Kann der Prozentwert größer als der Grundwert sein?

Ja, wenn der Prozentsatz über 100 % liegt. Zum Beispiel sind 150 % von 28 genau 42, und 42 ist größer als 28. Bei Wachstum, Preisen und Einwohnerzahlen kommt das oft vor.

Woran erkenne ich den Grundwert?

Achte auf das Wort "von": Der Grundwert steht meist direkt dahinter. In "18 sind wie viel Prozent von 45" ist 45 der Grundwert. Die Zahl bei "ist" oder "sind" ist meist der Prozentwert.

Warum multipliziere ich am Ende mit 100, wenn ich einen Prozentsatz suche?

Prozentwert durch Grundwert ergibt den Prozentsatz als Dezimalzahl, zum Beispiel $0{,}4$. Prozent heißt "von hundert", also gilt $0{,}4 = \frac{40}{100} = 40\,\%$.

Lehrermaterialien

Prozentgleichung

Q: Soll ich die Prozentformel oder die Verhältnisgleichung benutzen?

Beide liefern immer dasselbe Ergebnis. Die Formel $\text{Prozentwert} = \text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}$ ist kürzer, wenn du den Prozentsatz leicht in eine Dezimalzahl umwandeln kannst. Die Verhältnisgleichung $\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}} = \frac{p}{100}$ (Lektion "Prozentrechnung mit Verhältnisgleichung") lässt den Prozentsatz als ganze Zahl stehen und fühlt sich bei schwierigen Dezimalzahlen oft sicherer an. Nimm den Weg, der dir klarer ist.

Löse jede Prozentaufgabe mit einer Gleichung: Prozentwert = Prozentsatz · Grundwert. Finde Prozentwert, Grundwert oder Prozentsatz, auch über 100 % und unter 1 %.

Mittelstufe25 MinLektion

Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Die Prozentgleichung (auch Prozentformel) verbindet drei Größen mit einer einzigen Multiplikation:

\text{Prozentwert} = \text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}

Der Grundwert ist das Ganze, von dem du einen Prozentsatz nimmst (100 %).
Der Prozentsatz ist der Anteil in Prozent; in der Gleichung schreibst du ihn als Dezimalzahl: $25\,\% = 0{,}25$ , $150\,\% = 1{,}5$ , $0{,}4\,\% = 0{,}004$ .
Der Prozentwert ist der Anteil, den der Prozentsatz beschreibt.

Wörter in die Gleichung übersetzen:

"ist" wird zu $=$
"von" wird zu $\cdot$
"welche Zahl" oder "wie viel Prozent" wird zur Unbekannten $x$

Aus "30 ist 25 % von welcher Zahl?" wird also

30 = 0{,}25x

Wenn du zwei der drei Größen kennst, findest du immer die dritte:

Prozentwert: multiplizieren, $\text{Prozentwert} = \text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}$
Grundwert: dividieren, $\text{Grundwert} = \text{Prozentwert} : \text{Prozentsatz}$
Prozentsatz: dividieren, $\text{Prozentsatz} = \text{Prozentwert} : \text{Grundwert}$ , dann mal 100 für die Angabe in Prozent

Probier es gleich aus

Welche Gleichung passt zur Frage "Welche Zahl sind 40 % von 65?"

Lösungsbeispiele

Welche Zahl sind 35 % von 80?

Übersetze die Wörter

"Welche Zahl" ist $x$ , "sind" ist $=$ , "von" ist $\cdot$ → $x = 35\,\% \cdot 80$

Schreibe den Prozentsatz als Dezimalzahl

$35\,\% = 35 : 100 = 0{,}35$ → $x = 0{,}35 \cdot 80$

Multipliziere

$0{,}35 \cdot 80 = 28$ → $x = 28$

Antwort: 28 sind 35 % von 80.

Häufige Fehler

Die Prozentzahl statt der Dezimalzahl verwenden: $30 = 25x$ schreiben und $x = 1{,}2$ erhalten

Warum es falsch ist: Der Prozentsatz in der Gleichung muss eine Dezimalzahl sein. 25 % heißt 25 von hundert, also $0{,}25$ , nicht $25$ .

Richtig: Teile die Prozentzahl zuerst durch 100: $30 = 0{,}25x$ , also $x = 120$ .

Prozentwert und Grundwert verwechseln: bei "30 ist 25 % von welcher Zahl?" $0{,}25 \cdot 30 = 7{,}5$ rechnen

Warum es falsch ist: Die Zahl nach "von" ist der Grundwert. Hier ist der Grundwert unbekannt und 30 ist der Prozentwert, also steht 30 links vom Gleichheitszeichen.

Richtig: Übersetze Wort für Wort: $30 = 0{,}25 \cdot x$ , also $x = 120$ .

Beim Prozentsatz das Malnehmen mit 100 vergessen: "0,4 %" als Antwort auf "18 sind wie viel Prozent von 45?"

Warum es falsch ist: Prozentwert durch Grundwert ergibt den Prozentsatz als Dezimalzahl ( $0{,}4$ ). In Prozent ist das diese Dezimalzahl mal 100.

Richtig: $18 : 45 = 0{,}4$ und $0{,}4 \cdot 100 = 40$ , die Antwort ist also $40\,\%$ .

Einen kleinen Prozentsatz falsch als Dezimalzahl schreiben: $0{,}4\,\% = 0{,}04$ oder $0{,}4\,\% = 0{,}4$

Warum es falsch ist: Jeder Prozentsatz wird durch 100 geteilt, auch kleine. Verschiebe das Komma um zwei Stellen nach links: $0{,}4 \to 0{,}004$ .

Richtig: $0{,}4\,\% = 0{,}004$ , also sind 0,4 % von 500 genau $0{,}004 \cdot 500 = 2$ .

Interaktive Visualisierung

Gleichungslöser

Löse nach $x$ :

0{,}25x = 30

0{,}25x = 30

Beide Seiten mit dem Hauptnenner

4

multiplizierenJetzt gibt es keine Brüche mehr

Tipps:

• Was du auf einer Seite machst, mache auch auf der anderen
• Operationen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig machen
• Überprüfe deine Antwort durch Einsetzen

Folge mit, während wir die Gleichung Schritt für Schritt lösen.

Verhältnis-Banddiagramm

25 % (Prozentwert)

= 30

75 % (der Rest)

= 90

100 % = Grundwert

= 4 (120)

Wenn Gesamt ist:

25 % (Prozentwert) Wert:30

75 % (der Rest) Wert:90

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Welche Gleichung passt zur Frage "Welche Zahl sind 40 % von 65?"

Warum es wichtig ist

In der Lektion "Prozent einer Zahl berechnen" kanntest du immer den Grundwert und den Prozentsatz. Echte Aufgaben verstecken oft eine andere Unbekannte:

Einkaufen: Du zahlst 45 € Anzahlung, das sind 15 % des Preises. Wie hoch ist der volle Preis? (der Grundwert fehlt)
Noten: Du hast 34 von 40 Punkten. Wie viel Prozent sind das? (der Prozentsatz fehlt)
Sparen: Ein Konto bringt 0,8 % Zinsen pro Jahr. Wie viel musst du sparen, um 36 € zu bekommen? (ein Prozentsatz unter 1 %)
Wachstum: Eine Stadt hat heute 260 % ihrer früheren Einwohnerzahl. (ein Prozentsatz über 100 %)

Die Prozentformel löst all das mit derselben kurzen Zeile,

\text{Prozentwert} = \text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}

, und dem Gleichungslösen, das du schon kannst.

Anwendungen im echten Leben

Eine Anzahlung leisten

Geschäfte verlangen oft eine Anzahlung, die ein Prozentsatz des vollen Preises ist. Die Anzahlung ist der Prozentwert, der volle Preis der Grundwert, den du eventuell finden musst.

Beispiel:

60 € Anzahlung, die 20 % des Preises sind, bedeuten $60 = 0{,}2x$ , der Preis ist also $60 : 0{,}2 = 300$ €.

1Probiere es selbst

Mia zahlt für ein Fahrrad eine Anzahlung von 45 €. Die Anzahlung beträgt 15 % des vollen Preises.

Wie viel Euro kostet das Fahrrad insgesamt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Teile den Prozentwert durch den Prozentsatz:

Testergebnisse und Freiwürfe

Lehrkräfte und Trainer machen aus "so viele von so vielen" einen Prozentsatz. Hier ist der Prozentsatz die Unbekannte.

Beispiel:

Eine Basketballspielerin trifft 34 von 40 Freiwürfen: $34 = r \cdot 40$ , $r = 0{,}85$ , sie trifft also $85\,\%$ ihrer Würfe.

