Platonische Körper

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welcher dieser Körper ist KEIN platonischer Körper?
1. a)Quadratische Pyramide
2. b)Ikosaeder
3. c)Würfel
4. d)Oktaeder
Lösung: Quadratische Pyramide
Eine quadratische Pyramide hat eine quadratische Fläche und vier dreieckige Flächen. Die Flächen sind nicht alle dasselbe Vieleck, also ist sie kein platonischer Körper.
2.
Wie viele Flächen hat ein Ikosaeder?
Lösung: 20
Ein Ikosaeder hat $20$ Flächen, alles gleichseitige Dreiecke, von denen an jeder Ecke 5 zusammenstoßen.
3.
Bestimme die Anzahl der Kanten eines Würfels, indem du die Seiten seiner Flächen zählst.
Lösung: 12
1. Wie viele Flächen hat ein Würfel? 6
2. Wie viele Seiten hat jede Fläche (ein Quadrat)? 4
3. Wie viele Flächenseiten sind das insgesamt? 24
4. Jede Kante gehört zu 2 Flächen. Wie viele Kanten gibt es? 12
4.
Welche Form haben die Flächen eines Dodekaeders?
1. a)Gleichseitige Dreiecke
2. b)Regelmäßige Fünfecke
3. c)Regelmäßige Sechsecke
4. d)Quadrate
Lösung: Regelmäßige Fünfecke
Ein Dodekaeder hat 12 regelmäßige Fünfecke, 3 an jeder Ecke. Sechsecke sind unmöglich, weil $3 \times 120° = 360°$ flach liegt.
5.
Ein Tetraeder hat 4 Flächen, jede ein gleichseitiges Dreieck. Wie viele Kanten hat es?
Lösung: 6
$4 \times 3 = 12$ Dreiecksseiten, und jede Kante gehört zu zwei Flächen: $12 \div 2 = 6$ Kanten.
6.
Wie viele Quadrate können höchstens an einer Ecke eines Körpers zusammenstoßen?
Lösung: 3
1. Wie viel Grad hat ein Winkel eines Quadrats? 90
2. Wie groß ist die Winkelsumme von 3 Quadraten an einer Ecke? 270
3. Wie groß ist die Winkelsumme von 4 Quadraten an einer Ecke? 360
4. Die Summe muss kleiner als 360° sein. Wie viele Quadrate sind es höchstens? 3
7.
Du wirfst einen fairen Achterwürfel (ein Oktaeder) mit den Zahlen 1 bis 8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl?
Lösung: 1/2
1. Wie viele Flächen (mögliche Ergebnisse) hat der Würfel? 8
2. Wie viele der Zahlen 1 bis 8 sind gerade? 4
3. Wie lautet die Wahrscheinlichkeit als gekürzter Bruch? 1/2
8.
Warum können an einer Ecke eines platonischen Körpers nie 6 gleichseitige Dreiecke zusammenstoßen?
1. a)Der Körper hätte zu viele Kanten
2. b)Die Dreiecke wären zu klein
3. c)Der eulersche Polyedersatz erlaubt keine 6 Flächen
4. d)Ihre Winkel ergeben zusammen 360°, also liegen sie flach
Lösung: Ihre Winkel ergeben zusammen 360°, also liegen sie flach
$6 \times 60° = 360°$ , eine volle Drehung. Die sechs Dreiecke füllen die Ebene um den Punkt (wie ein Sechseck), also gibt es keine Ecke, die herausragt.
9.
An jeder Ecke eines Dodekaeders stoßen 3 regelmäßige Fünfecke zusammen. Jeder Winkel eines regelmäßigen Fünfecks beträgt $108°$ . Wie groß ist die Winkelsumme an einer Ecke in Grad?
Lösung: 324
$3 \times 108° = 324°$ , das ist weniger als $360°$ , also bilden die Fünfecke eine echte Ecke. Mit 4 Fünfecken wären es $432°$ , zu viel.
10.
Zeige, dass an einer Ecke eines Körpers höchstens 3 regelmäßige Fünfecke zusammenstoßen können.
Lösung: 3
1. Wie groß ist die Innenwinkelsumme eines Fünfecks, $(5 - 2) \times 180$ ? 540
2. Wie viel Grad hat ein Winkel eines regelmäßigen Fünfecks? 108
3. Wie groß ist die Winkelsumme von 3 Fünfecken an einer Ecke? 324
4. Wie groß ist die Winkelsumme von 4 Fünfecken an einer Ecke? 432
5. Die Summe muss kleiner als 360° sein. Wie viele Fünfecke sind es höchstens? 3
11.
Welches Paar platonischer Körper ist dual zueinander (Ecken und Flächen tauschen)?
