Kürzen mit einem kleinen gemeinsamen Teiler

Kürze $\frac{6}{10}$

Finde einen gemeinsamen Teiler: Sowohl 6 als auch 10 sind durch 2 teilbar = Gemeinsamer Teiler: 2

Teile Zähler und Nenner: $\frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \frac{3}{5}$ = $\frac{3}{5}$

Prüfe, ob vollständig gekürzt: 3 und 5 haben keine gemeinsamen Teiler (außer 1) = Vollständig gekürzt

Answer: $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Kürzen in mehreren Schritten

Kürze $\frac{24}{36}$

Finde einen gemeinsamen Teiler: Beide sind gerade, also durch 2 teilbar = Teile durch 2

Erstes Kürzen: $\frac{24 \div 2}{36 \div 2} = \frac{12}{18}$ = $\frac{12}{18}$

Noch gemeinsame Teiler?: 12 und 18 sind beide durch 2 teilbar = Wieder durch 2 teilen

Zweites Kürzen: $\frac{12 \div 2}{18 \div 2} = \frac{6}{9}$ = $\frac{6}{9}$

Nochmal prüfen: 6 und 9 sind beide durch 3 teilbar = Durch 3 teilen

Letztes Kürzen: $\frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$ = $\frac{2}{3}$, vollständig gekürzt!

Answer: $\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$

Mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT)

Kürze $\frac{18}{24}$ mit der ggT-Methode

Schreibe die Teiler von 18 auf: 1, 2, 3, 6, 9, 18 = Teiler von 18

Schreibe die Teiler von 24 auf: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 = Teiler von 24

Finde den ggT: Gemeinsame Teiler: 1, 2, 3, 6. Der größte ist 6 = ggT = 6

Teile beide durch den ggT: $\frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$ = $\frac{3}{4}$

Answer: $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ (mit dem ggT 6)

Schon vollständig gekürzt

Kürze $\frac{7}{12}$

Schreibe die Teiler von 7 auf: 1, 7 (7 ist eine Primzahl!) = Nur die Teiler 1 und 7

Prüfe, ob 12 durch 7 teilbar ist: $12 \div 7 = 1{,}71...$ (keine ganze Zahl) = 7 teilt 12 nicht

Schlussfolgerung: Der einzige gemeinsame Teiler ist 1 = Schon vollständig gekürzt!

Answer: $\frac{7}{12}$ ist bereits vollständig gekürzt

Mistake: Subtrahieren statt dividieren: $\frac{6}{8} \rightarrow \frac{6-2}{8-2} = \frac{4}{6}$

Why: Wenn du dieselbe Zahl abziehst, ändert sich der Wert des Bruchs. Nur beim Dividieren bleibt der Wert gleich.

Correct: Immer beide Teile durch dieselbe Zahl TEILEN: $\frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$

Mistake: Nur den Zähler oder nur den Nenner dividieren

Why: Du musst dieselbe Operation auf beide Teile anwenden, um den Wert des Bruchs zu erhalten.

Correct: Was du oben tust, tue auch unten: $\frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$

Mistake: Zu früh aufhören: $\frac{12}{16} = \frac{6}{8}$ und nicht weiterkürzen

Why: $\frac{6}{8}$ hat immer noch den gemeinsamen Teiler 2.

Correct: Weitermachen! $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ - jetzt ist es vollständig gekürzt

Mistake: Glauben, man könne nur durch 2 kürzen

Why: Jeder gemeinsame Teiler funktioniert! Oft ist der ggT 3, 5 oder eine größere Zahl.

Correct: Bei $\frac{15}{25}$ durch 5 teilen: $\frac{15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5}$

Kochen und Rezepte

Rezepte werden mit gekürzten Brüchen geschrieben, damit sie klarer sind.

Ein Rezept verlangt $\frac{4}{8}$ Tasse Zucker. Gekürzt sind das $\frac{1}{2}$ Tasse - viel einfacher abzumessen!

Gerechtes Teilen

Beim fairen Aufteilen zeigen gekürzte Brüche die klarsten Anteile.

Wenn 12 von 16 Schülern ihre Hausaufgaben fertig haben, sind das $\frac{12}{16} = \frac{3}{4}$ der Klasse.

Rabatte und Sonderangebote

Geschäfte drücken Rabatte oft als gekürzte Brüche aus.

Ein "20 von 100"-Rabatt ist $\frac{20}{100} = \frac{1}{5}$ Nachlass, oder "ein Fünftel Rabatt".

Q: Wie weiß ich, wann ein Bruch vollständig gekürzt ist?

A: Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner außer 1 keine gemeinsamen Teiler haben. Prüfe: Kann irgendeine Zahl (2, 3, 5 usw.) beide ohne Rest teilen? Wenn nicht, bist du fertig!

Q: Ändert das Kürzen den Wert eines Bruchs?

A: Nein! Kürzen erzeugt einen gleichwertigen Bruch. $\frac{6}{8}$ und $\frac{3}{4}$ stellen genau dieselbe Menge dar - nur anders geschrieben.

Q: Was, wenn der Zähler größer als der Nenner ist?

A: Du kannst trotzdem kürzen! Zum Beispiel ist $\frac{10}{4} = \frac{5}{2}$. Das ist ein unechter Bruch, der auch als gemischte Zahl $2\frac{1}{2}$ geschrieben werden kann.