Einführung in die Ähnlichkeit

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie haben:
1. a)Verschiedene Formen und verschiedene Größen
2. b)Sowohl die gleiche Form als auch die gleiche Größe
3. c)Die gleiche Form, aber nicht unbedingt die gleiche Größe
4. d)Die gleiche Größe, aber nicht unbedingt die gleiche Form
Lösung: Die gleiche Form, aber nicht unbedingt die gleiche Größe
Ähnliche Figuren haben die gleiche Form, können aber unterschiedlich groß sein. Dies ist der Hauptunterschied zu kongruenten Figuren, die exakt die gleiche Form UND Größe haben müssen.
2.
Welches Symbol wird verwendet, um zu zeigen, dass zwei Figuren ähnlich sind?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Das Symbol wird für Ähnlichkeit verwendet. Das Symbol wird für Kongruenz verwendet, für Gleichheit und für Annäherung.
3.
Wenn der Skalierungsfaktor von Figur A zu Figur B ist und eine Seite von Figur A cm beträgt, wie lang ist die entsprechende Seite von Figur B (in cm)?
Lösung: 12
Um die entsprechende Seite in der größeren Figur zu finden, multipliziere mit dem Skalierungsfaktor: cm.
4.
Sind alle Quadrate zueinander ähnlich?
1. a)Nur wenn sie gleich gedreht sind
2. b)Nein, weil Quadrate unterschiedlich groß sein können
3. c)Ja, weil alle Quadrate die gleichen Winkel und proportionale Seiten haben
4. d)Nur wenn sie die gleiche Größe haben
Lösung: Ja, weil alle Quadrate die gleichen Winkel und proportionale Seiten haben
Ja! Alle Quadrate haben vier -Winkel und vier gleiche Seiten. Die Seiten sind immer proportional, weil das Multiplizieren jeder Seite mit demselben Skalierungsfaktor ein weiteres Quadrat ergibt.
5.
Dreieck Dreieck . Wenn cm und cm, wie groß ist der Skalierungsfaktor von zu ? (Als Dezimalzahl eingeben)
Lösung: 1.5
Der Skalierungsfaktor von zu ist . Das bedeutet, dass Dreieck 1,5-mal größer ist als Dreieck .
6.
Zwei Rechtecke haben Seiten von cm mal cm und cm mal cm. Sind sie ähnlich?
1. a)Nein, weil die Verhältnisse nicht gleich sind ()
2. b)Ja, weil beide rechte Winkel haben
3. c)Nein, weil sie unterschiedlich groß sind
4. d)Ja, weil beide Rechtecke sind
Lösung: Nein, weil die Verhältnisse nicht gleich sind ()
Für ähnliche Rechtecke müssen alle entsprechenden Seitenverhältnisse gleich sein. Hier ist , aber . Da , sind die Rechtecke NICHT ähnlich.
7.
Dreieck Dreieck . In : cm, cm, cm. In : cm. Finde und .
Lösung: YZ = 14 cm, XZ = 16 cm
1. Welche Seiten entsprechen einander? entspricht . Was ist der Skalierungsfaktor? 2
2. entspricht . Mit Skalierungsfaktor 2, wie groß ist ? 14
3. entspricht . Mit Skalierungsfaktor 2, wie groß ist ? 16
8.
Auf einer Karte mit dem Maßstab 1:50000 liegen zwei Städte 6 cm auseinander. Wie groß ist die tatsächliche Entfernung zwischen ihnen in Kilometern?
Lösung: 3
Entfernung = cm = km.
9.
Ein Architekt erstellt ein Modell eines Gebäudes im Maßstab 1:100. Das Modell ist 45 cm hoch und 30 cm breit. Finde die tatsächliche Höhe und Breite des Gebäudes in Metern.
Lösung: Height = 45 m, Width = 30 m
1. Was bedeutet Maßstab 1:100? 1 cm = 100 cm
2. Das Modell ist 45 cm hoch. Wie hoch ist die reale Höhe in cm? 4500
3. Wandle 4500 cm in Meter um. 45
4. Das Modell ist 30 cm breit. Wie breit ist die reale Breite in Metern? 30
10.
In ähnlichen Dreiecken und ist cm, cm und cm. Finde (in cm).
Lösung: 10
Mit der Proportion : . Kreuzweise multiplizieren: . Also cm.
11.
Dreieck hat Winkel von , und . Dreieck hat Winkel von , und einem unbekannten Winkel. Sind sie ähnlich? Finde den unbekannten Winkel.
Lösung: 60°, Yes they are similar
1. Was ist die Summe der Winkel in jedem Dreieck? 180
2. In kennen wir und . Wie groß ist der dritte Winkel? 60
3. Vergleiche alle drei Winkel beider Dreiecke. Sind sie gleich? ja
4. Wenn alle Winkel übereinstimmen, sind die Dreiecke ähnlich? ja
12.
Wenn der Skalierungsfaktor von Dreieck A zu Dreieck B ist, was können wir schlussfolgern?
1. a)Dreieck B ist kleiner als Dreieck A
2. b)Die Dreiecke sind nicht ähnlich
3. c)Die Dreiecke sind kongruent
4. d)Dreieck B ist größer als Dreieck A
Lösung: Dreieck B ist kleiner als Dreieck A
Wenn der Skalierungsfaktor (kleiner als 1) ist, bedeutet das, dass die Seiten von Dreieck B der Länge der Seiten von Dreieck A sind. Daher ist Dreieck B kleiner.
13.
Ein Fahnenmast wirft einen Schatten von 12 Metern. Zur gleichen Zeit wirft ein 2-Meter-Stock einen Schatten von 3 Metern. Wie hoch ist der Fahnenmast?
Lösung: 8 meters
1. Der Fahnenmast und sein Schatten bilden ein ähnliches Dreieck wie der Stock und sein Schatten. Stelle die Proportion auf: Höhe/12 = 2/3
2. Multipliziere kreuzweise: 3h = 24
3. Löse nach auf 8
14.
Wenn mit einem Skalierungsfaktor von , und Seite cm, wie lang ist Seite (in cm)?
Lösung: 12
Mit einem Skalierungsfaktor von ist jede Seite von 4-mal so lang wie die entsprechende Seite von . Also cm.
15.
Welche der folgenden Formenpaare sind IMMER zueinander ähnlich?
1. a)Zwei Kreise
2. b)Zwei Rechtecke
3. c)Zwei Dreiecke
4. d)Zwei Parallelogramme
Lösung: Zwei Kreise
Alle Kreise sind ähnlich, weil sie keine Winkel haben und ihre 'Seiten' (Umfang) alle proportional zu ihrem Durchmesser sind. Rechtecke, Dreiecke und Parallelogramme können unterschiedliche Proportionen haben, daher sind sie nicht immer ähnlich.