Multiplizieren in wissenschaftlicher Notation

Lerne, Zahlen in wissenschaftlicher Notation zu multiplizieren: Koeffizienten multiplizieren, Exponenten addieren und das Ergebnis normieren.

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Definition

Um zwei Zahlen in wissenschaftlicher Notation (wissenschaftlicher Schreibweise) zu multiplizieren, behandelst du die beiden Teile getrennt: die Koeffizienten (Vorfaktoren) und die Zehnerpotenzen.
(a×10m)×(b×10n)=(a×b)×10m+n(a \times 10^m) \times (b \times 10^n) = (a \times b) \times 10^{m+n}
Die Regel hat drei Schritte:
  1. 1.Koeffizienten multiplizieren: a×ba \times b
  2. 2.Exponenten addieren (Potenzgesetz 10m×10n=10m+n10^m \times 10^n = 10^{m+n})
  3. 3.Normieren: Ist a×ba \times b gleich 1010 oder größer, verschiebst du das Komma um eine Stelle nach links und addierst 11 zum Exponenten
Beispiel: (4×103)(3×105)=12×108=1,2×109(4 \times 10^3)(3 \times 10^5) = 12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9
Weil beide Koeffizienten zwischen 11 und 1010 liegen, liegt ihr Produkt immer zwischen 11 und 100100. Du musst das Komma also nie um mehr als eine Stelle verschieben.

Probier es gleich aus

Welches ist das Produkt (2×103)(3×104)(2 \times 10^3)(3 \times 10^4)?

Lösungsbeispiele

Berechne (2×103)×(4×105)(2 \times 10^3) \times (4 \times 10^5).
1

Koeffizienten und Zehnerpotenzen zusammenfassen

(2×4)×(103×105)(2 \times 4) \times (10^3 \times 10^5) → Zwei getrennte Produkte
2

Koeffizienten multiplizieren

2×4=82 \times 4 = 8
3

Exponenten addieren

103×105=103+5=10810^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8
4

Koeffizienten prüfen

1≤8<101 \le 8 < 10, es ist nichts zu korrigieren → 8×1088 \times 10^8

Häufige Fehler

Exponenten multiplizieren: 103×105=101510^3 \times 10^5 = 10^{15}

Warum es falsch ist: Wenn du Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst, zählst du die Faktoren 1010: drei Zehner und fünf Zehner ergeben acht Zehner, nicht fünfzehn.

Richtig: Exponenten addieren: 103×105=103+5=10810^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8. Multipliziert werden Exponenten nur bei einer Potenz einer Potenz, etwa (103)2=106(10^3)^2 = 10^6.

Bei 12×10812 \times 10^8 aufhören

Warum es falsch ist: Der Wert stimmt, aber 1212 liegt nicht zwischen 11 und 1010, also ist das Ergebnis noch nicht in wissenschaftlicher Notation.

Richtig: Normieren: 12×108=1,2×10912 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9.

In die falsche Richtung normieren: 12×108=1,2×10712 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^7

Warum es falsch ist: Wird der Koeffizient 1010-mal kleiner, muss die Zehnerpotenz 1010-mal größer werden, sonst ändert sich der Wert.

Richtig: Koeffizient kleiner, Exponent größer: 12×108=1,2×10912 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9.

Das Minuszeichen verlieren: 10−4×107=10−1110^{-4} \times 10^7 = 10^{-11} oder 101110^{11}

Warum es falsch ist: Die Exponenten sind ganze Zahlen mit Vorzeichen, und beim Addieren gelten die Regeln für ganze Zahlen.

Richtig: −4+7=3-4 + 7 = 3, also 10−4×107=10310^{-4} \times 10^7 = 10^3. Schreibe die Addition bei gemischten Vorzeichen mit Klammern: (−4)+7(-4) + 7.

Interaktive Visualisierung

Schritt für Schritt multiplizieren: 12 × 10^8 muss noch normiert werden

Multiplizieren
(4×103)×(3×105)(4 \times 10^{3}) \times (3 \times 10^{5})

  1. 1Fasse die Mantissen und die Zehnerpotenzen zusammen.

    (4×3)×(103×105)(4 \times 3) \times (10^{3} \times 10^{5})

Multipliziere die Mantissen. Was kommt heraus?

Potenzen als wiederholte Faktoren

Potenzen multiplizieren

Gleiche Basis, multiplizieren: Exponenten addieren.

