Den Prozentwert finden

Welche Zahl sind 35 % von 80?

Übersetze die Wörter: "Welche Zahl" ist $x$, "sind" ist $=$, "von" ist $\cdot$ = $x = 35\,\% \cdot 80$

Schreibe den Prozentsatz als Dezimalzahl: $35\,\% = 35 : 100 = 0{,}35$ = $x = 0{,}35 \cdot 80$

Multipliziere: $0{,}35 \cdot 80 = 28$ = $x = 28$

Answer: 28 sind 35 % von 80.

Den Grundwert finden

30 ist 25 % von welcher Zahl?

Übersetze die Wörter: "30 ist" ergibt $30 =$, "25 % von welcher Zahl" ergibt $0{,}25 \cdot x$ = $30 = 0{,}25x$

Dividiere beide Seiten durch den Prozentsatz: $x = 30 : 0{,}25$ = $x = 120$

Mache die Probe: $0{,}25 \cdot 120 = 30$ = Stimmt

Answer: 30 sind 25 % von 120.

Den Prozentsatz finden

18 sind wie viel Prozent von 45?

Übersetze, mit $r$ für den Prozentsatz: "18 sind" ergibt $18 =$, "wie viel Prozent von 45" ergibt $r \cdot 45$ = $18 = 45r$

Dividiere beide Seiten durch 45: $r = 18 : 45$ = $r = 0{,}4$

Wandle die Dezimalzahl in Prozent um: $0{,}4 \cdot 100 = 40$ = $40\,\%$

Answer: 18 sind 40 % von 45.

Ein Prozentsatz über 100 %

42 sind 150 % von welcher Zahl?

Schreibe den Prozentsatz als Dezimalzahl: $150\,\% = 150 : 100 = 1{,}5$ = $1{,}5$

Stelle die Gleichung auf: "42 sind 150 % von welcher Zahl" = $42 = 1{,}5x$

Dividiere durch den Prozentsatz: $x = 42 : 1{,}5$ = $x = 28$

Prüfe, ob es Sinn ergibt: Über 100 % heißt: Der Prozentwert ist größer als der Grundwert: $42 > 28$ = Ergibt Sinn

Answer: 42 sind 150 % von 28.

Ein Prozentsatz unter 1 %, verglichen mit dem Dreisatz

0,4 % von welcher Zahl sind 2?

Schreibe den Prozentsatz als Dezimalzahl: $0{,}4\,\% = 0{,}4 : 100 = 0{,}004$ (nicht $0{,}4$ und nicht $0{,}04$) = $0{,}004$

Stelle die Gleichung auf und löse sie: $0{,}004x = 2$, also $x = 2 : 0{,}004$ = $x = 500$

Löse noch einmal mit der Verhältnisgleichung: $\frac{2}{x} = \frac{0{,}4}{100}$, also $0{,}4x = 200$ = $x = 500$

Vergleiche die beiden Wege: Beide liefern denselben Grundwert. Die Formel braucht eine Multiplikation, die Verhältnisgleichung das Über-Kreuz-Multiplizieren. = Gleiches Ergebnis

Answer: 0,4 % von 500 sind 2.

Mistake: Die Prozentzahl statt der Dezimalzahl verwenden: $30 = 25x$ schreiben und $x = 1{,}2$ erhalten

Why: Der Prozentsatz in der Gleichung muss eine Dezimalzahl sein. 25 % heißt 25 von hundert, also $0{,}25$, nicht $25$.

Correct: Teile die Prozentzahl zuerst durch 100: $30 = 0{,}25x$, also $x = 120$.

Mistake: Prozentwert und Grundwert verwechseln: bei "30 ist 25 % von welcher Zahl?" $0{,}25 \cdot 30 = 7{,}5$ rechnen

Why: Die Zahl nach "von" ist der Grundwert. Hier ist der Grundwert unbekannt und 30 ist der Prozentwert, also steht 30 links vom Gleichheitszeichen.

