Von der wissenschaftlichen Notation in die Dezimalschreibweise

Lerne, eine Zahl wie 3,2 × 10⁻⁴ wieder als gewöhnliche Dezimalzahl zu schreiben: Komma verschieben und Nullen ergänzen.

Mittelstufe25 MinLektion
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Definition

In der letzten Lektion hast du Zahlen in wissenschaftlicher Notation (auch wissenschaftliche Schreibweise) geschrieben. Jetzt gehen wir den umgekehrten Weg: von a×10na \times 10^n zurück zur ausgeschriebenen Zahl, der Dezimalschreibweise.
Der Exponent nn sagt dir, um wie viele Stellen du das Komma des Koeffizienten (Vorfaktors) aa verschiebst:
  • n>0n > 0: Komma um nn Stellen nach rechts (die Zahl wird größer)
  • n<0n < 0: Komma um ∣n∣|n| Stellen nach links (die Zahl wird kleiner, bleibt aber positiv)
  • n=0n = 0: Komma bleibt, denn 100=110^0 = 1
Wenn dir die Ziffern ausgehen, füllst du die leeren Stellen mit Platzhalter-Nullen:
4,5×106=4.500.0003,2×10−4=0,000324{,}5 \times 10^6 = 4.500.000 \qquad 3{,}2 \times 10^{-4} = 0{,}00032

Probier es gleich aus

Wie lautet 5×1035 \times 10^3 als ausgeschriebene Zahl?

Lösungsbeispiele

Schreibe 4,5×1064{,}5 \times 10^6 als ausgeschriebene Zahl.
1

Lies den Exponenten

n=6n = 6 ist positiv, also wandert das Komma 66 Stellen nach rechts
2

Nutze die vorhandenen Ziffern

4,54{,}5 hat eine Nachkommastelle, der erste Sprung nutzt die 55: 4545 → 1 Stelle genutzt, 5 übrig
3

Ergänze Platzhalter-Nullen

Die übrigen 55 Stellen werden Nullen: 45 00000‾45\,\underline{00000} → 4.500.0004.500.000
4

Prüfe die Größe

10610^6 ist eine Million, und 4,54{,}5 Millionen sind 4.500.0004.500.000 → Passt

Häufige Fehler

Bei negativem Exponenten das Komma nach rechts schieben: 3,2×10−4=32.0003{,}2 \times 10^{-4} = 32.000

Warum es falsch ist: Ein negativer Exponent bedeutet, immer wieder durch 1010 zu teilen. Die Zahl wird also kleiner, nicht größer.

Richtig: Negativer Exponent, Komma nach links: 3,2×10−4=0,000323{,}2 \times 10^{-4} = 0{,}00032

Einfach nn Nullen anhängen: 4,5×106=45.000.0004{,}5 \times 10^6 = 45.000.000

Warum es falsch ist: Der Exponent zählt die Stellen, um die das Komma wandert, nicht die Nullen. Die Ziffer 55 belegt schon eine der 66 Stellen.

Richtig: Nur 6−1=56 - 1 = 5 Nullen sind nötig: 4,5×106=4.500.0004{,}5 \times 10^6 = 4.500.000

nn Nullen hinter das Komma schreiben: 3,2×10−4=0,0000323{,}2 \times 10^{-4} = 0{,}000032

Warum es falsch ist: Der erste Sprung nach links setzt das Komma nur vor die 33, ohne eine Null hinzuzufügen. Das ist eine Null zu viel.

Richtig: Bei einer einstelligen Zahl vor dem Komma stehen ∣n∣−1|n| - 1 Nullen hinter dem Komma: 0,000320{,}00032 (3 Nullen)

Glauben, ein negativer Exponent macht die Zahl negativ: 5×10−3=−50005 \times 10^{-3} = -5000

Warum es falsch ist: Das Vorzeichen des Exponenten bestimmt nur die Größe. Negativ wird die Zahl nur durch ein Minus vor dem Koeffizienten.

Richtig: 5×10−3=0,0055 \times 10^{-3} = 0{,}005 (positiv), aber −5×103=−5000-5 \times 10^{3} = -5000

Interaktive Visualisierung

Verschiebe das Komma: von der wissenschaftlichen Notation zur Dezimalschreibweise

Von der wissenschaftlichen Schreibweise zur Dezimalzahl

Verschiebe das Komma mit den Knöpfen oder ziehe es. Die Ziffern bleiben, wo sie sind.

