Kann der Prozentwert größer als der Grundwert sein?

Ja, wenn der Prozentsatz über 100 liegt. Zum Beispiel sind 60 genau $150\,\%$ von 40: $\frac{60}{40} = \frac{p}{100}$ ergibt $p = 150$.

Warum funktioniert das Multiplizieren über Kreuz?

Zwei gleiche Brüche bleiben gleich, wenn du beide Seiten mit beiden Nennern multiplizierst. Aus $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ wird so $a \cdot d = b \cdot c$.

Was ist der Unterschied zwischen Verhältnisgleichung und Prozentgleichung?

Beide schreiben denselben Zusammenhang auf. Die Verhältnisgleichung vergleicht zwei Brüche; die Prozentgleichung (nächste Lektion) schreibt Prozentwert = Prozentsatz · Grundwert mit dem Prozentsatz als Dezimalzahl. Beide liefern dasselbe Ergebnis.

Lehrermaterialien

Prozentrechnung mit Verhältnisgleichung

Nutze die Verhältnisgleichung Prozentwert/Grundwert = p/100, um einen fehlenden Prozentwert, Grundwert oder Prozentsatz über Kreuz zu berechnen.

Mittelstufe25 MinLektion

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Definition

Die Verhältnisgleichung für Prozente sagt: Der Prozentwert verhält sich zum Grundwert wie der Prozentsatz zu 100:

\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}} = \frac{p}{100}

Der Grundwert ist das Ganze (meist die Zahl nach dem Wort von).
Der Prozentwert ist ein Teil davon (meist die Zahl beim Wort sind oder ist).
$p$ ist der Prozentsatz, die Zahl vor dem %-Zeichen.

In jeder Prozentaufgabe kennst du zwei dieser drei Zahlen, eine fehlt. Setze die bekannten Zahlen in die Gleichung ein, schreibe für die fehlende einen Buchstaben, multipliziere über Kreuz und teile dann.

Beispiel: Wie viel Prozent von 40 sind 12?

\frac{12}{40} = \frac{p}{100} \quad\Rightarrow\quad 40p = 12 \cdot 100 = 1200 \quad\Rightarrow\quad p = 30

Also sind 12 genau

30\,\%

von 40.

Probier es gleich aus

Welche Verhältnisgleichung passt zur Frage "Wie viel Prozent von 50 sind 20?"

Lösungsbeispiele

Wie viel Prozent von 40 sind 12?

Prozentwert und Grundwert bestimmen

Der Grundwert steht nach "von": 40. Der Prozentwert steht bei "sind": 12. Der Prozentsatz fehlt. → W = 12, G = 40

Verhältnisgleichung aufstellen

$\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$

Über Kreuz multiplizieren

$40 \cdot p = 12 \cdot 100$ → $40p = 1200$

Durch 40 teilen

$p = 1200 : 40$ → $p = 30$

Antwort: 12 sind $30\,\%$ von 40.

Häufige Fehler

Den Grundwert nach oben schreiben: $\frac{40}{12} = \frac{p}{100}$ für "Wie viel Prozent von 40 sind 12?"

Warum es falsch ist: Links muss Prozentwert durch Grundwert stehen. Umgedreht ergibt sich $p \approx 333$ , was hier unmöglich ist, weil 12 kleiner als 40 ist.

Richtig: Prozentwert oben, Grundwert unten: $\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$ , also $p = 30$ .

Den Prozentsatz an die Stelle des Prozentwerts schreiben: $\frac{30}{x} = \frac{15}{100}$ für "15 sind 30 % von welcher Zahl?"

Warum es falsch ist: Die Zahl mit dem %-Zeichen steht immer über der 100. Die andere bekannte Zahl ist Prozentwert oder Grundwert.

Richtig: $\frac{15}{x} = \frac{30}{100}$ , also $30x = 1500$ und $x = 50$ .

Gerade statt über Kreuz multiplizieren: $12 \cdot p = 40 \cdot 100$

Warum es falsch ist: Beim Multiplizieren über Kreuz gehört jeder Zähler zum Nenner des ANDEREN Bruchs.

Richtig: Entlang der Diagonalen multiplizieren: $12 \cdot 100 = 40 \cdot p$ .

0,3 antworten, wenn nach dem Prozentsatz gefragt ist

Warum es falsch ist: In der Verhältnisgleichung ist $p$ schon die Anzahl Prozent (von 100), keine Dezimalzahl.

Richtig: Wenn $p = 30$ ist, lautet die Antwort $30\,\%$ . Schreibe das %-Zeichen dazu.

Interaktive Visualisierung

12 sind 30 % von 40

Prozentwert: 30 %

= 12

Rest: 70 %

= 28

Grundwert: 100 % = 40

= 10 (40)

Prozentwert: 30 % Wert:12

Rest: 70 % Wert:28

Gleichungslöser

Löse nach $x$ :

\frac{12}{40} = \frac{x}{100}

\frac{12}{40} = \frac{x}{100}

Über Kreuz multiplizieren:

a \cdot d = b \cdot c

Zähler der einen Seite mal Nenner der anderen Seite. Das ist dasselbe, wie beide Seiten mit beiden Nennern zu multiplizieren.

Tipps:

• Was du auf einer Seite machst, mache auch auf der anderen
• Operationen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig machen
• Überprüfe deine Antwort durch Einsetzen

Folge mit, während wir die Gleichung Schritt für Schritt lösen.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Welche Verhältnisgleichung passt zur Frage "Wie viel Prozent von 50 sind 20?"

