Kongruente Dreiecke

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Zwei Dreiecke sind kongruent. Was kannst du schlussfolgern?
1. a)Sie haben die gleiche Form, aber unterschiedliche Größen
2. b)Sie haben die gleiche Form und Größe
3. c)Sie haben weder die gleiche Form noch Größe
4. d)Sie haben unterschiedliche Formen, aber die gleiche Größe
Lösung: Sie haben die gleiche Form und Größe
Kongruente Dreiecke haben die gleiche Form UND die gleiche Größe. Alle entsprechenden Seiten sind gleich, und alle entsprechenden Winkel sind gleich.
2.
Welches Kriterium verwendet drei Paare gleicher Seiten, um Kongruenz zu beweisen?
1. a)SWS
2. b)WSW
3. c)WWS
4. d)SSS
Lösung: SSS
SSS (Seite-Seite-Seite) verwendet drei Paare gleicher Seiten. Wenn alle drei Seiten eines Dreiecks den drei Seiten eines anderen entsprechen, sind die Dreiecke kongruent.
3.
Für SWS-Kongruenz, wo muss der Winkel liegen?
1. a)Gegenüber der längeren Seite
2. b)Außerhalb des Dreiecks
3. c)Zwischen den beiden Seiten
4. d)An einem beliebigen Eckpunkt
Lösung: Zwischen den beiden Seiten
Für SWS (Seite-Winkel-Seite) muss der Winkel der eingeschlossene Winkel sein - der Winkel, der zwischen den beiden gegebenen Seiten gebildet wird. Dies ist entscheidend, weil ein Winkel an anderer Stelle SSW ergibt, was keine Kongruenz beweist.
4.
Wenn und cm, wie lang ist in cm?
Lösung: 8
Da , sind die entsprechenden Seiten gleich. Seite entspricht Seite , also cm.
5.
In kongruenten Dreiecken ist . Wenn dem entspricht, wie groß ist in Grad?
Lösung: 65
In kongruenten Dreiecken sind entsprechende Winkel gleich. Da dem entspricht, haben wir .
6.
Welches ist KEIN gültiges Kriterium zum Beweisen von Dreieckskongruenz?
1. a)SSS (Seite-Seite-Seite)
2. b)WWW (Winkel-Winkel-Winkel)
3. c)SWS (Seite-Winkel-Seite)
4. d)WSW (Winkel-Seite-Winkel)
Lösung: WWW (Winkel-Winkel-Winkel)
WWW beweist nur, dass Dreiecke ähnlich sind (gleiche Form), nicht kongruent. Zwei Dreiecke können identische Winkel, aber unterschiedliche Größen haben - denke an ein kleines Dreieck und eine vergrößerte Kopie davon.
7.
Dreiecke haben: cm, cm, und . Kannst du beweisen, dass sie kongruent sind?
1. a)Ja, nach WSW
2. b)Ja, nach SWS
3. c)Ja, nach SSS
4. d)Nein, dies ist SSW, was keine Kongruenz beweist
Lösung: Nein, dies ist SSW, was keine Kongruenz beweist
Der Winkel C liegt am Eckpunkt C, der nicht zwischen den Seiten AB und BC liegt (Winkel B wäre zwischen ihnen). Dies ist SSW (Seite-Seite-Winkel), was aufgrund des mehrdeutigen Falls KEINE Kongruenz beweist.
8.
Zwei Dreiecke sind nach SSS kongruent. Die Seiten des ersten Dreiecks sind 6 cm, 8 cm und 10 cm. Wie groß ist der Umfang des zweiten Dreiecks in cm?
Lösung: 24
Da die Dreiecke kongruent sind, hat das zweite Dreieck die gleichen Seitenlängen: 6 cm, 8 cm und 10 cm. Umfang cm.
9.
Gegeben: cm, , . Welches Kriterium beweist ?
Lösung: ASA
1. Wie viele gleiche Seiten sind gegeben? 1
2. Wie viele gleiche Winkel sind gegeben? 2
3. Liegt die Seite AB zwischen den Winkeln A und B? ja
4. Welches Kriterium hat Winkel-Seite-Winkel? (Gib die Abkürzung ein) WSW
10.
Rechtwinklige Dreiecke ABC und DEF haben rechte Winkel bei B und E. Wenn cm und cm, beweise, dass sie kongruent sind.
Lösung: HL
1. Welche Art von Dreiecken sind ABC und DEF? rechtwinklige Dreiecke
2. Wie heißt in einem rechtwinkligen Dreieck die Seite gegenüber dem rechten Winkel? Hypotenuse
3. Welche Seiten sind die Hypotenusen? (AC oder AB für Dreieck ABC) AC
4. Was ist AB im Dreieck ABC? Kathete
5. Welches Kriterium verwendet Hypotenuse und Kathete für rechtwinklige Dreiecke? HL
11.
Im ist und . Wenn , wie groß ist in Grad?
Lösung: 50
Zuerst . Da , sind entsprechende Winkel gleich: .
12.
Warum ist HL (Hypotenuse-Kathete) ein gültiges Kriterium, aber SSW (Seite-Seite-Winkel) nicht?
1. a)HL erfordert einen 90-Grad-Winkel, der den mehrdeutigen Fall eliminiert
2. b)SSW kann nur für spitzwinklige Dreiecke verwendet werden
3. c)HL verwendet mehr Informationen als SSW
4. d)HL wurde erfunden, nachdem SSW widerlegt wurde
Lösung: HL erfordert einen 90-Grad-Winkel, der den mehrdeutigen Fall eliminiert
SSW scheitert, weil dieselben zwei Seiten und der nicht eingeschlossene Winkel zwei verschiedene Dreiecke bilden können. HL enthält jedoch einen 90-Grad-Winkel, der diese Mehrdeutigkeit beseitigt - der Satz des Pythagoras garantiert nur ein mögliches Dreieck.
13.
Im Viereck ABCD teilt die Diagonale AC es in die Dreiecke ABC und ACD. Wenn , , und gemeinsam ist, beweise .
Lösung: SSS
1. Im Dreieck ABC, liste die drei Seiten auf AB, BC, AC
2. Im Dreieck CDA, liste die drei Seiten auf CD, DA, AC
3. Welche Seite von ABC entspricht welcher Seite von CDA? (AB entspricht...) CD
4. Welche Seite von ABC entspricht welcher Seite von CDA? (BC entspricht...) DA
5. Was ist mit AC in beiden Dreiecken? gemeinsam
6. Alle drei Seitenpaare sind gleich. Welches Kriterium ist das? SSS
14.
Zwei kongruente Dreiecke haben jeweils eine Fläche von 24 cm. Wenn ein Dreieck eine Basis von 8 cm hat, wie hoch ist das andere Dreieck zu einer entsprechenden Basis in cm?
Lösung: 6
Fläche . Also , was cm ergibt. Da die Dreiecke kongruent sind, sind entsprechende Höhen gleich, also hat das andere Dreieck auch eine Höhe von 6 cm.
15.
Gegeben: , , cm. Beweise und finde das Kriterium.
Lösung: ASA
1. Wie viele Paare gleicher Winkel haben wir? 2
2. Liegt die Seite PQ zwischen den Winkeln P und Q? ja
3. Liegt die Seite ST zwischen den Winkeln S und T? ja
4. Wir haben zwei Winkel und die eingeschlossene Seite. Welches Kriterium ist das? WSW