1. a)Oktaeder und Ikosaeder
2. b)Tetraeder und Würfel
3. c)Würfel und Oktaeder
4. d)Dodekaeder und Würfel
Lösung: Würfel und Oktaeder
Der Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten, 6 Flächen; das Oktaeder hat 6 Ecken, 12 Kanten, 8 Flächen. Ecken und Flächen tauschen, die Kanten bleiben gleich, also sind sie dual.
12.
Die Oberfläche eines Oktaeders ist $2\sqrt{3}\,a^2$ . Für die Kante $a = 5$ cm beträgt sie $k\sqrt{3}$ cm². Wie groß ist $k$ ?
Lösung: 50
$2\sqrt{3} \times 25 = 50\sqrt{3} \approx 86{,}6$ cm², also $k = 50$ . Probe: 8 Dreiecke mit je $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 25$ .
13.
Berechne die Oberfläche eines Tetraeders mit der Kante $a = 6$ cm. Runde auf eine Nachkommastelle.
Lösung: 62.4
1. Wie groß ist $a^2$ ? 36
2. Eine Fläche hat den Inhalt $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = k\sqrt{3}$ . Wie groß ist $k$ ? 9
3. Die 4 Flächen zusammen haben den Inhalt $m\sqrt{3}$ . Wie groß ist $m$ ? 36
4. Schreibe $36\sqrt{3}$ als Dezimalzahl, auf eine Nachkommastelle gerundet. 62.4
14.
Ein Ikosaeder hat 20 dreieckige Flächen, und an jeder Ecke stoßen 5 Flächen zusammen. Bestimme die Anzahl der Kanten und die Anzahl der Ecken.
Lösung: 30, 12
1. Wie viele Dreiecksseiten gibt es insgesamt? 60
2. Jede Kante gehört zu 2 Flächen. Wie viele Kanten? 30
3. Es gibt auch 60 Dreiecksecken, und jede Ecke des Körpers sammelt 5. Wie viele Ecken? 12
4. Probe: Ecken - Kanten + Flächen = ? 2
15.
Klebe zwei regelmäßige Tetraeder an einer Fläche zusammen. Der neue Körper hat 6 gleiche gleichseitige Dreiecke als Flächen. Ist er ein platonischer Körper?
1. a)Ja, weil alle Flächen gleiche gleichseitige Dreiecke sind
2. b)Nein, weil Dreiecke keinen geschlossenen Körper bilden können
3. c)Ja, es ist das Oktaeder
4. d)Nein, weil an manchen Ecken 3 und an anderen 4 Flächen zusammenstoßen
Lösung: Nein, weil an manchen Ecken 3 und an anderen 4 Flächen zusammenstoßen
Diese dreiseitige Doppelpyramide hat 5 Ecken: An den beiden Spitzen stoßen je 3 Flächen zusammen, an den drei mittleren Ecken je 4. Die zweite Bedingung ist verletzt, also ist sie nicht platonisch (das Oktaeder hat 8 Flächen, nicht 6).
16.
Setze in die Mitte jeder Fläche eines Ikosaeders einen Punkt und verbinde die Punkte benachbarter Flächen zum dualen Körper. Wie viele Ecken hat der duale Körper?
Lösung: 20
Das Ikosaeder hat 20 Flächen, also hat der duale Körper $20$ Ecken. Er hat außerdem 12 Flächen (eine pro Ikosaederecke) und 30 Kanten: Es ist das Dodekaeder.
17.
Das Dodekaeder hat 20 Ecken, 30 Kanten und 12 Flächen. Bestimme die Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten seines dualen Körpers und prüfe den eulerschen Polyedersatz.
Lösung: 20, 12, 30
1. Jede Ecke des Dodekaeders wird zu einer Fläche des dualen Körpers. Wie viele Flächen hat er? 20
2. Jede Fläche des Dodekaeders wird zu einer Ecke des dualen Körpers. Wie viele Ecken? 12
3. Wie viele Kanten hat der duale Körper? 30
4. Probe für den dualen Körper: Ecken - Kanten + Flächen = ? 2
18.
Der Winkeldefekt an einer Ecke ist $360°$ minus die Winkelsumme dort. Bestimme den gesamten Winkeldefekt des Würfels und des Ikosaeders.
Lösung: 720
1. An einer Würfelecke stoßen 3 Quadrate zusammen. Wie groß ist der Defekt, $360 - 3 \times 90$ ? 90
2. Der Würfel hat 8 Ecken. Wie groß ist der gesamte Defekt? 720
3. An einer Ikosaederecke stoßen 5 Dreiecke zusammen. Wie groß ist der Defekt, $360 - 5 \times 60$ ? 60
4. Das Ikosaeder hat 12 Ecken. Wie groß ist der gesamte Defekt? 720