Ein positiver Exponent

Schreibe $4{,}5 \times 10^6$ als ausgeschriebene Zahl.

Lies den Exponenten: $n = 6$ ist positiv, also wandert das Komma $6$ Stellen nach rechts = 6 Stellen nach rechts

Nutze die vorhandenen Ziffern: $4{,}5$ hat eine Nachkommastelle, der erste Sprung nutzt die $5$: $45$ = 1 Stelle genutzt, 5 übrig

Ergänze Platzhalter-Nullen: Die übrigen $5$ Stellen werden Nullen: $45\,\underline{00000}$ = $4.500.000$

Prüfe die Größe: $10^6$ ist eine Million, und $4{,}5$ Millionen sind $4.500.000$ = Passt

Answer: $4{,}5 \times 10^6 = 4.500.000$

Ein negativer Exponent

Schreibe $3{,}2 \times 10^{-4}$ als ausgeschriebene Zahl.

Lies den Exponenten: $n = -4$ ist negativ, also wandert das Komma $4$ Stellen nach links = 4 Stellen nach links

Verschiebe das Komma Stelle für Stelle: $3{,}2 \to 0{,}32 \to 0{,}032 \to 0{,}0032 \to 0{,}00032$ = $0{,}00032$

Zähle die Platzhalter-Nullen: Zwischen Komma und $3$ stehen $4 - 1 = 3$ Nullen = 3 Nullen

Prüfe die Größe: Ein negativer Exponent ergibt eine positive Zahl kleiner als $1$ = $0{,}00032$ liegt zwischen $0$ und $1$

Answer: $3{,}2 \times 10^{-4} = 0{,}00032$

Der Exponent null

Schreibe $7{,}25 \times 10^0$ als ausgeschriebene Zahl.

Lies den Exponenten: $n = 0$, und $10^0 = 1$ = Mal 1

Verschiebe das Komma um null Stellen: $7{,}25 \times 1 = 7{,}25$ = $7{,}25$

Answer: $7{,}25 \times 10^0 = 7{,}25$: die Zahl ändert sich nicht

Entfernung von der Erde zur Sonne

Die mittlere Entfernung von der Erde zur Sonne beträgt $1{,}496 \times 10^8$ km. Schreibe sie als ausgeschriebene Zahl.

Lies den Exponenten: $n = 8$, also Komma $8$ Stellen nach rechts = 8 Stellen nach rechts

Nutze die Nachkommastellen: $1{,}496$ hat $3$ Nachkommastellen: $1496$ = 3 Stellen genutzt

Ergänze die fehlenden Nullen: $8 - 3 = 5$ Nullen: $1496\,\underline{00000}$ = $149.600.000$

Lies die Zahl laut: Einhundertneunundvierzig Millionen sechshunderttausend = $149.600.000$ km

Answer: $1{,}496 \times 10^8$ km $= 149.600.000$ km

Eine Taschenrechner-Anzeige lesen

Ein Taschenrechner zeigt 6.02E23. Welche Zahl ist das?

Übersetze das E: E23 bedeutet $\times 10^{23}$ = $6{,}02 \times 10^{23}$

Lies den Exponenten: $n = 23$, Komma $23$ Stellen nach rechts = 23 Stellen nach rechts

Zähle die Nullen: $6{,}02$ hat $2$ Nachkommastellen, also folgen auf $602$ genau $23 - 2 = 21$ Nullen = 21 Nullen

Schreibe die Zahl aus: $602$ mit $21$ Nullen dahinter, insgesamt $24$ Ziffern = $602.000.000.000.000.000.000.000$

Answer: $6{,}02 \times 10^{23} = 602.000.000.000.000.000.000.000$ (die Avogadro-Zahl)

Mistake: Bei negativem Exponenten das Komma nach rechts schieben: $3{,}2 \times 10^{-4} = 32.000$

Why: Ein negativer Exponent bedeutet, immer wieder durch $10$ zu teilen. Die Zahl wird also kleiner, nicht größer.

Correct: Negativer Exponent, Komma nach links: $3{,}2 \times 10^{-4} = 0{,}00032$

Mistake: Einfach $n$ Nullen anhängen: $4{,}5 \times 10^6 = 45.000.000$

Why: Der Exponent zählt die Stellen, um die das Komma wandert, nicht die Nullen. Die Ziffer $5$ belegt schon eine der $6$ Stellen.

Correct: Nur $6 - 1 = 5$ Nullen sind nötig: $4{,}5 \times 10^6 = 4.500.000$

Mistake: $n$ Nullen hinter das Komma schreiben: $3{,}2 \times 10^{-4} = 0{,}000032$

Why: Der erste Sprung nach links setzt das Komma nur vor die $3$, ohne eine Null hinzuzufügen. Das ist eine Null zu viel.

Correct: Bei einer einstelligen Zahl vor dem Komma stehen $|n| - 1$ Nullen hinter dem Komma: $0{,}00032$ (3 Nullen)

Mistake: Glauben, ein negativer Exponent macht die Zahl negativ: $5 \times 10^{-3} = -5000$

Why: Das Vorzeichen des Exponenten bestimmt nur die Größe. Negativ wird die Zahl nur durch ein Minus vor dem Koeffizienten.

Correct: $5 \times 10^{-3} = 0{,}005$ (positiv), aber $-5 \times 10^{3} = -5000$

Astronomie

Astronomen schreiben Entfernungen in wissenschaftlicher Notation, aber Karten, Bücher und Nachrichten geben sie oft ausgeschrieben an.

Licht legt pro Sekunde etwa $3 \times 10^5$ km zurück, das sind $300.000$ km pro Sekunde.

Biologie und Medizin

Zellen, Bakterien und Viren misst man in winzigen Bruchteilen eines Meters, deshalb stehen in Laborwerten oft negative Exponenten.

Ein Bakterium von etwa $2 \times 10^{-6}$ m Länge ist $0{,}000002$ m lang, also zwei Millionstel Meter.

Taschenrechner und Tabellenkalkulation

Wenn ein Ergebnis zu viele Ziffern für die Anzeige hat, schalten Taschenrechner und Tabellenprogramme auf die E-Schreibweise um: 4.54E9 bedeutet $4{,}54 \times 10^9$.

Eine Tabellenzelle mit der Anzeige 2,5E-4 enthält die Zahl $0{,}00025$.

Q: Wie viele Nullen schreibe ich bei einem positiven Exponenten?

A: Ziehe die Anzahl der Nachkommastellen des Koeffizienten vom Exponenten ab. Bei $1{,}496 \times 10^8$: $8 - 3 = 5$ Nullen, also $149.600.000$.

Q: Wie viele Nullen stehen bei einem negativen Exponenten hinter dem Komma?

A: Liegt der Koeffizient zwischen $1$ und $10$, stehen $|n| - 1$ Nullen zwischen Komma und erster Ziffer. Bei $7 \times 10^{-6}$: $5$ Nullen, also $0{,}000007$.

Q: Kann ein negativer Exponent eine negative Zahl ergeben?

A: Nein. $10^{-n}$ ist immer positiv. Negativ ist eine Zahl nur, wenn vor dem Koeffizienten ein Minus steht, zum Beispiel $-2{,}5 \times 10^{-3} = -0{,}0025$.

Q: Was bedeutet das E auf meinem Taschenrechner?

A: E steht für "Exponent" und bedeutet $\times 10^{\square}$. So ist 3.1E-5 gleich $3{,}1 \times 10^{-5} = 0{,}000031$. Mit der eulerschen Zahl $e \approx 2{,}718$ hat es nichts zu tun.