Dem Muster bis $3^0$ folgen

Bestimme $3^0$ mit dem Muster der Dreierpotenzen.

Beginne mit einer bekannten Potenz: $3^3 = 3 \times 3 \times 3$ = $3^3 = 27$

Exponent um 1 verkleinern: durch 3 teilen: $27 \div 3 = 9$ = $3^2 = 9$

Noch einmal verkleinern: durch 3 teilen: $9 \div 3 = 3$ = $3^1 = 3$

Ein letzter Schritt bis zum Exponenten 0: $3 \div 3 = 1$ = $3^0 = 1$

Answer: $3^0 = 1$

Mit der Regel für die Division von Potenzen mit gleicher Basis

Berechne $\frac{7^4}{7^4}$ auf zwei Arten.

Jede Zahl ungleich null geteilt durch sich selbst: $\frac{7^4}{7^4} = \frac{2401}{2401}$ = $1$

Wende die Regel für Potenzen mit gleicher Basis an: $\frac{7^4}{7^4} = 7^{4-4}$ = $7^0$

Beide Ergebnisse müssen gleich sein: $7^0 = \frac{7^4}{7^4} = 1$ = $7^0 = 1$

Answer: $\frac{7^4}{7^4} = 7^0 = 1$

$5x^0$ im Vergleich zu $(5x)^0$

Berechne $5x^0$ und $(5x)^0$ für $x = 2$.

In $5x^0$ gehört der Exponent nur zu $x$: $5x^0 = 5 \times x^0 = 5 \times 2^0$ = $5 \times 1$

Multipliziere: $5 \times 1 = 5$ = $5x^0 = 5$

In $(5x)^0$ gehört der Exponent zur ganzen Klammer: $(5 \times 2)^0 = 10^0$ = $(5x)^0 = 1$

Answer: $5x^0 = 5$ und $(5x)^0 = 1$

$-3^0$ im Vergleich zu $(-3)^0$

Berechne $-3^0$ und $(-3)^0$.

Ohne Klammer gehört der Exponent nur zur $3$: $-3^0 = -(3^0)$ = $-(1)$

Setze das Minuszeichen davor: $-(1) = -1$ = $-3^0 = -1$

Mit Klammer ist die Basis $-3$: $(-3)^0$ hat eine Basis ungleich null = $(-3)^0 = 1$

Answer: $-3^0 = -1$ und $(-3)^0 = 1$

Ein Term mit mehreren Potenzen hoch null

Berechne $4^0 + 2^3 \times 6^0 - \left(\frac{1}{2}\right)^0$.

Ersetze jede Potenz mit Exponent null durch 1: $4^0 = 1$, $6^0 = 1$, $\left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$ = $1 + 2^3 \times 1 - 1$

Berechne die übrige Potenz: $2^3 = 8$ = $1 + 8 \times 1 - 1$

Zuerst multiplizieren: $8 \times 1 = 8$ = $1 + 8 - 1$

Von links nach rechts addieren und subtrahieren: $1 + 8 - 1$ = $8$

Answer: $8$

Mistake: $a^0 = 0$ schreiben, zum Beispiel $9^0 = 0$

Why: Der Exponent $0$ bedeutet nicht, mit null zu multiplizieren. Im Muster nach unten teilst du durch die Basis, und $9 \div 9 = 1$.

Correct: $9^0 = 1$, denn $\frac{9^1}{9^1} = 9^0$ und $\frac{9}{9} = 1$

Mistake: $a^0 = a$ schreiben, zum Beispiel $9^0 = 9$

Why: Das ist die Regel für den Exponenten $1$: $9^1 = 9$. Der Exponent $0$ ist ein Schritt weiter unten, also teilst du noch einmal durch $9$.

Correct: $9^1 = 9$, aber $9^0 = 1$

Mistake: $5x^0 = 1$ schreiben

Why: Der Exponent gehört nur zu $x$, nicht zum Koeffizienten $5$. Nur $x^0$ wird zu $1$.

Correct: $5x^0 = 5 \times 1 = 5$, während $(5x)^0 = 1$ ist

Mistake: $-3^0 = 1$ schreiben

Why: Ohne Klammer ist die Basis $3$, nicht $-3$. Das Minuszeichen bleibt vor dem Ergebnis stehen.

Correct: $-3^0 = -(3^0) = -1$, während $(-3)^0 = 1$ ist

Stellenwert und Zehnerpotenzen

Jede Stelle in unserem Zahlensystem ist eine Zehnerpotenz. Die Einerstelle ist $10^0 = 1$.

$6072 = 6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$, und der letzte Summand ist $2 \times 1 = 2$.

Binärzahlen im Computer

Computer speichern Zahlen im Binärsystem. Jede Binärstelle ist eine Zweierpotenz, und die Stelle ganz rechts ist $2^0 = 1$.

Die Binärzahl $1011$ bedeutet $1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$.

Startwert eines Wachstumsmodells

Biologen beschreiben eine Population, die sich jede Stunde verdoppelt, mit $P = P_0 \times 2^t$, wobei $t$ die Zeit in Stunden ist.

Für $P = 200 \times 2^t$ ist nach 3 Stunden $P = 200 \times 2^3 = 1600$, und zu Beginn $P = 200 \times 2^0 = 200$.

Q: Warum ist $a^0$ gleich 1 und nicht 0?

A: Weil jeder Schritt nach unten im Exponenten durch die Basis teilt. Von $5^1 = 5$ ergibt ein weiterer Schritt nach unten $5 \div 5 = 1$. Die Division von Potenzen mit gleicher Basis sagt dasselbe: $\frac{5^3}{5^3} = 5^0$, und jede Zahl ungleich null geteilt durch sich selbst ist $1$.

Q: Was ist $0^0$?

A: Auf dieser Stufe bleibt $0^0$ undefiniert. Das Musterargument verlangt, durch die Basis zu teilen, und durch $0$ kann man nicht teilen. Deshalb lautet die Regel $a^0 = 1$ für $a \neq 0$.

Q: Gilt die Regel auch für negative Zahlen und Brüche?

A: Ja, solange die Basis nicht null ist und die ganze Basis in Klammern steht: $(-8)^0 = 1$ und $\left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1$.

Q: Warum zeigt mein Taschenrechner $-1$ für $-3^0$?

A: Der Taschenrechner hält sich an die Rechenreihenfolge: Die Potenz kommt vor dem Minuszeichen, also rechnet er $-(3^0) = -1$. Tippe $(-3)^0$ mit Klammer ein, um $1$ zu erhalten.