45,
4,5×1064{,}5 \times 10^{6}

Jeder Sprung des Kommas ändert den Exponenten um 1. Der Wert bleibt gleich.

Der Exponent ist größer als 0: Schiebe das Komma nach rechts, bis er 0 ist.

Orange Nullen sind Platzhalter: Sie halten die Ziffern an ihrer Stelle.

Zum Vergleich der Größen

10⁻²10⁰10²10⁴10⁶10⁸10¹⁰10¹²45321
Zehnerpotenzen: Jeder Schritt nach rechts ist 10-mal so groß.
1Erde bis Sonne (m):1,496×10111{,}496 \times 10^{11}= 149600000000
2Menschen auf der Erde (etwa):8×1098 \times 10^{9}= 8000000000
3Mount Everest (m):8,849×1038{,}849 \times 10^{3}= 8849
4rotes Blutkörperchen (m):7×10−67 \times 10^{-6}= 0,000007
5Wasserstoffatom (m):1,06×10−101{,}06 \times 10^{-10}= 0,000000000106

Stellenwerttabelle

Zahl eingeben:

0,00032

Wissenschaftliche Schreibweise: 3,2 × 10⁻⁴

Einer
1
Zehntel
0,1
Hundertstel
0,01
Tausendstel
0,001
Zehntausendstel
0,0001
Hunderttausendstel
0,00001
000032

Ausgeschriebene Form:

3 × 0,0001 + 2 × 0,00001

Klicke auf einen Stellenwert, um ihn hervorzuheben und seinen Wert zu sehen.

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Aufgabe 1 von 18
Einfach
Wie lautet 5×1035 \times 10^3 als ausgeschriebene Zahl?

Warum es wichtig ist

Die wissenschaftliche Notation ist kompakt, aber um sich eine Größe vorzustellen oder damit zu arbeiten, braucht man oft die ausgeschriebene Zahl:
  • Weltraum: Die Sonne ist 1,496×1081{,}496 \times 10^8 km entfernt, das sind 149.600.000149.600.000 km
  • Biologie: Ein rotes Blutkörperchen ist 7×10−67 \times 10^{-6} m breit, also 0,0000070{,}000007 m
  • Taschenrechner und Tabellenkalkulationen zeigen sehr große oder sehr kleine Ergebnisse als 6.02E23 oder 2.5E-7 an. Das E bedeutet "mal zehn hoch", und du musst es zurückübersetzen können
  • Fachtexte und Nachrichten mischen beide Schreibweisen, und oft musst du einen Wert in wissenschaftlicher Notation mit einem ausgeschriebenen Wert vergleichen
Wenn du in beide Richtungen umwandeln kannst, ist keine Zahl zu groß oder zu klein, um sie zu verstehen.

Anwendungen im echten Leben

Astronomie

Astronomen schreiben Entfernungen in wissenschaftlicher Notation, aber Karten, Bücher und Nachrichten geben sie oft ausgeschrieben an.

Beispiel:

Licht legt pro Sekunde etwa 3×1053 \times 10^5 km zurück, das sind 300.000300.000 km pro Sekunde.

1Probiere es selbst

Die mittlere Entfernung von der Erde zum Mond beträgt 3,844×1053{,}844 \times 10^5 km.

Schreibe diese Entfernung als ausgeschriebene Zahl in Kilometern.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Gib die Entfernung in km als ausgeschriebene Zahl ein:

Biologie und Medizin

Zellen, Bakterien und Viren misst man in winzigen Bruchteilen eines Meters, deshalb stehen in Laborwerten oft negative Exponenten.

Beispiel:

Ein Bakterium von etwa 2×10−62 \times 10^{-6} m Länge ist 0,0000020{,}000002 m lang, also zwei Millionstel Meter.

2Probiere es selbst

Ein Grippevirus hat einen Durchmesser von etwa 1,2×10−71{,}2 \times 10^{-7} m.

Schreibe den Durchmesser als ausgeschriebene Dezimalzahl in Metern.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Gib den Durchmesser in Metern ein:

Taschenrechner und Tabellenkalkulation

Wenn ein Ergebnis zu viele Ziffern für die Anzeige hat, schalten Taschenrechner und Tabellenprogramme auf die E-Schreibweise um: 4.54E9 bedeutet $4{,}54 \times 10^9$.

