Einfache Brüche vergleichen

Was ist größer: $\frac{3}{4}$ oder $\frac{5}{7}$?

Kreuzmultiplikation aufstellen: $\frac{3}{4}$ vs $\frac{5}{7}$ = Bereit zur Kreuzmultiplikation

Ersten Zähler mit zweitem Nenner multiplizieren: $3 \times 7 = 21$ = Linkes Produkt: $21$

Zweiten Zähler mit erstem Nenner multiplizieren: $5 \times 4 = 20$ = Rechtes Produkt: $20$

Produkte vergleichen: $21 > 20$, also $\frac{3}{4} > \frac{5}{7}$ = $\frac{3}{4}$ ist größer

Answer: $\frac{3}{4} > \frac{5}{7}$

Gleichwertige Brüche

Vergleiche $\frac{4}{6}$ und $\frac{6}{9}$.

Kreuzmultiplikation aufstellen: $\frac{4}{6}$ vs $\frac{6}{9}$ = Bereit zur Kreuzmultiplikation

Linkes Produkt berechnen: $4 \times 9 = 36$ = Linkes Produkt: $36$

Rechtes Produkt berechnen: $6 \times 6 = 36$ = Rechtes Produkt: $36$

Produkte vergleichen: $36 = 36$, also $\frac{4}{6} = \frac{6}{9}$ = Die Brüche sind gleich

Answer: $\frac{4}{6} = \frac{6}{9}$ (beide vereinfachen sich zu $\frac{2}{3}$)

Vergleichen mit größeren Zahlen

Was ist kleiner: $\frac{7}{12}$ oder $\frac{5}{9}$?

Kreuzmultiplikation aufstellen: $\frac{7}{12}$ vs $\frac{5}{9}$ = Bereit zur Kreuzmultiplikation

Linkes Produkt berechnen: $7 \times 9 = 63$ = Linkes Produkt: $63$

Rechtes Produkt berechnen: $5 \times 12 = 60$ = Rechtes Produkt: $60$

Produkte vergleichen: $63 > 60$, also $\frac{7}{12} > \frac{5}{9}$ = $\frac{5}{9}$ ist kleiner

Answer: $\frac{5}{9} < \frac{7}{12}$

Anwendung aus dem Alltag

Zwei Pizzen wurden geteilt. Bei Pizza A sind 3 von 8 Stücken übrig. Bei Pizza B sind 2 von 5 Stücken übrig. Welche Pizza hat proportional mehr übrig?

Als Brüche schreiben: Pizza A: $\frac{3}{8}$, Pizza B: $\frac{2}{5}$ = Brüche identifiziert

Kreuz multiplizieren: $3 \times 5 = 15$ und $2 \times 8 = 16$ = Produkte: $15$ vs $16$

Vergleichen: $15 < 16$, also $\frac{3}{8} < \frac{2}{5}$ = $\frac{2}{5}$ ist größer

Frage beantworten: Pizza B hat $\frac{2}{5}$ übrig, was größer ist = Pizza B hat mehr übrig

Answer: Pizza B hat proportional mehr Pizza übrig.

Mistake: Zähler mit Zähler multiplizieren statt kreuz zu multiplizieren

Why: Schüler verwechseln manchmal die Kreuzmultiplikation mit normaler Multiplikation. Kreuzmultiplikation bedeutet diagonal: Zähler des ersten mit Nenner des zweiten.

Correct: Immer über Kreuz multiplizieren: Zähler eines Bruchs mal Nenner des anderen.

Mistake: Verwechseln, welches Produkt zu welchem Bruch gehört

Why: Nach der Berechnung beider Produkte vergessen Schüler, welches Produkt zu welchem Bruch gehört.

Correct: Das Produkt mit dem Zähler des ersten Bruchs sagt etwas über den ersten Bruch aus. Schreibe die Produkte direkt unter oder neben jeden Bruch.

Mistake: Denken, dass die Kreuzmultiplikation den tatsächlichen Bruchwert ergibt

Why: Schüler könnten denken, dass die Produkte die Werte der Brüche sind. Das sind sie nicht; sie sind nur zum Vergleichen nützlich.

Correct: Die Kreuzmultiplikation sagt dir, welcher Bruch größer ist, nicht was die Brüche als Dezimalzahlen oder in der einfachsten Form sind.

Einkaufsvergleiche

Geschäfte zeigen oft verschiedene Packungsgrößen zu verschiedenen Preisen an. Die Kreuzmultiplikation hilft, das bessere Angebot zu finden.

Wenn eine 3er-Packung 8 Euro kostet und eine 5er-Packung 12 Euro, vergleiche $\frac{3}{8}$ und $\frac{5}{12}$ (Artikel pro Euro). Kreuz multiplizieren: $3 \times 12 = 36$ vs $5 \times 8 = 40$. Da $36 < 40$, bekommst du mehr Artikel pro Euro mit der 5er-Packung.

Rezepte skalieren

Beim Vergleichen von Rezepten hilft die Kreuzmultiplikation zu bestimmen, welches proportional mehr von einer Zutat verwendet.

Rezept A verwendet $\frac{2}{3}$ Tasse Zucker für 12 Kekse. Rezept B verwendet $\frac{3}{5}$ Tasse für 12 Kekse. Welches ist süßer? Kreuz multiplizieren: $2 \times 5 = 10$ vs $3 \times 3 = 9$. Da $10 > 9$, verwendet Rezept A mehr Zucker.

Q: Warum funktioniert die Kreuzmultiplikation?

A: Die Kreuzmultiplikation findet eigentlich im Hintergrund einen gemeinsamen Nenner. Wenn du $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$ vergleichst, könntest du sie als $\frac{a \times d}{b \times d}$ und $\frac{c \times b}{d \times b}$ schreiben. Da beide Nenner zu $b \times d$ werden, musst du nur die Zähler vergleichen: $a \times d$ vs $c \times b$.

Q: Kann ich die Kreuzmultiplikation mit mehr als zwei Brüchen verwenden?

A: Die Kreuzmultiplikation vergleicht genau zwei Brüche gleichzeitig. Für drei oder mehr Brüche vergleiche sie paarweise, oder wandle alle Brüche in den gleichen Nenner oder in Dezimalzahlen um.

Q: Ist die Reihenfolge wichtig?

A: Die Reihenfolge bestimmt, welches Produkt zu welchem Bruch gehört. Sei konsequent: Das Produkt mit dem Zähler des ersten Bruchs entspricht dem ersten Bruch. Wenn du die Brüche vertauschst, vertausche auch deine Interpretation.