Kann der prozentuale Fehler über 100 % liegen?

Ja. Wenn der tatsächliche Wert 20 ist und du 50 schätzt, ist der absolute Fehler 30, und $\frac{30}{20} \times 100\,\% = 150\,\%$. Jede Schätzung, die mehr als doppelt so groß ist wie der tatsächliche Wert, ergibt einen prozentualen Fehler über 100 %.

Was ist ein guter prozentualer Fehler?

Das hängt von der Aufgabe ab. Im Schullabor ist unter 5 % meist gut und unter 1 % ausgezeichnet. Bei einem Schätzspiel ist eine Abweichung unter 10 % toll, während eine Medikamentendosis oder eine Präzisionsmaschine unter 0,1 % liegen muss.

Was ist der Unterschied zwischen prozentualem Fehler und prozentualer Änderung?

Die prozentuale Änderung vergleicht einen neuen Wert mit dem Ausgangswert und behält das Vorzeichen: $+25\,\%$ ist ein Wachstum, $-15\,\%$ ein Rückgang. Der prozentuale Fehler vergleicht eine Messung mit dem tatsächlichen Wert und verwendet den Betrag, deshalb ist er nie negativ. Bei beiden teilst du durch den Bezugswert und multiplizierst mit 100.

Lehrermaterialien

Prozentualer Fehler

Lerne zu messen, wie weit eine Messung oder Schätzung vom tatsächlichen Wert entfernt ist, ausgedrückt in Prozent des tatsächlichen Werts.

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Definition

Der prozentuale Fehler (auch relativer Fehler in Prozent) gibt an, wie weit ein Messwert oder Schätzwert vom tatsächlichen Wert entfernt ist, ausgedrückt in Prozent des tatsächlichen Werts.

\text{Prozentualer Fehler} = \frac{|\text{Messwert} - \text{tatsächlicher Wert}|}{\text{tatsächlicher Wert}} \times 100\,\%

Die Rechnung hat drei Teile:

1.Absoluter Fehler: der Abstand zwischen den beiden Werten, $|\text{Messwert} - \text{tatsächlicher Wert}|$ . Die Betragsstriche machen ihn positiv, denn nur die Größe des Fehlers zählt.
2.Durch den tatsächlichen Wert teilen: So vergleichst du den Fehler mit der wahren Größe dessen, was du gemessen hast.
3.Mit 100 multiplizieren: So wird aus der Dezimalzahl ein Prozentwert.

Beispiel: Du schätzt, dass in einem Glas 450 Gummibärchen sind, in Wirklichkeit sind es 500.

\frac{|450 - 500|}{500} \times 100\,\% = \frac{50}{500} \times 100\,\% = 10\,\%

Der tatsächliche Wert heißt auch wahrer Wert, Literaturwert oder theoretischer Wert. Der Messwert heißt auch experimenteller Wert oder Schätzwert.

In Prozentuale Zunahme und Abnahme hast du durch den Ausgangswert geteilt und das Vorzeichen behalten (+ für Wachstum,

-

für einen Rückgang). Der prozentuale Fehler ist ähnlich, aber er teilt immer durch den tatsächlichen Wert und ist nie negativ: Er beantwortet nur die Frage "Wie groß war der Fehler?"

Probier es gleich aus

Sei

M

der Messwert und

A

der tatsächliche Wert. Welche Formel ergibt den prozentualen Fehler?

Lösungsbeispiele

Beim Schulfest schätzt du, dass in einem Glas 450 Gummibärchen sind. Tatsächlich sind es 500. Wie groß ist dein prozentualer Fehler?

Bestimme den absoluten Fehler

$|450 - 500| = |-50| = 50$ → Absoluter Fehler = 50 Gummibärchen

Teile durch den tatsächlichen Wert

$\frac{50}{500} = 0{,}1$

Multipliziere mit 100

$0{,}1 \times 100\,\% = 10\,\%$

Antwort: Dein prozentualer Fehler beträgt 10 %.

Häufige Fehler

Durch den Messwert statt durch den tatsächlichen Wert teilen: $\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}6}$

Warum es falsch ist: Der prozentuale Fehler vergleicht deinen Fehler mit der WAHREN Größe. Der Messwert ist genau der Wert, der falsch sein kann, also kann er nicht die Bezugsgröße sein.