103⋅10510^{3} \cdot 10^{5}

Jede Potenz als Produkt gleicher Faktoren schreiben

1010·1010·1010
10310^{3}3 Faktoren
·
1010·1010·1010·1010·1010
10510^{5}5 Faktoren

3 + 5 = 8 Faktoren insgesamt

Ergebnis

103⋅105\displaystyle 10^{3} \cdot 10^{5}==103+5\displaystyle 10^{3 + 5}==108\displaystyle 10^{8}

Wert: 108=10000000010^{8} = 100000000

Du bist dran: Ändere die Zahlen mit den Schiebereglern oder probiere neue Zahlen

Multiplizieren
(2,5×10−4)×(6×107)(2{,}5 \times 10^{-4}) \times (6 \times 10^{7})

  1. 1Fasse die Mantissen und die Zehnerpotenzen zusammen.

    (2,5×6)×(10−4×107)(2{,}5 \times 6) \times (10^{-4} \times 10^{7})

Multipliziere die Mantissen. Was kommt heraus?

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

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Übungsaufgaben

18 Aufgaben
Aufgabe 1 von 18
Einfach
Welches ist das Produkt (2×103)(3×104)(2 \times 10^3)(3 \times 10^4)?

Warum es wichtig ist

In den Naturwissenschaften multipliziert man ständig riesige oder winzige Zahlen, und die wissenschaftliche Notation macht daraus schnelles Kopfrechnen:
  • Astronomie: Licht legt in jeder Sekunde 3×1053 \times 10^5 km zurück. Multipliziert mit den Sekunden eines Jahres ergibt das die Länge eines Lichtjahres
  • Biologie: Eine Probe enthält 4×1064 \times 10^6 Bakterien pro Milliliter. Wie viele sind es in einem ganzen Kolben?
  • Informatik: 4×1044 \times 10^4 Fotos mit je 3×1063 \times 10^6 Byte belegen 1,2×10111{,}2 \times 10^{11} Byte Speicher
  • Chemie: Anzahl der Moleküle mal Masse eines Moleküls ergibt die Masse einer Probe
Schreibst du diese Zahlen aus, musst du Dutzende Nullen zählen, und eine einzige vergessene Null macht das Ergebnis zehnmal zu klein. In wissenschaftlicher Notation multiplizierst du zwei kleine Zahlen und addierst zwei Exponenten.

Anwendungen im echten Leben

Astronomie: Wie lang ist ein Lichtjahr?

Ein Lichtjahr ist die Strecke, die Licht in einem Jahr zurücklegt. Astronomen berechnen sie, indem sie die Lichtgeschwindigkeit mit der Zeit multiplizieren, beide in wissenschaftlicher Notation.

Beispiel:

In 500=5×102500 = 5 \times 10^2 Sekunden legt Licht (3×105)(5×102)=15×107=1,5×108(3 \times 10^5)(5 \times 10^2) = 15 \times 10^7 = 1{,}5 \times 10^8 km zurück, ungefähr die Entfernung von der Sonne zur Erde.

1Probiere es selbst

Licht legt 3×1053 \times 10^5 km pro Sekunde zurück. Ein Jahr hat etwa 3,15×1073{,}15 \times 10^7 Sekunden.

Wie viele Kilometer legt Licht in einem Jahr zurück? (Strecke = Geschwindigkeit × Zeit)

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Multipliziere die Geschwindigkeit mit der Zeit:

Biologie: Bakterien zählen

Mikrobiologen zählen die Bakterien in einer kleinen Probe und multiplizieren mit dem Volumen, um die Gesamtzahl zu schätzen. Die Zahlen wachsen so schnell, dass man sie praktisch nur in wissenschaftlicher Notation schreiben kann.

Beispiel:

Ein Tropfen von 5×10−25 \times 10^{-2} mL aus einer Kultur mit 2×1062 \times 10^6 Bakterien pro mL enthält (2×106)(5×10−2)=10×104=1×105(2 \times 10^6)(5 \times 10^{-2}) = 10 \times 10^4 = 1 \times 10^5 Bakterien.

2Probiere es selbst

Eine Kultur enthält 4×1064 \times 10^6 Bakterien pro Milliliter. Der Kolben fasst 5×1025 \times 10^2 mL.

Wie viele Bakterien sind im ganzen Kolben?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Multipliziere die Bakterien pro mL mit der Anzahl der mL:

Informatik: Eine Speicherkarte füllen

Dateigrößen und Speicherplatz misst man in Byte, und die Zahlen erreichen schnell Milliarden. Ingenieure multiplizieren die Dateigröße mit der Anzahl der Dateien, um den Speicherbedarf eines Geräts zu planen.

