Gummibärchen schätzen

Beim Schulfest schätzt du, dass in einem Glas 450 Gummibärchen sind. Tatsächlich sind es 500. Wie groß ist dein prozentualer Fehler?

Bestimme den absoluten Fehler: $|450 - 500| = |-50| = 50$ = Absoluter Fehler = 50 Gummibärchen

Teile durch den tatsächlichen Wert: $\frac{50}{500} = 0{,}1$ = $0{,}1$

Multipliziere mit 100: $0{,}1 \times 100\,\% = 10\,\%$ = $10\,\%$

Answer: Dein prozentualer Fehler beträgt **10 %**.

Siedepunkt von Wasser

Auf Meereshöhe siedet Wasser bei $100\ °\text{C}$. Thermometer A zeigt in kochendem Wasser $102{,}5\ °\text{C}$, Thermometer B zeigt $97{,}5\ °\text{C}$. Bestimme den prozentualen Fehler beider Thermometer.

Absoluter Fehler von Thermometer A: $|102{,}5 - 100| = |2{,}5| = 2{,}5$ = $2{,}5\ °\text{C}$ zu hoch

Absoluter Fehler von Thermometer B: $|97{,}5 - 100| = |-2{,}5| = 2{,}5$ = $2{,}5\ °\text{C}$ zu niedrig

Durch den tatsächlichen Wert teilen und mit 100 multiplizieren: $\frac{2{,}5}{100} \times 100\,\% = 2{,}5\,\%$ = $2{,}5\,\%$ für beide

Answer: Beide Thermometer haben einen prozentualen Fehler von **2,5 %**. Eines zeigt zu viel, eines zu wenig, aber durch den Betrag werden beide Fehler positiv.

Erdbeschleunigung im Labor messen

Bei einem Pendelversuch misst du die Erdbeschleunigung als $9{,}6\ \text{m/s}^2$. Der Literaturwert ist $9{,}81\ \text{m/s}^2$. Bestimme den prozentualen Fehler, gerundet auf zwei Nachkommastellen.

Bestimme den absoluten Fehler: $|9{,}6 - 9{,}81| = |-0{,}21| = 0{,}21$ = $0{,}21\ \text{m/s}^2$

Teile durch den tatsächlichen Wert (alle Stellen behalten): $\frac{0{,}21}{9{,}81} = 0{,}0214067\ldots$ = $0{,}0214067\ldots$

Multipliziere mit 100: $0{,}0214067\ldots \times 100\,\% = 2{,}14067\ldots\,\%$ = $2{,}14067\ldots\,\%$

Runde erst am Ende, auf zwei Nachkommastellen: Die dritte Nachkommastelle ist 0, also wird abgerundet = $2{,}14\,\%$

Answer: Der prozentuale Fehler beträgt etwa **2,14 %** (gerundet auf zwei Nachkommastellen).

Gleicher Fehler, anderer prozentualer Fehler

Mia misst einen 10 cm langen Bleistift mit 12 cm. Leo misst eine 200 cm hohe Tür mit 202 cm. Beide liegen 2 cm daneben. Wessen Messung ist besser?

Absolute Fehler: Mia: $|12 - 10| = 2$, Leo: $|202 - 200| = 2$ = Beide liegen 2 cm daneben

Prozentualer Fehler von Mia: $\frac{2}{10} \times 100\,\% = 20\,\%$ = $20\,\%$

Prozentualer Fehler von Leo: $\frac{2}{200} \times 100\,\% = 1\,\%$ = $1\,\%$

Vergleiche: $20\,\% > 1\,\%$, und $20 : 1 = 20$ = Im Verhältnis zur Größe des Gegenstands ist Mias Fehler 20-mal so groß

Answer: **Leos** Messung ist viel besser: 1 % Fehler gegenüber 20 % bei Mia. Das Teilen durch den tatsächlichen Wert zeigt, wie groß der Fehler im Vergleich zum gemessenen Gegenstand ist.

Ein prozentualer Fehler über 100 %

Sam schätzt, dass 300 Personen bei einem Konzert sind. Tatsächlich sind nur 120 Personen da. Wie groß ist Sams prozentualer Fehler?

Bestimme den absoluten Fehler: $|300 - 120| = 180$ = 180 Personen

Teile durch den tatsächlichen Wert: $\frac{180}{120} = 1{,}5$ = $1{,}5$

Multipliziere mit 100: $1{,}5 \times 100\,\% = 150\,\%$ = $150\,\%$

Answer: Sams prozentualer Fehler beträgt **150 %**. Ein prozentualer Fehler kann über 100 % liegen, wenn die Schätzung mehr als doppelt so groß ist wie der tatsächliche Wert.

Mistake: Durch den Messwert statt durch den tatsächlichen Wert teilen: $\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}6}$

Why: Der prozentuale Fehler vergleicht deinen Fehler mit der WAHREN Größe. Der Messwert ist genau der Wert, der falsch sein kann, also kann er nicht die Bezugsgröße sein.

