Auf dieser Stufe bleibt $0^0$ undefiniert. Das Musterargument verlangt, durch die Basis zu teilen, und durch $0$ kann man nicht teilen. Deshalb lautet die Regel $a^0 = 1$ für $a \neq 0$.

Gilt die Regel auch für negative Zahlen und Brüche?

Ja, solange die Basis nicht null ist und die ganze Basis in Klammern steht: $(-8)^0 = 1$ und $\left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1$.

Warum zeigt mein Taschenrechner $-1$ für $-3^0$?

Der Taschenrechner hält sich an die Rechenreihenfolge: Die Potenz kommt vor dem Minuszeichen, also rechnet er $-(3^0) = -1$. Tippe $(-3)^0$ mit Klammer ein, um $1$ zu erhalten.

Lehrermaterialien

Exponent null

Lerne, warum jede Zahl außer null hoch null gleich 1 ist und wie du Ausdrücke wie $5x^0$ und $(-3)^0$ richtig berechnest.

Mittelstufe20 MinLektion

Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Die Regel für den Exponenten null besagt: Jede Zahl ungleich null hoch

0

ergibt

1

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Also ist

7^0 = 1

100^0 = 1

(-5)^0 = 1

und

\left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1

Warum? Schau dir das Muster an. Jedes Mal, wenn der Exponent um

1

kleiner wird, teilst du durch die Basis:

Potenz	Wert
$2^4$	$16$
$2^3$	$8$
$2^2$	$4$
$2^1$	$2$
$2^0$	$2 \div 2 = 1$

Die Regel für die Division von Potenzen mit gleicher Basis bestätigt das. Eine Potenz geteilt durch sich selbst ergibt

1

, und die Regel für die Division von Potenzen mit gleicher Basis liefert den Exponenten

0

\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 \quad \text{und} \quad \frac{a^n}{a^n} = 1

Achte darauf, wozu der Exponent gehört. Ein Exponent gilt nur für die Basis direkt davor:

$5x^0 = 5 \times x^0 = 5 \times 1 = 5$ , aber $(5x)^0 = 1$
$-3^0 = -(3^0) = -1$ , aber $(-3)^0 = 1$

Sonderfall:

0^0

bleibt auf dieser Stufe undefiniert. Die Regel

a^0 = 1

gilt nur für

a \neq 0

Probier es gleich aus

Wie viel ist

9^0

Lösungsbeispiele

Bestimme $3^0$ mit dem Muster der Dreierpotenzen.

Beginne mit einer bekannten Potenz

$3^3 = 3 \times 3 \times 3$ → $3^3 = 27$

Exponent um 1 verkleinern: durch 3 teilen

$27 \div 3 = 9$ → $3^2 = 9$

Noch einmal verkleinern: durch 3 teilen

$9 \div 3 = 3$ → $3^1 = 3$

Ein letzter Schritt bis zum Exponenten 0

$3 \div 3 = 1$ → $3^0 = 1$

Antwort: $3^0 = 1$

Häufige Fehler

$a^0 = 0$ schreiben, zum Beispiel $9^0 = 0$

Warum es falsch ist: Der Exponent $0$ bedeutet nicht, mit null zu multiplizieren. Im Muster nach unten teilst du durch die Basis, und $9 \div 9 = 1$ .

Richtig: $9^0 = 1$ , denn $\frac{9^1}{9^1} = 9^0$ und $\frac{9}{9} = 1$

$a^0 = a$ schreiben, zum Beispiel $9^0 = 9$

Warum es falsch ist: Das ist die Regel für den Exponenten $1$ : $9^1 = 9$ . Der Exponent $0$ ist ein Schritt weiter unten, also teilst du noch einmal durch $9$ .

Richtig: $9^1 = 9$ , aber $9^0 = 1$

$5x^0 = 1$ schreiben

Warum es falsch ist: Der Exponent gehört nur zu $x$ , nicht zum Koeffizienten $5$ . Nur $x^0$ wird zu $1$ .

Richtig: $5x^0 = 5 \times 1 = 5$ , während $(5x)^0 = 1$ ist

$-3^0 = 1$ schreiben

Warum es falsch ist: Ohne Klammer ist die Basis $3$ , nicht $-3$ . Das Minuszeichen bleibt vor dem Ergebnis stehen.

Richtig: $-3^0 = -(3^0) = -1$ , während $(-3)^0 = 1$ ist

Interaktive Visualisierung

Potenzen als wiederholte Faktoren

Potenzen dividieren

Gleiche Basis, dividieren: Exponenten subtrahieren.

\frac{5^{3}}{5^{3}}

Jede Potenz als Produkt gleicher Faktoren schreiben

5

5

5

5

5

5

3 gemeinsame Faktoren werden oben und unten gekürzt

Alle Faktoren kürzen sich weg: Ergebnis 1, also Exponent 0

\displaystyle 1 = 5^{0}

Ergebnis

\displaystyle \frac{5^{3}}{5^{3}}

=

\displaystyle 5^{3 - 3}

=

\displaystyle 5^{0}

=

\displaystyle 1

Wert: $5^{0} = 1$

Gilt für jede Basis außer 0

Basis:

Berechnen:2³ = 8

Sieh, wie Potenzen einer Zahl auf dem Zahlenstrahl wachsen. Ändere Basis und Exponent.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Wie viel ist $9^0$ ?