2Probiere es selbst

In einem Test gibt es 80 Punkte. Leo erreicht 68 Punkte.

Wie viel Prozent der Punkte hat Leo erreicht? Gib die Zahl ohne %-Zeichen an.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Teile den Prozentwert durch den Grundwert und multipliziere mit 100:

Sparzinsen unter 1 %

Sparkonten zahlen oft weniger als 1 % Zinsen pro Jahr. Die Zinsen sind der Prozentwert, das Geld auf dem Konto ist der Grundwert.

Beispiel:

Bei 0,5 % Zinsen bringen 2400 € in einem Jahr $0{,}005 \cdot 2400 = 12$ €.

3Probiere es selbst

Ein Sparkonto zahlt 0,8 % Zinsen pro Jahr. Nach einem Jahr hat Sara 36 € Zinsen bekommen.

Wie viel Euro waren auf Saras Konto?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Teile die Zinsen durch den Prozentsatz als Dezimalzahl:

Wichtige Erkenntnisse

1Die Prozentformel lautet $\text{Prozentwert} = \text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}$ , mit dem Prozentsatz als Dezimalzahl
2Übersetze Wort für Wort: "ist" wird zu $=$ , "von" wird zu $\cdot$ , "welche Zahl" wird zur Unbekannten
3Für den Grundwert dividierst du: $\text{Grundwert} = \text{Prozentwert} : \text{Prozentsatz}$
4Für den Prozentsatz teilst du den Prozentwert durch den Grundwert und multiplizierst mit 100
5Über 100 % ist der Prozentsatz größer als 1 ( $150\,\% = 1{,}5$ ) und der Prozentwert größer als der Grundwert; unter 1 % beginnt die Dezimalzahl mit $0{,}00$ ( $0{,}4\,\% = 0{,}004$ )
6Die Formel und die Verhältnisgleichung $\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}} = \frac{p}{100}$ liefern immer dasselbe Ergebnis

Häufig gestellte Fragen

Beide liefern immer dasselbe Ergebnis. Die Formel

\text{Prozentwert} = \text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}

ist kürzer, wenn du den Prozentsatz leicht in eine Dezimalzahl umwandeln kannst. Die Verhältnisgleichung

\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}} = \frac{p}{100}

(Lektion "Prozentrechnung mit Verhältnisgleichung") lässt den Prozentsatz als ganze Zahl stehen und fühlt sich bei schwierigen Dezimalzahlen oft sicherer an. Nimm den Weg, der dir klarer ist.

Glossar

Prozentgleichung (Prozentformel): Die Gleichung $\text{Prozentwert} = \text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}$ , die einen Prozentsatz mit zwei Größen verbindet.
Grundwert: Das Ganze, von dem du einen Prozentsatz nimmst; er entspricht 100 %. Meist steht er nach dem Wort "von".
Prozentwert: Der Teil des Grundwerts, der dem Prozentsatz entspricht.
Prozentsatz: Der Anteil in Prozent, in der Gleichung als Dezimalzahl geschrieben, zum Beispiel $35\,\% = 0{,}35$ .
Unbekannte: Die fehlende Größe in der Gleichung, geschrieben mit einem Buchstaben wie $x$ oder $r$ .

Formelkarte

Prozentformel

\text{Prozentwert} = \text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert}

Damit findest du den Prozentwert: Multipliziere den Prozentsatz (als Dezimalzahl) mit dem Grundwert.

Grundwert finden

\text{Grundwert} = \text{Prozentwert} : \text{Prozentsatz}

Teile den Prozentwert durch den Prozentsatz als Dezimalzahl, zum Beispiel $30 : 0{,}25 = 120$.

Prozentsatz finden

\text{Prozentsatz} = \text{Prozentwert} : \text{Grundwert}

Teile den Prozentwert durch den Grundwert und multipliziere dann mit 100, um den Wert in Prozent zu erhalten.

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Definition

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Häufige Fehler

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Gleichungslöser

Tipps:

Verhältnis-Banddiagramm

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Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Eine Anzahlung leisten

Testergebnisse und Freiwürfe

Sparzinsen unter 1 %

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

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Prozentformel

Grundwert finden

Prozentsatz finden

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Prozentuale Zunahme und Abnahme

Prozentrechnung mit Verhältnisgleichung