Ein Produkt, das schon normiert ist

Berechne $(2 \times 10^3) \times (4 \times 10^5)$.

Koeffizienten und Zehnerpotenzen zusammenfassen: $(2 \times 4) \times (10^3 \times 10^5)$ = Zwei getrennte Produkte

Koeffizienten multiplizieren: $2 \times 4 = 8$ = $8$

Exponenten addieren: $10^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8$ = $10^8$

Koeffizienten prüfen: $1 \le 8 < 10$, es ist nichts zu korrigieren = $8 \times 10^8$

Answer: $(2 \times 10^3)(4 \times 10^5) = 8 \times 10^8$

Ein Produkt, das normiert werden muss

Berechne $(4 \times 10^3) \times (3 \times 10^5)$.

Koeffizienten multiplizieren: $4 \times 3 = 12$ = $12$

Exponenten addieren: $3 + 5 = 8$ = $12 \times 10^8$

Liegt der Koeffizient zwischen 1 und 10?: $12 \ge 10$, also ist das noch keine wissenschaftliche Notation = Normieren

Schreibe $12$ als $1{,}2 \times 10^1$: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^1 \times 10^8$ = $1{,}2 \times 10^9$

Answer: $(4 \times 10^3)(3 \times 10^5) = 1{,}2 \times 10^9$

Zwei negative Exponenten

Berechne $(2 \times 10^{-5}) \times (7 \times 10^{-3})$.

Koeffizienten multiplizieren: $2 \times 7 = 14$ = $14$

Exponenten addieren (mit Vorzeichen): $-5 + (-3) = -8$ = $14 \times 10^{-8}$

Koeffizienten normieren: $14 = 1{,}4 \times 10^1$ = $1$ zum Exponenten addieren

Zusammensetzen: $-8 + 1 = -7$ = $1{,}4 \times 10^{-7}$

Answer: $(2 \times 10^{-5})(7 \times 10^{-3}) = 1{,}4 \times 10^{-7}$

Ein negativer und ein positiver Exponent

Berechne $(2{,}5 \times 10^{-4}) \times (6 \times 10^7)$.

Koeffizienten multiplizieren: $2{,}5 \times 6 = 15$ = $15$

Exponenten addieren: $-4 + 7 = 3$ = $15 \times 10^3$

Normieren: $15 = 1{,}5 \times 10^1$, also wird der Exponent $3 + 1 = 4$ = $1{,}5 \times 10^4$

Mit ausgeschriebenen Zahlen prüfen: $0{,}00025 \times 60.000.000 = 15.000$ = $1{,}5 \times 10^4 = 15.000$

Answer: $(2{,}5 \times 10^{-4})(6 \times 10^7) = 1{,}5 \times 10^4$

Eine Potenz berechnen

Berechne $(5 \times 10^3)^3$.

Jeden Faktor potenzieren: $(5 \times 10^3)^3 = 5^3 \times (10^3)^3$ = Potenz eines Produkts

Den Koeffizienten hoch 3 nehmen: $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$ = $125$

Exponenten multiplizieren (Potenz einer Potenz): $(10^3)^3 = 10^{3 \times 3} = 10^9$ = $125 \times 10^9$

Normieren: $125 = 1{,}25 \times 10^2$, also wird der Exponent $9 + 2 = 11$ = $1{,}25 \times 10^{11}$

Answer: $(5 \times 10^3)^3 = 1{,}25 \times 10^{11}$. Bei einer Potenz kann der Koeffizient $100$ oder mehr werden, dann verschiebst du das Komma eventuell um zwei Stellen.

Mistake: Exponenten multiplizieren: $10^3 \times 10^5 = 10^{15}$

Why: Wenn du Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst, zählst du die Faktoren $10$: drei Zehner und fünf Zehner ergeben acht Zehner, nicht fünfzehn.

Correct: Exponenten addieren: $10^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8$. Multipliziert werden Exponenten nur bei einer Potenz einer Potenz, etwa $(10^3)^2 = 10^6$.

