst der oberste Exponent berechnet.

In dieser Lektion sind alle Exponenten positive ganze Zahlen.

Probier es gleich aus

Vereinfache

(x^3)^4

Lösungsbeispiele

Vereinfache $(5^2)^4$ .

Bestimme die Basis und die beiden Exponenten

Basis $5$ , innerer Exponent $2$ , äußerer Exponent $4$ → Eine Potenz wird potenziert

Schreibe es als Produkt

$(5^2)^4 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = 5^{2+2+2+2}$ → $5^8$

Nutze die Abkürzung: Exponenten multiplizieren

$2 \cdot 4 = 8$ → $(5^2)^4 = 5^8$

Antwort: $(5^2)^4 = 5^8 = 390\,625$

Häufige Fehler

Die Exponenten addieren: $(x^3)^4 = x^7$

Warum es falsch ist: Addieren gehört zur Multiplikation gleicher Basen, also zu $x^3 \cdot x^4$ . Hier bedeutet die äußere $4$ vier Kopien von $x^3$ , also ist der Exponent $3 + 3 + 3 + 3 = 12$ .

Richtig: Multipliziere die Exponenten: $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$

Denken, dass $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ gilt

Warum es falsch ist: Die Regel $(ab)^n = a^n b^n$ gilt für ein Produkt, nicht für eine Summe. Probiere es mit Zahlen: $(3 + 4)^2 = 7^2 = 49$ , aber $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ .

Richtig: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$ , also $(3 + 4)^2 = 9 + 24 + 16 = 49$

$(2^3)^2$ und $2^{3^2}$ für dasselbe halten

Warum es falsch ist: Die Klammern ändern die Reihenfolge. $(2^3)^2$ quadriert $2^3$ , während bei $2^{3^2}$ zuerst der obere Exponent $3^2 = 9$ berechnet wird.

Richtig: $(2^3)^2 = 2^6 = 64$ , aber $2^{3^2} = 2^9 = 512$

Den Koeffizienten vergessen: $(3x^2)^3 = 3x^6$

Warum es falsch ist: Der Exponent gilt für jeden Faktor in der Klammer, und die Zahl $3$ ist auch ein Faktor.

Richtig: $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot x^6 = 27x^6$

Interaktive Visualisierung

Potenzen als wiederholte Faktoren

Potenz einer Potenz

Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren.

\left(2^{3}\right)^{2}

Jede Potenz als Produkt gleicher Faktoren schreiben

2

2

2

2^{3}

3 Faktoren

2

2

2

2^{3}

3 Faktoren

2 Gruppen mit je 3: 2 · 3 = 6 Faktoren

Ergebnis

\displaystyle \left(2^{3}\right)^{2}

=

\displaystyle 2^{3 \cdot 2}

=

\displaystyle 2^{6}

Wert: $2^{6} = 64$

Exponent m3Exponent n2

Rechenreihenfolge

1. Klammern
2. Potenzen
3. Punkt: × und ÷
4. Strich: + und −

2^{\colorbox{#fde68a}{$\color{#1f2937}3^{2}$}}

Dann die Potenzen: $3^{2} = 9$

Schritt 1 von 2

Flächenmodell: Quadrat eines Binoms

Ein Quadrat mit Seite x + a: zwei gleiche a·x-Streifen und eine a²-Ecke, also ist der mittlere Term 2ax.

Länge × Breite = Fläche

$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Vereinfache $(x^3)^4$ .

Warum es wichtig ist

Das Gesetz für die Potenz einer Potenz macht aus langen Multiplikationsketten einen einzigen schnellen Schritt:

Flächen und Volumen: Ein Quadrat mit der Seite $10^3$ m hat die Fläche $(10^3)^2 = 10^6$ m², und ein Würfel mit der Kante $2^2$ cm hat das Volumen $(2^2)^3 = 2^6 = 64$ cm³
Speicherplatz: Ein Kilobyte sind $2^{10}$ Byte, und $(2^{10})^3 = 2^{30}$ Byte sind etwas mehr als eine Milliarde Byte
Naturwissenschaft: In $E = mc^2$ wird die Lichtgeschwindigkeit $3 \cdot 10^8$ m/s quadriert: $(3 \cdot 10^8)^2 = 9 \cdot 10^{16}$
Algebra: Ein Quadrat mit der Seite $3x^2$ hat die Fläche $(3x^2)^2 = 9x^4$

Zusammen mit den Regeln für die Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis kannst du damit fast jeden Term mit Potenzen vereinfachen.

Anwendungen im echten Leben

Speicherplatz im Computer

Computer zählen Speicher in Zweierpotenzen. Jede größere Einheit ist $2^{10} = 1024$-mal so groß wie die vorige.

