Einführung in die Kongruenz

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was bedeutet es, wenn zwei Formen kongruent sind?
1. a)Sie haben die gleiche Anzahl von Seiten
2. b)Sie haben die gleiche Größe und Form
3. c)Sie haben die gleiche Farbe
4. d)Sie haben nur die gleichen Winkel
Lösung: Sie haben die gleiche Größe und Form
Kongruente Formen haben genau die gleiche Größe und Form. Eine kann perfekt auf die andere gelegt werden.
2.
Welches Symbol wird verwendet, um zu zeigen, dass zwei Figuren kongruent sind?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Das Kongruenzsymbol ist . Wir schreiben , um zu zeigen, dass die Dreiecke kongruent sind. Das Symbol bedeutet ähnlich, und ist für Zahlen.
3.
Dreieck ABC hat die Seiten 4 cm, 6 cm und 8 cm. Dreieck DEF ist kongruent zu ABC. Wie lang ist die längste Seite von Dreieck DEF (in cm)?
Lösung: 8
Da die Dreiecke kongruent sind, haben sie die gleichen Seitenlängen. Die längste Seite von ABC ist 8 cm, also ist die längste Seite von DEF auch 8 cm.
4.
Zwei Dreiecke haben die gleichen drei Winkel. Sind sie definitiv kongruent?
1. a)Nur wenn ein Winkel 90 Grad ist
2. b)Ja, gleiche Winkel bedeutet kongruent
3. c)Nein, sie könnten verschiedene Größen haben
4. d)Nur wenn sie 3 Seiten haben
Lösung: Nein, sie könnten verschiedene Größen haben
Gleiche Winkel bedeutet, dass die Dreiecke ähnlich sind (gleiche Form), aber sie könnten verschiedene Größen haben. Ein kleines und ein großes Dreieck können die gleichen Winkel haben. Für Kongruenz müssen auch die Seitenlängen übereinstimmen.
5.
Rechteck ABCD ist kongruent zu Rechteck EFGH. Wenn Rechteck ABCD einen Umfang von 24 cm hat, wie groß ist der Umfang von Rechteck EFGH (in cm)?
Lösung: 24
Kongruente Figuren haben genau die gleiche Größe und Form, was bedeutet, dass sie den gleichen Umfang haben. Wenn ABCD einen Umfang von 24 cm hat, dann hat EFGH auch einen Umfang von 24 cm.
6.
Eine Form wird um 90 Grad gedreht. Ist die gedrehte Form kongruent zum Original?
1. a)Nein, die Orientierung hat sich geändert
2. b)Nur für Quadrate
3. c)Nur wenn es um 180 Grad gedreht wird
4. d)Ja, Drehung erhält die Kongruenz
Lösung: Ja, Drehung erhält die Kongruenz
Drehung ist eine Kongruenzabbildung, die Größe und Form erhält. Nur Position und Orientierung ändern sich, nicht die Maße. Daher ist eine gedrehte Form immer kongruent zum Original.
7.
Dreieck ABC hat die Winkel , und . Dreieck DEF hat die gleichen Winkel. Sind sie kongruent? Erkläre.
Lösung: no
1. Haben die Dreiecke die gleichen Winkel? ja
2. Was sagen uns gleiche Winkel über die Form? gleiche Form
3. Können Dreiecke mit gleichen Winkeln verschiedene Größen haben? ja
4. Sind sie also definitiv kongruent? nein
8.
. Wenn Winkel A = und Winkel B = , wie groß ist Winkel F (in Grad)?
Lösung: 50
Winkel C = . In kongruenten Dreiecken sind entsprechende Winkel gleich. A entspricht D, B entspricht E, und C entspricht F. Also ist Winkel F = Winkel C = .
9.
Welche Transformation erhält die Kongruenz NICHT?
1. a)Spiegelung
2. b)Verschiebung
3. c)Streckung (Skalierung)
4. d)Drehung
Lösung: Streckung (Skalierung)
Streckung (Skalierung) verändert die Größe einer Figur, also erhält sie die Kongruenz NICHT. Drehung, Spiegelung und Verschiebung sind Kongruenzabbildungen, die Größe und Form erhalten.
10.
Viereck ABCD hat die Seiten 3 cm, 5 cm, 3 cm, 5 cm. Viereck EFGH hat die Seiten 3 cm, 5 cm, 3 cm, 5 cm. Sind sie kongruent?
Lösung: not necessarily
1. Haben beide Vierecke die gleichen Seitenlängen? ja
2. Kann ein Viereck mit diesen Seiten ein Rechteck sein? ja
3. Kann ein Viereck mit diesen Seiten ein Parallelogramm sein, das kein Rechteck ist? ja
4. Wenn eines ein Rechteck ist und eines ein gekipptes Parallelogramm, sind sie kongruent? nein
11.
. Wenn Seite AB = 12 cm, wie lang ist Seite XY (in cm)?
Lösung: 12
In der Schreibweise zeigt die Reihenfolge der Buchstaben, welche Teile einander entsprechen. A entspricht X, B entspricht Y, C entspricht Z. Also entspricht Seite AB der Seite XY, und XY = 12 cm.
12.
Dreieck ABC hat die Seiten 5 cm, 12 cm und 13 cm. Dreieck DEF hat die Seiten 5 cm, 12 cm und 13 cm. Sind die Dreiecke kongruent? Erkläre warum.
Lösung: yes
1. Liste die drei Seiten von Dreieck ABC auf 5, 12, 13
2. Liste die drei Seiten von Dreieck DEF auf 5, 12, 13
3. Stimmen alle drei entsprechenden Seiten überein? ja
4. Reicht es bei Dreiecken, wenn alle drei Seiten gleich sind, für Kongruenz? ja
13.
Eine Form wird gespiegelt, dann um 180 Grad gedreht. Ist die endgültige Form kongruent zum Original?
1. a)Nur wenn die Form symmetrisch ist
2. b)Nein, zwei Transformationen heben sich auf
3. c)Ja, beides sind Kongruenzabbildungen
4. d)Nein, Spiegelungen verändern die Kongruenz
Lösung: Ja, beides sind Kongruenzabbildungen
Ja! Sowohl Spiegelung als auch Drehung sind Kongruenzabbildungen, die Größe und Form erhalten. Jede Folge von Kongruenzabbildungen ergibt eine kongruente Figur. Die endgültige Form ist kongruent zum Original.
14.
. Die Fläche von ist 24 Quadratzentimeter. Wie groß ist die Fläche von (in Quadratzentimetern)?
Lösung: 24
Kongruente Dreiecke haben genau die gleiche Größe und Form, was bedeutet, dass sie die gleiche Fläche haben. Da eine Fläche von 24 Quadratzentimetern hat, hat auch eine Fläche von 24 Quadratzentimetern.
15.
Quadrat ABCD hat eine Seitenlänge von 5 cm. Rechteck EFGH hat eine Länge von 5 cm und eine Breite von 5 cm. Sind sie kongruent?
Lösung: yes
1. Was sind die vier Seiten von Quadrat ABCD? 5, 5, 5, 5
2. Was sind die vier Seiten von Rechteck EFGH? 5, 5, 5, 5
3. Welche Winkel haben beide Formen? 90
4. Sind alle Seiten und alle Winkel in beiden Formen gleich? ja
16.
Zwei Kreise haben den gleichen Radius von 4 cm. Sind sie kongruent?
1. a)Nur wenn sie an der gleichen Position sind
2. b)Nur wenn sie den gleichen Mittelpunkt haben
3. c)Ja, gleicher Radius bedeutet gleiche Größe und Form
4. d)Nein, Kreise können nicht kongruent sein
Lösung: Ja, gleicher Radius bedeutet gleiche Größe und Form
Ja, die Kreise sind kongruent! Größe und Form eines Kreises sind vollständig durch seinen Radius bestimmt. Zwei Kreise mit dem gleichen Radius haben genau die gleiche Größe (Fläche und Umfang) und die gleiche Form. Position beeinflusst die Kongruenz nicht.
17.
Das gleichseitige Dreieck ABC ist kongruent zum gleichseitigen Dreieck DEF. Wenn der Umfang von ABC 27 cm beträgt, wie lang ist eine Seite von DEF (in cm)?
Lösung: 9
Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleiche Seiten. Wenn der Umfang 27 cm beträgt, ist jede Seite = cm. Da die Dreiecke kongruent sind, hat DEF auch eine Seitenlänge von 9 cm.