Richtig: Teile immer durch den tatsächlichen Wert (Literaturwert): $\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}81} \times 100\,\% \approx 2{,}14\,\%$

Den Betrag vergessen und einen negativen prozentualen Fehler angeben, zum Beispiel $-10\,\%$

Warum es falsch ist: Der prozentuale Fehler misst die Größe des Fehlers, nicht seine Richtung. 50 zu wenig ist ein genauso großer Fehler wie 50 zu viel.

Richtig: Rechne mit $|\text{Messwert} - \text{tatsächlicher Wert}|$ . Bei einer Schätzung von 450 und einem tatsächlichen Wert von 500: $|450 - 500| = 50$ , prozentualer Fehler $10\,\%$ .

Vergessen, mit 100 zu multiplizieren, und $0{,}1$ als prozentualen Fehler angeben

Warum es falsch ist: $\frac{50}{500} = 0{,}1$ ist eine Dezimalzahl, kein Prozentwert. $0{,}1\,\%$ würde einen 100-mal kleineren Fehler bedeuten.

Richtig: Multipliziere mit 100: $0{,}1 \times 100\,\% = 10\,\%$ .

Zu früh runden oder nicht angeben, auf wie viele Nachkommastellen gerundet wurde

Warum es falsch ist: Wenn du $\frac{0{,}21}{9{,}81}$ zuerst auf $0{,}02$ rundest, erhältst du $2\,\%$ statt $2{,}14\,\%$ . Und eine Antwort wie $2{,}1\,\%$ ohne Rundungsangabe kann niemand überprüfen.

Richtig: Behalte alle Stellen bis zum letzten Schritt, runde dann einmal und sage, wie: " $2{,}14\,\%$ , gerundet auf zwei Nachkommastellen".

Interaktive Visualisierung

Bereich:bis

Klicke auf Zahlen, um sie auszuwählen. Passe den Bereich an, um verschiedene Werte zu erkunden.

Balkendiagramm

Gleicher Fehler von 2 cm, anderer prozentualer Fehler

Bleistift, 10 cm(20 %)

Tisch, 50 cm(4 %)

Tür, 200 cm(1 %)

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

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Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Sei $M$ der Messwert und $A$ der tatsächliche Wert. Welche Formel ergibt den prozentualen Fehler?

Übungsaufgaben: Prozentualer Fehler

1. Sei M der Messwert und A der tatsächliche Wert. Welche Formel ergibt den prozentualen Fehler?
2. Ein Brett ist tatsächlich 50 cm lang. Du misst 45 cm. Wie groß ist der prozentuale Fehler? Gib das Ergebnis in % an.
3. Ein Prüfgewicht hat eine tatsächliche Masse von 50 g. Eine Waage zeigt 52 g. Wie groß ist der absolute Fehler?
4. Du schätzt, dass in einem Glas 240 Bonbons sind. Tatsächlich sind es 300. Wie groß ist dein prozentualer Fehler?
5. Ein Thermometer zeigt in kochendem Wasser auf Meereshöhe 98\ °\text{C}, der tatsächliche Siedepunkt ist dort 100\ °\text{C}. Wie groß ist der prozentuale Fehler? Gib das Ergebnis in % an.
6. Ein Buch ist tatsächlich 20 cm breit. Lea misst 21 cm. Wie groß ist ihr prozentualer Fehler?
7. Der tatsächliche Wert ist 40 und der Messwert ist 48. Welche Rechnung ergibt den prozentualen Fehler?
8. Noah schätzt, dass 75 Personen zu einer Party kommen. Es kommen genau 60 Personen. Wie groß ist sein prozentualer Fehler? Gib das Ergebnis in % an.
9. Bei einem Pendelversuch misst du die Erdbeschleunigung als 9{,}32\ \text{m/s}^2. Der Literaturwert ist 9{,}81\ \text{m/s}^2. Wie groß ist der prozentuale Fehler, gerundet auf eine Nachkommastelle?
10. Zoe schätzt, dass in einer Schachtel 90 Knöpfe sind. Tatsächlich sind es 40. Wie groß ist ihr prozentualer Fehler?
11. Kai misst ein 25 m langes Schwimmbecken mit 25,5 m. Lena misst ein 5 m langes Seil mit 5,5 m. Wie oft so groß ist Lenas prozentualer Fehler wie der von Kai?
12. Eine Flasche fasst tatsächlich 2,5 Liter. Ein Messbecher zeigt 2,4 Liter. Wie groß ist der prozentuale Fehler des Messbechers? Gib das Ergebnis in % an.
13. Eine Karten-App schätzt, dass ein Spaziergang 68 Minuten dauert. Tatsächlich dauert er 80 Minuten. Wie groß ist der prozentuale Fehler der App?
14. Eine Schülerin misst die Dichte von Kupfer als 8{,}512\ \text{g/cm}^3. Der Literaturwert ist 8{,}96\ \text{g/cm}^3. Wie groß ist der prozentuale Fehler?
15. Der tatsächliche Wert ist 80. Eine Messung hat einen prozentualen Fehler von 5 % und ist kleiner als der tatsächliche Wert. Wie groß war der Messwert?
16. Eine Klasse misst die Schallgeschwindigkeit als 352\ \text{m/s}. Der Literaturwert ist 343\ \text{m/s}. Bestimme den prozentualen Fehler gerundet auf zwei Nachkommastellen und dann gerundet auf ganze Prozent.
17. Ana hat 40 gemessen, der tatsächliche Wert ist aber 50. Sie schrieb (|40 - 50|)/40 × 100 % = 25 %. Wie groß ist der richtige prozentuale Fehler?
18. Die tatsächliche Masse eines Pakets ist 250 g. Eine Waage hat einen prozentualen Fehler von 8 % und zeigt zu viel an. Was zeigt die Waage?

Warum es wichtig ist

Jede Messung hat einen gewissen Fehler, und der prozentuale Fehler zeigt dir, ob dieser Fehler klein oder ernst ist:

Physik- und Chemielabor: Du misst die Erdbeschleunigung als $9{,}6\ \text{m/s}^2$ , der Literaturwert ist aber $9{,}81\ \text{m/s}^2$ . Ist dein Versuch gut? Der prozentuale Fehler sagt: Er liegt etwa 2 % daneben.
Schätzen: Schätzspiele, Besucherzahlen und Zeitpläne für Projekte lassen sich mit dem prozentualen Fehler bewerten.
Qualitätskontrolle: Fabriken prüfen, ob Waagen, Maßstäbe und Maschinen innerhalb eines festen prozentualen Fehlers bleiben, zum Beispiel 1 %.
Medizin und Kochen: Eine kleine Dosis oder eine kleine Menge Salz braucht eine viel genauere Messung als eine große.

Derselbe absolute Fehler kann winzig oder riesig sein: 2 cm daneben bei einer Tür ist in Ordnung, 2 cm daneben bei einem Bleistift ist ein großer Fehler. Der prozentuale Fehler macht diesen Vergleich fair.

Anwendungen im echten Leben

Labor: Dichte von Aluminium

Wissenschaftler beurteilen einen Versuch, indem sie ihr Ergebnis mit dem Literaturwert vergleichen. Ein prozentualer Fehler unter etwa 5 % ist im Schullabor meist ein gutes Ergebnis.

Beispiel:

Eine Klasse misst die Schallgeschwindigkeit als $330\ \text{m/s}$ . Der Literaturwert ist $343\ \text{m/s}$ , also beträgt der prozentuale Fehler $\frac{13}{343} \times 100\,\% \approx 3{,}79\,\%$ .

1Probiere es selbst

Du misst die Dichte eines Aluminiumklotzes als $2{,}646\ \text{g/cm}^3$ . Der Literaturwert für Aluminium ist $2{,}70\ \text{g/cm}^3$ .

Wie groß ist der prozentuale Fehler deiner Messung?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Rechnung oder das Ergebnis (in %):

Schätzwettbewerbe

Schätzspiele, Besucherzählungen und Zeitpläne sind alles Schätzungen. Der prozentuale Fehler zeigt, wie gut eine Schätzung war, egal wie groß die Zahlen sind.

Beispiel:

Wenn du 90 Bonbons schätzt und es 100 sind, beträgt dein prozentualer Fehler $\frac{10}{100} \times 100\,\% = 10\,\%$ .

2Probiere es selbst

In einem großen Glas auf dem Jahrmarkt sind 1.250 Murmeln. Du schätzt 1.000 Murmeln.

Wie groß ist dein prozentualer Fehler?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Rechnung oder das Ergebnis (in %):

Eine Küchenwaage prüfen

Geschäfte, Apotheken und Fabriken prüfen ihre Waagen mit Prüfgewichten, deren Masse genau bekannt ist. Der prozentuale Fehler zeigt, ob die Waage noch benutzt werden darf.

Beispiel:

Eine Apothekenwaage zeigt 101 g für ein 100-g-Prüfgewicht: Der prozentuale Fehler beträgt $\frac{1}{100} \times 100\,\% = 1\,\%$ .

3Probiere es selbst

Du legst ein Prüfgewicht von genau 500 g auf eine Küchenwaage. Die Waage zeigt 508 g.

Wie groß ist der prozentuale Fehler der Waage?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Rechnung oder das Ergebnis (in %):

Wichtige Erkenntnisse

1Prozentualer Fehler $= \frac{|\text{Messwert} - \text{tatsächlicher Wert}|}{\text{tatsächlicher Wert}} \times 100\,\%$
2Der absolute Fehler $|\text{Messwert} - \text{tatsächlicher Wert}|$ ist die Größe des Fehlers in der ursprünglichen Einheit; der prozentuale Fehler vergleicht ihn mit dem tatsächlichen Wert
3Teile immer durch den tatsächlichen Wert (Literaturwert), nie durch den Messwert
4Der prozentuale Fehler ist nie negativ: Gleich viel zu hoch und gleich viel zu niedrig ergeben denselben prozentualen Fehler
5Behalte alle Stellen bis zum Ende, runde dann einmal und gib an, auf wie viele Nachkommastellen
6Der prozentuale Fehler kann über 100 % liegen, wenn eine Schätzung mehr als doppelt so groß ist wie der tatsächliche Wert

Häufig gestellte Fragen

Nicht mit der Formel aus dieser Lektion: Der Betrag macht ihn 0 oder positiv. Manche Naturwissenschaftslehrer lassen den Betrag weg, um zu zeigen, ob ein Ergebnis zu hoch (+) oder zu niedrig (

-

) war. Bei einem prozentualen Fehler mit Vorzeichen bleibt die Größe gleich, es kommt nur die Richtung dazu.

Glossar

Messwert: Der Wert, den du durch eine Messung, einen Versuch oder eine Schätzung erhalten hast (auch experimenteller Wert oder Schätzwert)
Tatsächlicher Wert: Der wahre oder anerkannte Wert, mit dem die Messung verglichen wird (auch wahrer Wert, Literaturwert oder theoretischer Wert)
Absoluter Fehler: Der Abstand zwischen Messwert und tatsächlichem Wert, $|\text{Messwert} - \text{tatsächlicher Wert}|$ , in der ursprünglichen Einheit
Prozentualer Fehler: Der absolute Fehler geteilt durch den tatsächlichen Wert, mal 100 %
Betrag: Der Abstand einer Zahl von null, immer 0 oder positiv: $|-3| = 3$

Formelkarte

Prozentualer Fehler

\text{Prozentualer Fehler} = \frac{|\text{Messwert} - \text{tatsächlicher Wert}|}{\text{tatsächlicher Wert}} \times 100\,\%

Wie groß der Fehler ist, in Prozent des tatsächlichen Werts

Absoluter Fehler

\text{Absoluter Fehler} = |\text{Messwert} - \text{tatsächlicher Wert}|

Die Größe des Fehlers in der ursprünglichen Einheit (cm, g, Personen)

Rückwärts rechnen

\text{Messwert} = \text{tatsächlicher Wert} \pm \text{tatsächlicher Wert} \times \frac{\text{prozentualer Fehler}}{100}

Nimm +, wenn die Messung zu hoch war, und $-$, wenn sie zu niedrig war

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Häufige Fehler

Interaktive Visualisierung

Balkendiagramm

Gleicher Fehler von 2 cm, anderer prozentualer Fehler

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Verlauf

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Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Labor: Dichte von Aluminium

Schätzwettbewerbe

Eine Küchenwaage prüfen

Wichtige Erkenntnisse

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Glossar

Formelkarte

Prozentualer Fehler

Absoluter Fehler

Rückwärts rechnen

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