Correct: Teile immer durch den tatsächlichen Wert (Literaturwert): $\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}81} \times 100\,\% \approx 2{,}14\,\%$

Mistake: Den Betrag vergessen und einen negativen prozentualen Fehler angeben, zum Beispiel $-10\,\%$

Why: Der prozentuale Fehler misst die Größe des Fehlers, nicht seine Richtung. 50 zu wenig ist ein genauso großer Fehler wie 50 zu viel.

Correct: Rechne mit $|\text{Messwert} - \text{tatsächlicher Wert}|$. Bei einer Schätzung von 450 und einem tatsächlichen Wert von 500: $|450 - 500| = 50$, prozentualer Fehler $10\,\%$.

Mistake: Vergessen, mit 100 zu multiplizieren, und $0{,}1$ als prozentualen Fehler angeben

Why: $\frac{50}{500} = 0{,}1$ ist eine Dezimalzahl, kein Prozentwert. $0{,}1\,\%$ würde einen 100-mal kleineren Fehler bedeuten.

Correct: Multipliziere mit 100: $0{,}1 \times 100\,\% = 10\,\%$.

Mistake: Zu früh runden oder nicht angeben, auf wie viele Nachkommastellen gerundet wurde

Why: Wenn du $\frac{0{,}21}{9{,}81}$ zuerst auf $0{,}02$ rundest, erhältst du $2\,\%$ statt $2{,}14\,\%$. Und eine Antwort wie $2{,}1\,\%$ ohne Rundungsangabe kann niemand überprüfen.

Correct: Behalte alle Stellen bis zum letzten Schritt, runde dann einmal und sage, wie: "$2{,}14\,\%$, gerundet auf zwei Nachkommastellen".

Labor: Dichte von Aluminium

Wissenschaftler beurteilen einen Versuch, indem sie ihr Ergebnis mit dem Literaturwert vergleichen. Ein prozentualer Fehler unter etwa 5 % ist im Schullabor meist ein gutes Ergebnis.

Eine Klasse misst die Schallgeschwindigkeit als $330\ \text{m/s}$. Der Literaturwert ist $343\ \text{m/s}$, also beträgt der prozentuale Fehler $\frac{13}{343} \times 100\,\% \approx 3{,}79\,\%$.

Schätzwettbewerbe

Schätzspiele, Besucherzählungen und Zeitpläne sind alles Schätzungen. Der prozentuale Fehler zeigt, wie gut eine Schätzung war, egal wie groß die Zahlen sind.

Wenn du 90 Bonbons schätzt und es 100 sind, beträgt dein prozentualer Fehler $\frac{10}{100} \times 100\,\% = 10\,\%$.

Eine Küchenwaage prüfen

Geschäfte, Apotheken und Fabriken prüfen ihre Waagen mit Prüfgewichten, deren Masse genau bekannt ist. Der prozentuale Fehler zeigt, ob die Waage noch benutzt werden darf.

Eine Apothekenwaage zeigt 101 g für ein 100-g-Prüfgewicht: Der prozentuale Fehler beträgt $\frac{1}{100} \times 100\,\% = 1\,\%$.

Q: Kann der prozentuale Fehler negativ sein?

A: Nicht mit der Formel aus dieser Lektion: Der Betrag macht ihn 0 oder positiv. Manche Naturwissenschaftslehrer lassen den Betrag weg, um zu zeigen, ob ein Ergebnis zu hoch (+) oder zu niedrig ($-$) war. Bei einem prozentualen Fehler mit Vorzeichen bleibt die Größe gleich, es kommt nur die Richtung dazu.

Q: Kann der prozentuale Fehler über 100 % liegen?

A: Ja. Wenn der tatsächliche Wert 20 ist und du 50 schätzt, ist der absolute Fehler 30, und $\frac{30}{20} \times 100\,\% = 150\,\%$. Jede Schätzung, die mehr als doppelt so groß ist wie der tatsächliche Wert, ergibt einen prozentualen Fehler über 100 %.

Q: Was ist ein guter prozentualer Fehler?

A: Das hängt von der Aufgabe ab. Im Schullabor ist unter 5 % meist gut und unter 1 % ausgezeichnet. Bei einem Schätzspiel ist eine Abweichung unter 10 % toll, während eine Medikamentendosis oder eine Präzisionsmaschine unter 0,1 % liegen muss.

Q: Was ist der Unterschied zwischen prozentualem Fehler und prozentualer Änderung?

A: Die prozentuale Änderung vergleicht einen neuen Wert mit dem Ausgangswert und behält das Vorzeichen: $+25\,\%$ ist ein Wachstum, $-15\,\%$ ein Rückgang. Der prozentuale Fehler vergleicht eine Messung mit dem tatsächlichen Wert und verwendet den Betrag, deshalb ist er nie negativ. Bei beiden teilst du durch den Bezugswert und multiplizierst mit 100.