Warum es wichtig ist

Du weißt schon, wie man einen Prozentwert von einer Zahl berechnet. Im Alltag ist die Frage oft umgekehrt:

Klassenarbeiten: Du hast 34 von 40 Punkten. Wie viel Prozent sind das?
Umfragen: 45 Schüler wählten Basketball, das sind 18 % aller Befragten. Wie viele wurden befragt?
Einkaufen: Du hast 12 € gespart, das waren 15 % Rabatt. Was war der ursprüngliche Preis?
Sport: Eine Spielerin trifft 27 von 30 Freiwürfen. Wie hoch ist ihre Trefferquote?

Die Verhältnisgleichung löst alle drei Fragetypen mit einem Ansatz, du brauchst also keine eigene Regel für jeden Fall. In der nächsten Lektion lernst du die andere Methode kennen, die Prozentgleichung (Prozentwert = Prozentsatz · Grundwert), die dieselben Aufgaben in einer Zeile löst.

Anwendungen im echten Leben

Testergebnisse

Lehrkräfte rechnen Punkte in Prozent um, damit sich Tests mit unterschiedlich vielen Aufgaben vergleichen lassen.

Beispiel:

18 von 24 Punkten: $\frac{18}{24} = \frac{p}{100}$ , also $p = 75$ , ein Ergebnis von $75\,\%$ .

1Probiere es selbst

Liam hat 27 der 30 Fragen eines Quiz richtig beantwortet.

Wie viel Prozent hat Liam richtig?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse $\frac{27}{30} = \frac{p}{100}$ : berechne $27 \cdot 100 : 30$

Umfragen

Umfragen nennen ihre Ergebnisse in Prozent. Kennst du den Prozentsatz und die Anzahl der Personen mit einer Antwort, findest du heraus, wie viele befragt wurden.

Beispiel:

Wenn 30 Personen $25\,\%$ einer Gruppe sind, dann gilt $\frac{30}{x} = \frac{25}{100}$ und die Gruppe hat 120 Personen.

2Probiere es selbst

Bei einer Umfrage in einer Stadt sagten 120 Personen Ja zu einem neuen Park. Das waren 60 % aller Befragten.

Wie viele Personen wurden befragt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse $\frac{120}{x} = \frac{60}{100}$ : berechne $120 \cdot 100 : 60$

Einkaufen und Rabatte

Auf dem Kassenbon steht oft, wie viel du gespart hast, aber nicht der alte Preis. Die Verhältnisgleichung findet den ursprünglichen Preis.

Beispiel:

6 € gespart bei $20\,\%$ Rabatt bedeutet $\frac{6}{x} = \frac{20}{100}$ , der ursprüngliche Preis war also 30 €.

3Probiere es selbst

Eine Jacke ist um 15 % reduziert und du sparst 12 €.

Wie viel Euro hat die Jacke ursprünglich gekostet?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse $\frac{12}{x} = \frac{15}{100}$ : berechne $12 \cdot 100 : 15$

Wichtige Erkenntnisse

1Die Verhältnisgleichung lautet $\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}} = \frac{p}{100}$
2Der Grundwert steht meist nach "von", der Prozentwert meist bei "ist" oder "sind"
3Die Zahl mit dem %-Zeichen steht immer über der 100
4Schreibe für die fehlende Zahl einen Buchstaben, multipliziere über Kreuz und teile dann
5Derselbe Ansatz findet Prozentwert, Grundwert oder Prozentsatz
6Mach die Probe: Der Prozentwert muss genau dieser Prozentsatz vom Grundwert sein

Häufig gestellte Fragen

Frag dich: Welche Zahl ist das Ganze? Das ist der Grundwert (oft nach "von"). Der Prozentwert ist ein Teil davon (oft bei "ist" oder "sind"). Liegt der Prozentsatz unter 100, ist der Prozentwert kleiner als der Grundwert.

Glossar

Verhältnisgleichung für Prozente: Die Gleichung $\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}} = \frac{p}{100}$ , die Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz verbindet.
Prozentwert: Der Anteil vom Ganzen, zum Beispiel die richtigen Antworten in einem Test.
Grundwert: Das Ganze, das $100\,\%$ entspricht.
Prozentsatz: Eine Zahl von 100, geschrieben mit dem %-Zeichen.
Über Kreuz multiplizieren: Bei $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ entlang der Diagonalen multiplizieren: $a \cdot d = b \cdot c$ .

Formelkarte

Verhältnisgleichung

\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}} = \frac{p}{100}

Prozentwert durch Grundwert gleich Prozentsatz durch 100.

Fehlender Prozentsatz

p = \frac{\text{Prozentwert} \cdot 100}{\text{Grundwert}}

Wie viel Prozent von 40 sind 12? $p = 1200 : 40 = 30$

Fehlender Grundwert

\text{Grundwert} = \frac{\text{Prozentwert} \cdot 100}{p}

15 sind 30 % von welcher Zahl? $1500 : 30 = 50$

Fehlender Prozentwert

\text{Prozentwert} = \frac{p \cdot \text{Grundwert}}{100}

35 % von 60: $2100 : 100 = 21$

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12 sind 30 % von 40

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Verhältnisgleichung

Fehlender Prozentsatz

Fehlender Grundwert

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