Warum es wichtig ist

Der Exponent null taucht überall auf, wo Potenzen verwendet werden:

Stellenwert: Die Einerstelle ist $10^0 = 1$ , also $345 = 3 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 5 \times 10^0$
Computer: Die Ziffer ganz rechts einer Binärzahl ist $2^0 = 1$ wert
Wachstumsmodelle: In $P = 500 \times 2^t$ ist der Startwert bei $t = 0$ gleich $500 \times 2^0 = 500$
Algebra: Um $\frac{x^4}{x^4}$ oder $3x^0$ zu vereinfachen, brauchst du die Regel jedes Mal

Wäre

a^0

gleich

0

, dann wäre die Einerstelle nichts wert und jedes Wachstumsmodell würde bei null beginnen. Nur der Wert

1

sorgt dafür, dass alle Potenzgesetze weiter funktionieren.

Anwendungen im echten Leben

Stellenwert und Zehnerpotenzen

Jede Stelle in unserem Zahlensystem ist eine Zehnerpotenz. Die Einerstelle ist $10^0 = 1$.

Beispiel:

$6072 = 6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$ , und der letzte Summand ist $2 \times 1 = 2$ .

1Probiere es selbst

Eine Lehrerin schreibt $6072$ in Stellenwertschreibweise: $6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$ .

Welchen Wert hat der letzte Summand $2 \times 10^0$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe den letzten Summanden als Rechnung:

Binärzahlen im Computer

Computer speichern Zahlen im Binärsystem. Jede Binärstelle ist eine Zweierpotenz, und die Stelle ganz rechts ist $2^0 = 1$.

Beispiel:

Die Binärzahl $1011$ bedeutet $1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$ .

2Probiere es selbst

Ein Sensor sendet die Binärzahl $101$ , also $1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0$ .

Welche Zahl ist das in unserem gewohnten Dezimalsystem?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Summe der Stellenwerte:

Startwert eines Wachstumsmodells

Biologen beschreiben eine Population, die sich jede Stunde verdoppelt, mit $P = P_0 \times 2^t$, wobei $t$ die Zeit in Stunden ist.

Beispiel:

Für $P = 200 \times 2^t$ ist nach 3 Stunden $P = 200 \times 2^3 = 1600$ , und zu Beginn $P = 200 \times 2^0 = 200$ .

3Probiere es selbst

Eine Bakterienkultur wächst nach $P = 500 \times 2^t$ , wobei $t$ die Anzahl der Stunden seit Beginn ist.

Wie viele Bakterien gibt es zu Beginn, also bei $t = 0$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Setze $t = 0$ in die Formel ein:

Wichtige Erkenntnisse

1Für jede Zahl $a$ ungleich null gilt: $a^0 = 1$
2Muster: Jeder Schritt nach unten im Exponenten teilt durch die Basis, aus $2^1 = 2$ wird $2^0 = 2 \div 2 = 1$
3Regel für die Division von Potenzen mit gleicher Basis: $\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$ , und eine Zahl geteilt durch sich selbst ist $1$
4Der Exponent gehört nur zur Basis direkt davor: $5x^0 = 5$ , aber $(5x)^0 = 1$
5Klammern sind bei negativen Zahlen wichtig: $-3^0 = -1$ , aber $(-3)^0 = 1$
6 $a^0$ ist nie $0$ und nie $a$ ; $0^0$ bleibt auf dieser Stufe undefiniert

Häufig gestellte Fragen

Weil jeder Schritt nach unten im Exponenten durch die Basis teilt. Von

5^1 = 5

ergibt ein weiterer Schritt nach unten

5 \div 5 = 1

. Die Division von Potenzen mit gleicher Basis sagt dasselbe:

\frac{5^3}{5^3} = 5^0

, und jede Zahl ungleich null geteilt durch sich selbst ist

1

Glossar

Exponent null: Ein Exponent, der gleich $0$ ist. Für jede Basis ungleich null gilt $a^0 = 1$ .
Basis: Die Zahl, die potenziert wird. In $(-3)^0$ ist die Basis $-3$ , in $-3^0$ ist sie $3$ .
Division von Potenzen mit gleicher Basis: Beim Teilen von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ .
Koeffizient: Die Zahl vor einer Variablen. In $5x^0$ ist der Koeffizient $5$ , und der Exponent wirkt nicht auf ihn.
Undefiniert: Ein Ausdruck, dem kein Wert zugeordnet wird. Auf dieser Stufe bleibt $0^0$ undefiniert.

Formelkarte

Regel für den Exponenten null

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Jede Zahl ungleich null hoch null ergibt 1

Warum es funktioniert

\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 = 1

Die Division von Potenzen mit gleicher Basis und das Teilen einer Zahl durch sich selbst liefern dasselbe Ergebnis

Koeffizient davor

c \cdot x^0 = c \quad (x \neq 0)

Nur die Variable wird zu 1, der Koeffizient bleibt

Klammern und negative Zahlen

(-a)^0 = 1, \quad -a^0 = -1

Mit Klammer ist die Basis negativ, ohne Klammer bleibt das Minuszeichen außen

Mehr zu diesem Thema

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Interaktive Visualisierung

Potenzen als wiederholte Faktoren

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Verlauf

Übungsaufgaben

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Stellenwert und Zehnerpotenzen

Binärzahlen im Computer

Startwert eines Wachstumsmodells

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Regel für den Exponenten null

Warum es funktioniert

Koeffizient davor

Klammern und negative Zahlen

Mehr zu diesem Thema

Einführung in Potenzen

Potenzgesetze

Quadratwurzeln und Kubikwurzeln

Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren