AA-Ähnlichkeit

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Wofür steht AA in der AA-Ähnlichkeit?
1. a)Winkel-Winkel
2. b)Höhe-Höhe
3. c)Anliegend-Winkel
4. d)Fläche-Fläche
Lösung: Winkel-Winkel
AA steht für Winkel-Winkel. Wenn zwei Winkel eines Dreiecks zwei Winkeln eines anderen Dreiecks entsprechen, sind die Dreiecke ähnlich.
2.
Dreieck ABC hat und . Dreieck DEF hat und . Sind die Dreiecke ähnlich?
1. a)Nein, die Winkel sind verschieden
2. b)Ja, nach SSS-Ähnlichkeit
3. c)Kann nicht bestimmt werden
4. d)Ja, nach AA-Ähnlichkeit
Lösung: Ja, nach AA-Ähnlichkeit
Da und , haben die Dreiecke zwei Paare kongruenter Winkel. Nach AA-Ähnlichkeit gilt .
3.
In einem Dreieck ist ein Winkel und ein anderer . Wie groß ist der dritte Winkel?
Lösung: 50
Der dritte Winkel = . Deshalb funktioniert AA-Ähnlichkeit: Wenn zwei Winkel gleich sind, muss auch der dritte gleich sein!
4.
Warum brauchen wir nur zwei Paare kongruenter Winkel, um die Ähnlichkeit von Dreiecken zu beweisen?
1. a)Weil der dritte Winkel durch die -Summe bestimmt ist
2. b)Weil der dritte Winkel immer ist
3. c)Weil Dreiecke nur zwei Winkel haben
4. d)Weil Seiten keine Rolle spielen
Lösung: Weil der dritte Winkel durch die -Summe bestimmt ist
Da alle Dreieckswinkel zusammen ergeben, ist der dritte Winkel automatisch gleich, wenn zwei Winkel gleich sind: ergibt für beide Dreiecke das gleiche Ergebnis.
5.
Wenn und , wie groß ist ?
Lösung: 35
In der Ähnlichkeitsaussage entsprechen die ersten Buchstaben: A↔D, B↔E, C↔F. Also ist .
6.
Dreieck PQR hat und . Dreieck XYZ hat und . Sind die Dreiecke ähnlich?
Lösung: Yes
1. Finde im Dreieck PQR: 65
2. Finde im Dreieck XYZ: 67
3. Liste PQR-Winkel: . Liste XYZ-Winkel: . Stimmen alle drei Winkel überein? (ja/nein) ja
4. Sind die Dreiecke ähnlich? (ja/nein) ja
7.
Wenn die Gerade DE parallel zur Geraden BC im Dreieck ABC ist, welche Dreiecke sind ähnlich?
1. a)Keine Dreiecke sind ähnlich
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Wenn DE ∥ BC, ist Winkel A gemeinsam, und (Stufenwinkel bei parallelen Geraden). Nach AA-Ähnlichkeit gilt .
8.
Eine 2m große Person wirft einen 3m langen Schatten. Ein Baum wirft zur gleichen Zeit einen 15m langen Schatten. Wie hoch ist der Baum (in Metern) nach AA-Ähnlichkeit?
Lösung: 10
. Kreuzweise multiplizieren: , also , was Meter ergibt.
9.
Dreieck ABC hat und . Dreieck DEF hat und . Schreibe die korrekte Ähnlichkeitsaussage.
Lösung: ABC ~ DEF
1. Finde im Dreieck ABC: 55
2. Finde im Dreieck DEF: 90
3. Ordne die Winkel zu: . Welcher Winkel in DEF entspricht ? E
4. Also A↔D, B↔E, C↔F. Schreibe: ___ DEF
10.
Beweist AA-Ähnlichkeit, dass Dreiecke kongruent sind?
1. a)Ja, wenn alle drei Winkel übereinstimmen
2. b)Nur wenn es rechtwinklige Dreiecke sind
3. c)Ja, gleiche Winkel bedeutet gleiches Dreieck
4. d)Nein, nur Ähnlichkeit (gleiche Form, nicht gleiche Größe)
Lösung: Nein, nur Ähnlichkeit (gleiche Form, nicht gleiche Größe)
AA beweist Ähnlichkeit, nicht Kongruenz. Ähnliche Dreiecke haben die gleiche Form (Winkel), können aber unterschiedliche Größen haben. Um Kongruenz zu beweisen, braucht man auch Informationen über Seitenlängen.
11.
Im Dreieck ABC liegt Punkt D auf AB und Punkt E auf AC, sodass DE ∥ BC. Wenn und , finde und .
Lösung: 50, 65
1. Da DE ∥ BC, wie ist die Beziehung zwischen und ? gleich
2. Daher ist ° 50
3. Wie ist die Beziehung zwischen und ? gleich
4. Daher ist ° 65
12.
Zwei ähnliche Dreiecke haben Seiten im Verhältnis . Wenn das kleinere Dreieck einen Umfang von 24 cm hat, wie groß ist der Umfang des größeren Dreiecks (in cm)?
Lösung: 40
Wenn die Seiten im Verhältnis stehen, stehen auch die Umfänge im Verhältnis . Also . Kreuzweise multiplizieren: , was cm ergibt.
13.
Ein 6m hoher Laternenpfahl wirft einen 4m langen Schatten. Eine Person in der Nähe wirft zur gleichen Zeit einen 1,2m langen Schatten. Wie groß ist die Person (in Metern)?
Lösung: 1.8
1. Warum sind die Dreiecke, die von den Objekten und Schatten gebildet werden, ähnlich? gleicher Sonnenwinkel
2. Stelle die Proportion auf: . Schreibe: 1,2
3. Kürze auf den kleinsten Term 3/2
4. Löse: . Kreuzweise multiplizieren ergibt 1,8
14.
Wenn mit einem Maßstabsfaktor von , und die Fläche von 16 Quadrateinheiten beträgt, wie groß ist die Fläche von ?
1. a)32 Quadrateinheiten
2. b)24 Quadrateinheiten
3. c)48 Quadrateinheiten
4. d)36 Quadrateinheiten
Lösung: 36 Quadrateinheiten
Wenn die Seiten im Verhältnis stehen, stehen die Flächen im Verhältnis . Also , was Quadrateinheiten ergibt.
15.
Im Dreieck ABC ist . Punkt D liegt auf BC so, dass AD ⊥ BC. Wenn , finde (in Grad).
Lösung: 30
Im rechtwinkligen Dreieck ABC: . Im rechtwinkligen Dreieck ADC ist und , also .