Beispiel:

Ein Kilobyte sind $2^{10}$ Byte, ein Megabyte sind $2^{10}$ Kilobyte, also ist ein Megabyte $(2^{10})^2 = 2^{20}$ Byte.

1Probiere es selbst

Ein Gigabyte sind $2^{10}$ Megabyte, also $2^{10} \cdot 2^{10} \cdot 2^{10}$ Byte, und das sind $(2^{10})^3$ Byte.

Schreibe die Anzahl der Byte in einem Gigabyte als eine einzige Zweierpotenz.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Vereinfache $(2^{10})^3$ :

Ein Foto vergrößern

Wenn ein Bild vergrößert wird, werden Breite und Höhe mit demselben Faktor multipliziert. Die Fläche (die Anzahl der Pixel) wächst deshalb mit dem Quadrat dieses Faktors.

Beispiel:

Verdoppelt man Breite und Höhe eines Fotos, wird die Anzahl der Pixel mit $2^2 = 4$ multipliziert.

2Probiere es selbst

Ein Foto wird so vergrößert, dass Breite und Höhe jeweils mit $2^3$ multipliziert werden.

Um welchen Faktor wächst die Anzahl der Pixel?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Der Flächenfaktor ist $(2^3)^2$ :

Energie und Lichtgeschwindigkeit

Einsteins Formel $E = mc^2$ quadriert die Lichtgeschwindigkeit $c$, die ungefähr $3 \cdot 10^8$ Meter pro Sekunde beträgt.

Beispiel:

Um $3 \cdot 10^8$ zu quadrieren, quadrierst du die $3$ und die Zehnerpotenz getrennt, weil beide Faktoren sind.

3Probiere es selbst

Die Lichtgeschwindigkeit beträgt ungefähr $c = 3 \cdot 10^8$ m/s.

Wie lautet $c^2 = (3 \cdot 10^8)^2$ in wissenschaftlicher Schreibweise?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Nutze die Potenz eines Produkts und die Potenz einer Potenz:

Wichtige Erkenntnisse

1Potenz einer Potenz: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ , Basis behalten und Exponenten multiplizieren
2Die Regel folgt aus der Multiplikation gleicher Basen: $(2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3} = 2^6$
3Potenz eines Produkts: $(ab)^n = a^n b^n$ , jeder Faktor bekommt den Exponenten, auch der Koeffizient: $(3x^2)^3 = 27x^6$
4Potenz eines Quotienten: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ , Zähler und Nenner potenzieren
5Klammern sind wichtig: $(2^3)^2 = 64$ , aber $2^{3^2} = 512$
6Die Regeln gelten nur für Produkte und Quotienten: $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$

Häufig gestellte Fragen

Weil

(a^m)^n

bedeutet, dass

n

Kopien von

a^m

miteinander multipliziert werden. Nach dem Gesetz für gleiche Basen werden ihre Exponenten addiert:

m + m + \dots + m

(

n

-mal), und das ist

m \cdot n

Glossar

Potenz einer Potenz: Eine Potenz, die noch einmal potenziert wird, zum Beispiel $(a^m)^n$ . Sie ist gleich $a^{m \cdot n}$ .
Potenz eines Produkts: Ein Produkt wird potenziert: $(ab)^n = a^n b^n$ . Jeder Faktor bekommt den Exponenten.
Potenz eines Quotienten: Ein Bruch wird potenziert: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ , mit $b \neq 0$ .
Koeffizient: Die Zahl vor einer Variablen. In $3x^2$ ist der Koeffizient $3$ .
Basis: Die Zahl oder Variable, die multipliziert wird. In $(x^2)^3$ ist die Basis $x$ .
Exponent (Hochzahl): Die kleine hochgestellte Zahl, die angibt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt.

Formelkarte

Potenz einer Potenz

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Basis behalten, Exponenten multiplizieren

Potenz eines Produkts

(ab)^n = a^n b^n

Jeder Faktor in der Klammer bekommt den Exponenten

Potenz eines Quotienten

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

Zähler und Nenner potenzieren ($b \neq 0$)

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Definition

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Häufige Fehler

Interaktive Visualisierung

Potenzen als wiederholte Faktoren

Rechenreihenfolge

Flächenmodell: Quadrat eines Binoms

Interaktiver Sandkasten

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Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Speicherplatz im Computer

Ein Foto vergrößern

Energie und Lichtgeschwindigkeit

Wichtige Erkenntnisse

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Glossar

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Potenz einer Potenz

Potenz eines Produkts

Potenz eines Quotienten

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Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren