Kongruente Dreiecke

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Zwei Dreiecke sind kongruent. Was kannst du schlussfolgern?
1. a)Sie haben unterschiedliche Formen, aber die gleiche Größe
2. b)Sie haben die gleiche Form, aber unterschiedliche Größen
3. c)Sie haben weder die gleiche Form noch Größe
4. d)Sie haben die gleiche Form und Größe
Lösung: Sie haben die gleiche Form und Größe
Kongruente Dreiecke haben die gleiche Form UND die gleiche Größe. Alle entsprechenden Seiten sind gleich, und alle entsprechenden Winkel sind gleich.
2.
Welches Kriterium verwendet drei Paare gleicher Seiten, um Kongruenz zu beweisen?
1. a)WSW
2. b)WWS
3. c)SSS
4. d)SWS
Lösung: SSS
SSS (Seite-Seite-Seite) verwendet drei Paare gleicher Seiten. Wenn alle drei Seiten eines Dreiecks den drei Seiten eines anderen entsprechen, sind die Dreiecke kongruent.
3.
Für SWS-Kongruenz, wo muss der Winkel liegen?
1. a)Zwischen den beiden Seiten
2. b)Außerhalb des Dreiecks
3. c)Gegenüber der längeren Seite
4. d)An einem beliebigen Eckpunkt
Lösung: Zwischen den beiden Seiten
Für SWS (Seite-Winkel-Seite) muss der Winkel der eingeschlossene Winkel sein - der Winkel, der zwischen den beiden gegebenen Seiten gebildet wird. Dies ist entscheidend, weil ein Winkel an anderer Stelle SSW ergibt, was keine Kongruenz beweist.
4.
Wenn $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ und $AB = 8$ cm, wie lang ist $DE$ in cm?
Lösung: 8
Da $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ , sind die entsprechenden Seiten gleich. Seite $AB$ entspricht Seite $DE$ , also $DE = AB = 8$ cm.
5.
In kongruenten Dreiecken ist $\angle A = 65°$ . Wenn $\angle A$ dem $\angle D$ entspricht, wie groß ist $\angle D$ in Grad?
Lösung: 65
In kongruenten Dreiecken sind entsprechende Winkel gleich. Da $\angle A$ dem $\angle D$ entspricht, haben wir $\angle D = \angle A = 65°$ .
6.
Welches ist KEIN gültiges Kriterium zum Beweisen von Dreieckskongruenz?
1. a)SSS (Seite-Seite-Seite)
2. b)WWW (Winkel-Winkel-Winkel)
3. c)SWS (Seite-Winkel-Seite)
4. d)WSW (Winkel-Seite-Winkel)
Lösung: WWW (Winkel-Winkel-Winkel)
WWW beweist nur, dass Dreiecke ähnlich sind (gleiche Form), nicht kongruent. Zwei Dreiecke können identische Winkel, aber unterschiedliche Größen haben - denke an ein kleines Dreieck und eine vergrößerte Kopie davon.
7.
Dreiecke haben: $AB = XY = 5$ cm, $BC = YZ = 7$ cm, und $\angle C = \angle Z = 40°$ . Kannst du beweisen, dass sie kongruent sind?
1. a)Ja, nach WSW
2. b)Nein, dies ist SSW, was keine Kongruenz beweist
3. c)Ja, nach SWS
4. d)Ja, nach SSS
Lösung: Nein, dies ist SSW, was keine Kongruenz beweist
Der Winkel C liegt am Eckpunkt C, der nicht zwischen den Seiten AB und BC liegt (Winkel B wäre zwischen ihnen). Dies ist SSW (Seite-Seite-Winkel), was aufgrund des mehrdeutigen Falls KEINE Kongruenz beweist.
8.
Zwei Dreiecke sind nach SSS kongruent. Die Seiten des ersten Dreiecks sind 6 cm, 8 cm und 10 cm. Wie groß ist der Umfang des zweiten Dreiecks in cm?
Lösung: 24
Da die Dreiecke kongruent sind, hat das zweite Dreieck die gleichen Seitenlängen: 6 cm, 8 cm und 10 cm. Umfang $= 6 + 8 + 10 = 24$ cm.
9.
Gegeben: $AB = DE = 7$ cm, $\angle A = \angle D = 50°$ , $\angle B = \angle E = 60°$ . Welches Kriterium beweist $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ ?
Lösung: WSW
1. Wie viele gleiche Seiten sind gegeben? 1
2. Wie viele gleiche Winkel sind gegeben? 2
3. Liegt die Seite AB zwischen den Winkeln A und B? ja
4. Welches Kriterium hat Winkel-Seite-Winkel? WSW
10.
Rechtwinklige Dreiecke ABC und DEF haben rechte Winkel bei B und E. Wenn $AC = DF = 13$ cm und $AB = DE = 5$ cm, beweise, dass sie kongruent sind.
Lösung: SsW
1. Welche Art von Dreiecken sind ABC und DEF? rechtwinklige Dreiecke
2. Wie heißt in einem rechtwinkligen Dreieck die Seite gegenüber dem rechten Winkel? Hypotenuse
3. Welche Seite ist die Hypotenuse von Dreieck ABC? AC
4. Was ist AB im Dreieck ABC? Kathete
5. Welcher Kongruenzsatz passt zu Hypotenuse, Kathete und rechtem Winkel? SsW
11.
Im $\triangle ABC$ ist $\angle A = 55°$ und $\angle B = 75°$ . Wenn $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ , wie groß ist $\angle F$ in Grad?
Lösung: 50
Zuerst $\angle C = 180° - 55° - 75° = 50°$ . Da $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ , sind entsprechende Winkel gleich: $\angle F = \angle C = 50°$ .
12.
Warum beweisen Hypotenuse und Kathete im rechtwinkligen Dreieck (SsW) die Kongruenz, zwei Seiten und ein beliebiger nicht eingeschlossener Winkel (SSW) aber nicht?
1. a)SsW verwendet mehr Informationen als SSW
2. b)SSW kann nur für spitzwinklige Dreiecke verwendet werden
3. c)Der rechte Winkel liegt der längsten Seite gegenüber, das schließt den mehrdeutigen Fall aus
4. d)SsW wurde erfunden, nachdem SSW widerlegt wurde
Lösung: Der rechte Winkel liegt der längsten Seite gegenüber, das schließt den mehrdeutigen Fall aus
SSW scheitert, weil dieselben zwei Seiten und der nicht eingeschlossene Winkel zwei verschiedene Dreiecke bilden können. Bei Hypotenuse und Kathete liegt der rechte Winkel jedoch der längsten Seite gegenüber, das beseitigt diese Mehrdeutigkeit - der Satz des Pythagoras garantiert nur ein mögliches Dreieck.
13.
Im Viereck ABCD teilt die Diagonale AC es in die Dreiecke ABC und ACD. Wenn $AB = CD$ , $BC = DA$ , und $AC$ gemeinsam ist, beweise $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ .
Lösung: SSS
1. Im Dreieck ABC, liste die drei Seiten auf AB, BC, AC
2. Im Dreieck CDA, liste die drei Seiten auf CD, DA, AC
3. Welche Seite von ABC entspricht welcher Seite von CDA? (AB entspricht...) CD
4. Welche Seite von ABC entspricht welcher Seite von CDA? (BC entspricht...) DA
5. Was ist mit AC in beiden Dreiecken? gemeinsam
6. Alle drei Seitenpaare sind gleich. Welches Kriterium ist das? SSS
14.
Zwei kongruente Dreiecke haben jeweils eine Fläche von 24 cm $^2$ . Wenn ein Dreieck eine Basis von 8 cm hat, wie hoch ist das andere Dreieck zu einer entsprechenden Basis in cm?
Lösung: 6
Fläche $= \frac{1}{2} \times \text{Basis} \times \text{Höhe}$ . Also $24 = \frac{1}{2} \times 8 \times h$ , was $h = 6$ cm ergibt. Da die Dreiecke kongruent sind, sind entsprechende Höhen gleich, also hat das andere Dreieck auch eine Höhe von 6 cm.
15.
Gegeben: $\angle P = \angle S = 40°$ , $\angle Q = \angle T = 75°$ , $QR = TU = 6$ cm. Beweise $\triangle PQR \cong \triangle STU$ und finde den Kongruenzsatz.
Lösung: WWS
1. Wie viele Paare gleicher Winkel haben wir? 2
2. Liegt die Seite QR zwischen den Winkeln P und Q? nein
3. Liegt die Seite TU zwischen den Winkeln S und T? nein
4. Zwei Winkel und eine Seite, die nicht zwischen ihnen liegt. Welcher Kongruenzsatz ist das? WWS