Correct: Übersetze Wort für Wort: $30 = 0{,}25 \cdot x$, also $x = 120$.

Mistake: Beim Prozentsatz das Malnehmen mit 100 vergessen: "0,4 %" als Antwort auf "18 sind wie viel Prozent von 45?"

Why: Prozentwert durch Grundwert ergibt den Prozentsatz als Dezimalzahl ($0{,}4$). In Prozent ist das diese Dezimalzahl mal 100.

Correct: $18 : 45 = 0{,}4$ und $0{,}4 \cdot 100 = 40$, die Antwort ist also $40\,\%$.

Mistake: Einen kleinen Prozentsatz falsch als Dezimalzahl schreiben: $0{,}4\,\% = 0{,}04$ oder $0{,}4\,\% = 0{,}4$

Why: Jeder Prozentsatz wird durch 100 geteilt, auch kleine. Verschiebe das Komma um zwei Stellen nach links: $0{,}4 \to 0{,}004$.

Correct: $0{,}4\,\% = 0{,}004$, also sind 0,4 % von 500 genau $0{,}004 \cdot 500 = 2$.

Eine Anzahlung leisten

Geschäfte verlangen oft eine Anzahlung, die ein Prozentsatz des vollen Preises ist. Die Anzahlung ist der Prozentwert, der volle Preis der Grundwert, den du eventuell finden musst.

60 € Anzahlung, die 20 % des Preises sind, bedeuten $60 = 0{,}2x$, der Preis ist also $60 : 0{,}2 = 300$ €.

Testergebnisse und Freiwürfe

Lehrkräfte und Trainer machen aus "so viele von so vielen" einen Prozentsatz. Hier ist der Prozentsatz die Unbekannte.

Eine Basketballspielerin trifft 34 von 40 Freiwürfen: $34 = r \cdot 40$, $r = 0{,}85$, sie trifft also $85\,\%$ ihrer Würfe.

Sparzinsen unter 1 %

Sparkonten zahlen oft weniger als 1 % Zinsen pro Jahr. Die Zinsen sind der Prozentwert, das Geld auf dem Konto ist der Grundwert.

Bei 0,5 % Zinsen bringen 2400 € in einem Jahr $0{,}005 \cdot 2400 = 12$ €.

Q: Soll ich die Prozentformel oder die Verhältnisgleichung benutzen?

A: Beide liefern immer dasselbe Ergebnis. Die Formel $\text{Prozentwert} = \text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}$ ist kürzer, wenn du den Prozentsatz leicht in eine Dezimalzahl umwandeln kannst. Die Verhältnisgleichung $\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}} = \frac{p}{100}$ (Lektion "Prozentrechnung mit Verhältnisgleichung") lässt den Prozentsatz als ganze Zahl stehen und fühlt sich bei schwierigen Dezimalzahlen oft sicherer an. Nimm den Weg, der dir klarer ist.

Q: Kann der Prozentwert größer als der Grundwert sein?

A: Ja, wenn der Prozentsatz über 100 % liegt. Zum Beispiel sind 150 % von 28 genau 42, und 42 ist größer als 28. Bei Wachstum, Preisen und Einwohnerzahlen kommt das oft vor.

Q: Woran erkenne ich den Grundwert?

A: Achte auf das Wort "von": Der Grundwert steht meist direkt dahinter. In "18 sind wie viel Prozent von 45" ist 45 der Grundwert. Die Zahl bei "ist" oder "sind" ist meist der Prozentwert.

Q: Warum multipliziere ich am Ende mit 100, wenn ich einen Prozentsatz suche?

A: Prozentwert durch Grundwert ergibt den Prozentsatz als Dezimalzahl, zum Beispiel $0{,}4$. Prozent heißt "von hundert", also gilt $0{,}4 = \frac{40}{100} = 40\,\%$.