Den Prozentsatz finden

Wie viel Prozent von 40 sind 12?

Prozentwert und Grundwert bestimmen: Der Grundwert steht nach "von": 40. Der Prozentwert steht bei "sind": 12. Der Prozentsatz fehlt. = W = 12, G = 40

Verhältnisgleichung aufstellen: $\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$ = $\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$

Über Kreuz multiplizieren: $40 \cdot p = 12 \cdot 100$ = $40p = 1200$

Durch 40 teilen: $p = 1200 : 40$ = $p = 30$

Answer: 12 sind $30\,\%$ von 40.

Den Grundwert finden

15 sind 30 % von welcher Zahl?

Bekannte Werte bestimmen: Der Prozentwert ist 15 (bei "sind"), der Prozentsatz ist 30. Der Grundwert (nach "von") fehlt. = W = 15, $p = 30$

Verhältnisgleichung aufstellen: $\frac{15}{x} = \frac{30}{100}$ = $\frac{15}{x} = \frac{30}{100}$

Über Kreuz multiplizieren: $30 \cdot x = 15 \cdot 100$ = $30x = 1500$

Durch 30 teilen: $x = 1500 : 30$ = $x = 50$

Answer: 15 sind $30\,\%$ von 50. Probe: $30\,\%$ von 50 sind $0{,}3 \cdot 50 = 15$.

Den Prozentwert finden

Berechne 35 % von 60 mit der Verhältnisgleichung.

Bekannte Werte bestimmen: Der Grundwert ist 60, der Prozentsatz ist 35. Der Prozentwert fehlt. = G = 60, $p = 35$

Verhältnisgleichung aufstellen: $\frac{x}{60} = \frac{35}{100}$ = $\frac{x}{60} = \frac{35}{100}$

Über Kreuz multiplizieren: $100 \cdot x = 35 \cdot 60$ = $100x = 2100$

Durch 100 teilen: $x = 2100 : 100$ = $x = 21$

Answer: $35\,\%$ von 60 sind 21. Derselbe Ansatz funktioniert für jede Unbekannte.

Testergebnis in Prozent

Maria hat 34 der 40 Aufgaben eines Tests richtig gelöst. Wie viel Prozent hat sie richtig?

Prozentwert und Grundwert bestimmen: Alle Aufgaben sind der Grundwert: 40. Die richtigen Antworten sind der Prozentwert: 34. = W = 34, G = 40

Verhältnisgleichung aufstellen: $\frac{34}{40} = \frac{p}{100}$ = $\frac{34}{40} = \frac{p}{100}$

Über Kreuz multiplizieren: $40p = 34 \cdot 100$ = $40p = 3400$

Durch 40 teilen: $p = 3400 : 40$ = $p = 85$

Answer: Maria hat $85\,\%$ der Aufgaben richtig gelöst.

Umfrage: Wie viele wurden befragt?

Bei einer Schulumfrage wählten 45 Schüler Basketball als Lieblingssport. Das sind 18 % aller Schüler, die geantwortet haben. Wie viele Schüler haben an der Umfrage teilgenommen?

Bekannte Werte bestimmen: 45 Schüler sind ein Teil aller Befragten. Der Prozentsatz ist 18. Der Grundwert (alle Schüler) fehlt. = W = 45, $p = 18$

Verhältnisgleichung aufstellen: $\frac{45}{x} = \frac{18}{100}$ = $\frac{45}{x} = \frac{18}{100}$

Über Kreuz multiplizieren: $18x = 45 \cdot 100$ = $18x = 4500$

Durch 18 teilen und prüfen: $x = 4500 : 18 = 250$; Probe: $0{,}18 \cdot 250 = 45$ = $x = 250$

Answer: 250 Schüler haben an der Umfrage teilgenommen.

Mistake: Den Grundwert nach oben schreiben: $\frac{40}{12} = \frac{p}{100}$ für "Wie viel Prozent von 40 sind 12?"