Mistake: Bei $12 \times 10^8$ aufhören

Why: Der Wert stimmt, aber $12$ liegt nicht zwischen $1$ und $10$, also ist das Ergebnis noch nicht in wissenschaftlicher Notation.

Correct: Normieren: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9$.

Mistake: In die falsche Richtung normieren: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^7$

Why: Wird der Koeffizient $10$-mal kleiner, muss die Zehnerpotenz $10$-mal größer werden, sonst ändert sich der Wert.

Correct: Koeffizient kleiner, Exponent größer: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9$.

Mistake: Das Minuszeichen verlieren: $10^{-4} \times 10^7 = 10^{-11}$ oder $10^{11}$

Why: Die Exponenten sind ganze Zahlen mit Vorzeichen, und beim Addieren gelten die Regeln für ganze Zahlen.

Correct: $-4 + 7 = 3$, also $10^{-4} \times 10^7 = 10^3$. Schreibe die Addition bei gemischten Vorzeichen mit Klammern: $(-4) + 7$.

Astronomie: Wie lang ist ein Lichtjahr?

Ein Lichtjahr ist die Strecke, die Licht in einem Jahr zurücklegt. Astronomen berechnen sie, indem sie die Lichtgeschwindigkeit mit der Zeit multiplizieren, beide in wissenschaftlicher Notation.

In $500 = 5 \times 10^2$ Sekunden legt Licht $(3 \times 10^5)(5 \times 10^2) = 15 \times 10^7 = 1{,}5 \times 10^8$ km zurück, ungefähr die Entfernung von der Sonne zur Erde.

Biologie: Bakterien zählen

Mikrobiologen zählen die Bakterien in einer kleinen Probe und multiplizieren mit dem Volumen, um die Gesamtzahl zu schätzen. Die Zahlen wachsen so schnell, dass man sie praktisch nur in wissenschaftlicher Notation schreiben kann.

Ein Tropfen von $5 \times 10^{-2}$ mL aus einer Kultur mit $2 \times 10^6$ Bakterien pro mL enthält $(2 \times 10^6)(5 \times 10^{-2}) = 10 \times 10^4 = 1 \times 10^5$ Bakterien.

Informatik: Eine Speicherkarte füllen

Dateigrößen und Speicherplatz misst man in Byte, und die Zahlen erreichen schnell Milliarden. Ingenieure multiplizieren die Dateigröße mit der Anzahl der Dateien, um den Speicherbedarf eines Geräts zu planen.

$2 \times 10^3$ Lieder mit je $4 \times 10^6$ Byte belegen $8 \times 10^9$ Byte, also 8 Gigabyte.

Q: Warum addiert man die Exponenten und multipliziert sie nicht?

A: Ein Exponent zählt, wie viele Zehner multipliziert werden. $10^3 \times 10^5$ sind drei Zehner mal fünf Zehner, also $3 + 5 = 8$ Zehner hintereinander: $10^8$.

Q: Kann ich die Zahlen nicht einfach ausschreiben und multiplizieren?

A: Doch, der Wert ist derselbe. Aber bei $3 \times 10^5 \times 3{,}15 \times 10^7$ müsstest du $300.000$ mit $31.500.000$ multiplizieren und viele Nullen zählen. In wissenschaftlicher Notation rechnest du nur $3 \times 3{,}15$ und $5 + 7$.

Q: Kann das Produkt der Koeffizienten 100 oder mehr sein?

A: Nicht, wenn du zwei Zahlen in wissenschaftlicher Notation multiplizierst: Beide Koeffizienten sind kleiner als $10$, also ist das Produkt kleiner als $10 \times 10 = 100$. Du verschiebst das Komma höchstens um eine Stelle. Bei Potenzen oder drei und mehr Faktoren kann es größer werden, also prüfe immer.

Q: Mein Taschenrechner zeigt 1.2E9. Was bedeutet das?

A: Taschenrechner schreiben die wissenschaftliche Notation mit einem E: $1{,}2\text{E}9$ bedeutet $1{,}2 \times 10^9$. Die Zahl nach dem E ist der Exponent.