Beispiel:

Eine Tabellenzelle mit der Anzeige 2,5E-4 enthält die Zahl 0,000250{,}00025.

3Probiere es selbst

Ein Taschenrechner zeigt 4.54E9 für das Alter der Erde in Jahren.

Wie viele Jahre sind das, als ausgeschriebene Zahl?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Gib die Anzahl der Jahre ein:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Um a×10na \times 10^n auszuschreiben, verschiebst du das Komma von aa um ∣n∣|n| Stellen
  • 2Positiver Exponent: Komma nach rechts, die Zahl ist 1010 oder größer
  • 3Negativer Exponent: Komma nach links, die Zahl liegt zwischen 00 und 11 (und bleibt positiv)
  • 4Exponent 00: die Zahl bleibt gleich, denn 100=110^0 = 1
  • 5Jede leere Stelle wird mit einer Platzhalter-Null gefüllt: 3,2×10−4=0,000323{,}2 \times 10^{-4} = 0{,}00032
  • 6Die E-Anzeige des Taschenrechners ist wissenschaftliche Notation: 6.02E23 =6,02×1023= 6{,}02 \times 10^{23}

Häufig gestellte Fragen

Ziehe die Anzahl der Nachkommastellen des Koeffizienten vom Exponenten ab. Bei 1,496×1081{,}496 \times 10^8: 8−3=58 - 3 = 5 Nullen, also 149.600.000149.600.000.
Ziehe die Anzahl der Nachkommastellen des Koeffizienten vom Exponenten ab. Bei 1,496×1081{,}496 \times 10^8: 8−3=58 - 3 = 5 Nullen, also 149.600.000149.600.000.
Liegt der Koeffizient zwischen 11 und 1010, stehen ∣n∣−1|n| - 1 Nullen zwischen Komma und erster Ziffer. Bei 7×10−67 \times 10^{-6}: 55 Nullen, also 0,0000070{,}000007.
Nein. 10−n10^{-n} ist immer positiv. Negativ ist eine Zahl nur, wenn vor dem Koeffizienten ein Minus steht, zum Beispiel −2,5×10−3=−0,0025-2{,}5 \times 10^{-3} = -0{,}0025.
E steht für "Exponent" und bedeutet ×10□\times 10^{\square}. So ist 3.1E-5 gleich 3,1×10−5=0,0000313{,}1 \times 10^{-5} = 0{,}000031. Mit der eulerschen Zahl e≈2,718e \approx 2{,}718 hat es nichts zu tun.

Glossar

Wissenschaftliche Notation
Eine Zahl in der Form a×10na \times 10^n mit 1≤a<101 \le a < 10 und ganzzahligem nn (auch wissenschaftliche Schreibweise)
Dezimalschreibweise
Die gewöhnliche, ausgeschriebene Form einer Zahl mit allen Ziffern, zum Beispiel 4.500.0004.500.000 oder 0,000320{,}00032
Koeffizient (Vorfaktor)
Die Zahl aa in a×10na \times 10^n, zwischen 11 und 1010
Exponent
Die Hochzahl nn in 10n10^n: um wie viele Stellen und in welche Richtung das Komma wandert
Platzhalter-Null
Eine Null, die nur eine leere Stelle füllt, wie die Nullen in 0,000320{,}00032 oder 4.500.0004.500.000
E-Schreibweise
Die Anzeige von Taschenrechnern und Tabellenprogrammen für wissenschaftliche Notation: 2.5E-7 bedeutet 2,5×10−72{,}5 \times 10^{-7}

Formelkarte

Positiver Exponent

a×10n, n>0a \times 10^{n},\ n > 0: Komma nn Stellen nach rechts

Beispiel: $2{,}75 \times 10^5 = 275.000$

Negativer Exponent

a×10−na \times 10^{-n}: Komma nn Stellen nach links

Beispiel: $8{,}4 \times 10^{-5} = 0{,}000084$ ($n - 1 = 4$ Nullen hinter dem Komma)

Exponent null

a×100=aa \times 10^{0} = a

Weil $10^0 = 1$ ist, bleibt das Komma, wo es ist

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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