Why: Links muss Prozentwert durch Grundwert stehen. Umgedreht ergibt sich $p \approx 333$, was hier unmöglich ist, weil 12 kleiner als 40 ist.

Correct: Prozentwert oben, Grundwert unten: $\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$, also $p = 30$.

Mistake: Den Prozentsatz an die Stelle des Prozentwerts schreiben: $\frac{30}{x} = \frac{15}{100}$ für "15 sind 30 % von welcher Zahl?"

Why: Die Zahl mit dem %-Zeichen steht immer über der 100. Die andere bekannte Zahl ist Prozentwert oder Grundwert.

Correct: $\frac{15}{x} = \frac{30}{100}$, also $30x = 1500$ und $x = 50$.

Mistake: Gerade statt über Kreuz multiplizieren: $12 \cdot p = 40 \cdot 100$

Why: Beim Multiplizieren über Kreuz gehört jeder Zähler zum Nenner des ANDEREN Bruchs.

Correct: Entlang der Diagonalen multiplizieren: $12 \cdot 100 = 40 \cdot p$.

Mistake: 0,3 antworten, wenn nach dem Prozentsatz gefragt ist

Why: In der Verhältnisgleichung ist $p$ schon die Anzahl Prozent (von 100), keine Dezimalzahl.

Correct: Wenn $p = 30$ ist, lautet die Antwort $30\,\%$. Schreibe das %-Zeichen dazu.

Testergebnisse

Lehrkräfte rechnen Punkte in Prozent um, damit sich Tests mit unterschiedlich vielen Aufgaben vergleichen lassen.

18 von 24 Punkten: $\frac{18}{24} = \frac{p}{100}$, also $p = 75$, ein Ergebnis von $75\,\%$.

Umfragen

Umfragen nennen ihre Ergebnisse in Prozent. Kennst du den Prozentsatz und die Anzahl der Personen mit einer Antwort, findest du heraus, wie viele befragt wurden.

Wenn 30 Personen $25\,\%$ einer Gruppe sind, dann gilt $\frac{30}{x} = \frac{25}{100}$ und die Gruppe hat 120 Personen.

Einkaufen und Rabatte

Auf dem Kassenbon steht oft, wie viel du gespart hast, aber nicht der alte Preis. Die Verhältnisgleichung findet den ursprünglichen Preis.

6 € gespart bei $20\,\%$ Rabatt bedeutet $\frac{6}{x} = \frac{20}{100}$, der ursprüngliche Preis war also 30 €.

Q: Woran erkenne ich, welche Zahl Prozentwert und welche Grundwert ist?

A: Frag dich: Welche Zahl ist das Ganze? Das ist der Grundwert (oft nach "von"). Der Prozentwert ist ein Teil davon (oft bei "ist" oder "sind"). Liegt der Prozentsatz unter 100, ist der Prozentwert kleiner als der Grundwert.

Q: Kann der Prozentwert größer als der Grundwert sein?

A: Ja, wenn der Prozentsatz über 100 liegt. Zum Beispiel sind 60 genau $150\,\%$ von 40: $\frac{60}{40} = \frac{p}{100}$ ergibt $p = 150$.

Q: Warum funktioniert das Multiplizieren über Kreuz?

A: Zwei gleiche Brüche bleiben gleich, wenn du beide Seiten mit beiden Nennern multiplizierst. Aus $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ wird so $a \cdot d = b \cdot c$.

Q: Was ist der Unterschied zwischen Verhältnisgleichung und Prozentgleichung?

A: Beide schreiben denselben Zusammenhang auf. Die Verhältnisgleichung vergleicht zwei Brüche; die Prozentgleichung (nächste Lektion) schreibt Prozentwert = Prozentsatz · Grundwert mit dem Prozentsatz als Dezimalzahl. Beide liefern dasselbe Ergebnis.