Beispiel:

2×1032 \times 10^3 Lieder mit je 4×1064 \times 10^6 Byte belegen 8×1098 \times 10^9 Byte, also 8 Gigabyte.

3Probiere es selbst

Ein Foto belegt etwa 3×1063 \times 10^6 Byte. Ein Handy speichert 4×1044 \times 10^4 Fotos.

Wie viele Byte belegen die Fotos insgesamt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Multipliziere die Größe eines Fotos mit der Anzahl der Fotos:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Beim Multiplizieren in wissenschaftlicher Notation multiplizierst du Koeffizienten und Zehnerpotenzen getrennt
  • 2Zehnerpotenzen multiplizierst du, indem du die Exponenten addierst: 10m×10n=10m+n10^m \times 10^n = 10^{m+n}
  • 3Ist der neue Koeffizient 1010 oder größer, normierst du: Komma eine Stelle nach links, Exponent plus 11
  • 4Bei negativen Exponenten addierst du die Zahlen mit Vorzeichen sorgfältig: 10−4×107=10310^{-4} \times 10^7 = 10^3
  • 5Eine Potenz wirkt auf beide Teile: (a×10m)k=ak×10m×k(a \times 10^m)^k = a^k \times 10^{m \times k}
  • 6Prüfe dein Ergebnis: Der Koeffizient muss 1≤a<101 \le a < 10 erfüllen

Häufig gestellte Fragen

Ein Exponent zählt, wie viele Zehner multipliziert werden. 103×10510^3 \times 10^5 sind drei Zehner mal fünf Zehner, also 3+5=83 + 5 = 8 Zehner hintereinander: 10810^8.
Ein Exponent zählt, wie viele Zehner multipliziert werden. 103×10510^3 \times 10^5 sind drei Zehner mal fünf Zehner, also 3+5=83 + 5 = 8 Zehner hintereinander: 10810^8.
Doch, der Wert ist derselbe. Aber bei 3×105×3,15×1073 \times 10^5 \times 3{,}15 \times 10^7 müsstest du 300.000300.000 mit 31.500.00031.500.000 multiplizieren und viele Nullen zählen. In wissenschaftlicher Notation rechnest du nur 3×3,153 \times 3{,}15 und 5+75 + 7.
Nicht, wenn du zwei Zahlen in wissenschaftlicher Notation multiplizierst: Beide Koeffizienten sind kleiner als 1010, also ist das Produkt kleiner als 10×10=10010 \times 10 = 100. Du verschiebst das Komma höchstens um eine Stelle. Bei Potenzen oder drei und mehr Faktoren kann es größer werden, also prüfe immer.
Taschenrechner schreiben die wissenschaftliche Notation mit einem E: 1,2E91{,}2\text{E}9 bedeutet 1,2×1091{,}2 \times 10^9. Die Zahl nach dem E ist der Exponent.

Glossar

Wissenschaftliche Notation
Eine Zahl in der Form a×10na \times 10^n mit 1≤a<101 \le a < 10 und einer ganzen Zahl nn
Koeffizient
Die Zahl aa vor der Zehnerpotenz (auch Vorfaktor oder Mantisse), zwischen 11 und 1010
Exponent
Die ganze Zahl nn in 10n10^n; sie gibt an, um wie viele Stellen sich das Komma verschiebt
Potenzgesetz (Produktregel)
am×an=am+na^m \times a^n = a^{m+n}: Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert
Normieren
Ein Ergebnis wie 12×10812 \times 10^8 so umschreiben, dass der Koeffizient zwischen 11 und 1010 liegt: 1,2×1091{,}2 \times 10^9

Formelkarte

Multiplizieren in wissenschaftlicher Notation

(a×10m)(b×10n)=(a×b)×10m+n(a \times 10^m)(b \times 10^n) = (a \times b) \times 10^{m+n}

Koeffizienten multiplizieren, Exponenten addieren.

Normieren

12×108=1,2×10912 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9

Koeffizient durch $10$, Exponent plus $1$. Der Wert bleibt gleich.

Potenz einer Zahl in wissenschaftlicher Notation

(a×10m)k=ak×10m×k(a \times 10^m)^k = a^k \times 10^{m \times k}

Koeffizienten potenzieren, Exponenten mit $k$ multiplizieren, dann normieren.

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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