Platonische Körper

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Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welcher dieser Körper ist KEIN platonischer Körper?
1. a)Quadratische Pyramide
2. b)Ikosaeder
3. c)Würfel
4. d)Oktaeder
2.
Wie viele Flächen hat ein Ikosaeder?
3.
Bestimme die Anzahl der Kanten eines Würfels, indem du die Seiten seiner Flächen zählst.
4.
Welche Form haben die Flächen eines Dodekaeders?
1. a)Gleichseitige Dreiecke
2. b)Regelmäßige Fünfecke
3. c)Regelmäßige Sechsecke
4. d)Quadrate
5.
Ein Tetraeder hat 4 Flächen, jede ein gleichseitiges Dreieck. Wie viele Kanten hat es?
6.
Wie viele Quadrate können höchstens an einer Ecke eines Körpers zusammenstoßen?
7.
Du wirfst einen fairen Achterwürfel (ein Oktaeder) mit den Zahlen 1 bis 8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl?
8.
Warum können an einer Ecke eines platonischen Körpers nie 6 gleichseitige Dreiecke zusammenstoßen?
1. a)Der Körper hätte zu viele Kanten
2. b)Die Dreiecke wären zu klein
3. c)Der eulersche Polyedersatz erlaubt keine 6 Flächen
4. d)Ihre Winkel ergeben zusammen 360°, also liegen sie flach
9.
An jeder Ecke eines Dodekaeders stoßen 3 regelmäßige Fünfecke zusammen. Jeder Winkel eines regelmäßigen Fünfecks beträgt $108°$ . Wie groß ist die Winkelsumme an einer Ecke in Grad?
10.
Zeige, dass an einer Ecke eines Körpers höchstens 3 regelmäßige Fünfecke zusammenstoßen können.
11.
Welches Paar platonischer Körper ist dual zueinander (Ecken und Flächen tauschen)?
1. a)Oktaeder und Ikosaeder
2. b)Tetraeder und Würfel
3. c)Würfel und Oktaeder
4. d)Dodekaeder und Würfel
12.
Die Oberfläche eines Oktaeders ist $2\sqrt{3}\,a^2$ . Für die Kante $a = 5$ cm beträgt sie $k\sqrt{3}$ cm². Wie groß ist $k$ ?
13.
Berechne die Oberfläche eines Tetraeders mit der Kante $a = 6$ cm. Runde auf eine Nachkommastelle.
14.
Ein Ikosaeder hat 20 dreieckige Flächen, und an jeder Ecke stoßen 5 Flächen zusammen. Bestimme die Anzahl der Kanten und die Anzahl der Ecken.
15.
Klebe zwei regelmäßige Tetraeder an einer Fläche zusammen. Der neue Körper hat 6 gleiche gleichseitige Dreiecke als Flächen. Ist er ein platonischer Körper?
1. a)Ja, weil alle Flächen gleiche gleichseitige Dreiecke sind
2. b)Nein, weil Dreiecke keinen geschlossenen Körper bilden können
3. c)Ja, es ist das Oktaeder
4. d)Nein, weil an manchen Ecken 3 und an anderen 4 Flächen zusammenstoßen
16.
Setze in die Mitte jeder Fläche eines Ikosaeders einen Punkt und verbinde die Punkte benachbarter Flächen zum dualen Körper. Wie viele Ecken hat der duale Körper?
17.
Das Dodekaeder hat 20 Ecken, 30 Kanten und 12 Flächen. Bestimme die Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten seines dualen Körpers und prüfe den eulerschen Polyedersatz.
18.
Der Winkeldefekt an einer Ecke ist $360°$ minus die Winkelsumme dort. Bestimme den gesamten Winkeldefekt des Würfels und des Ikosaeders.