SWS Schritt für Schritt prüfen

Im $\triangle ABC$: $AB = 6$ cm, $\angle B = 50°$, $BC = 8$ cm. Im $\triangle DEF$: $DE = 6$ cm, $\angle E = 50°$, $EF = 8$ cm. Sind die Dreiecke kongruent? Wie lang ist $DF$, wenn $AC \approx 6{,}2$ cm ist?

Notiere die übereinstimmenden Teile: $AB = DE = 6$ cm, $BC = EF = 8$ cm, $\angle B = \angle E = 50°$ = Zwei Seitenpaare und ein Winkelpaar

Prüfe, ob der Winkel eingeschlossen ist: Die Seiten $AB$ und $BC$ treffen sich in $B$; die Seiten $DE$ und $EF$ treffen sich in $E$ = $\angle B$ und $\angle E$ sind die eingeschlossenen Winkel

Wende SWS an: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein = $\triangle ABC \cong \triangle DEF$

Nutze die entsprechenden Teile: $AC$ entspricht $DF$ (erster und dritter Buchstabe) = $DF = AC \approx 6{,}2$ cm

Answer: Ja, $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ nach SWS, also ist $DF \approx 6{,}2$ cm.

Ist der Winkel wirklich eingeschlossen?

Im $\triangle PQR$: $PQ = 5$, $QR = 7$, $\angle R = 40°$. Im $\triangle XYZ$: $XY = 5$, $YZ = 7$, $\angle Z = 40°$. Kannst du SWS verwenden?

Finde den gemeinsamen Punkt der beiden Seiten: $PQ$ und $QR$ haben den Punkt $Q$ gemeinsam = Der eingeschlossene Winkel wäre $\angle Q$

Vergleiche mit dem gegebenen Winkel: Gegeben ist $\angle R$, und der liegt nicht zwischen $PQ$ und $QR$ = Der Winkel ist nicht eingeschlossen

Benenne das Muster: Seite, Seite und dann ein Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt = Das ist SSW

Ziehe den Schluss: SSW ist im Allgemeinen kein Kongruenzsatz = Keine Aussage möglich

Answer: Nein. Der gegebene Winkel liegt nicht zwischen den beiden Seiten (SSW), also gilt SWS nicht, und die Dreiecke sind möglicherweise nicht kongruent.

Versteckter Winkel: Scheitelwinkel

Die Strecken $AE$ und $BD$ schneiden sich in $C$. $C$ ist der Mittelpunkt beider Strecken: $AC = CE = 4$ cm und $BC = CD = 5$ cm. Wie lang ist $DE$, wenn $AB = 7$ cm ist?

Nutze die Mittelpunkte: $AC = CE = 4$ cm und $BC = CD = 5$ cm = Zwei Paare gleicher Seiten

Finde den versteckten Winkel: $\angle ACB$ und $\angle ECD$ sind Scheitelwinkel = $\angle ACB = \angle ECD$

Prüfe, ob er eingeschlossen ist: $\angle ACB$ liegt zwischen $AC$ und $BC$; $\angle ECD$ liegt zwischen $EC$ und $DC$ = $\triangle ACB \cong \triangle ECD$ nach SWS

Nutze die entsprechenden Teile: $AB$ entspricht $ED$ = $DE = AB = 7$ cm

Answer: $DE = 7$ cm, weil $\triangle ACB \cong \triangle ECD$ nach SWS gilt.

Versteckte Seite: eine gemeinsame Seite

Im Viereck $ABCD$ gilt $AB = CB$, und die Diagonale $BD$ halbiert $\angle ABC$, also $\angle ABD = \angle CBD = 35°$. Es ist $\angle BAD = 80°$. Bestimme $\angle BCD$ und $\angle ADB$.

Schreibe die gegebenen Teile auf: $AB = CB$ und $\angle ABD = \angle CBD$ = Ein Seitenpaar, ein Winkelpaar

Finde die versteckte Seite: Beide Dreiecke enthalten $BD$, und $BD = BD$ = Gemeinsame Seite

Wende SWS an: Der Winkel bei $B$ liegt zwischen $AB$ und $BD$ (und zwischen $CB$ und $BD$) = $\triangle ABD \cong \triangle CBD$

Nutze entsprechende Teile und die Winkelsumme: $\angle BCD = \angle BAD = 80°$; $\angle ADB = 180° - 35° - 80°$ = $\angle BCD = 80°$, $\angle ADB = 65°$

Answer: $\angle BCD = 80°$ und $\angle ADB = 65°$.

Warum SSW scheitert: zwei Dreiecke aus denselben Angaben

Zeichne ein Dreieck mit $\angle A = 30°$, $AB = 10$ und $BC = 6$. Wie viele verschiedene Dreiecke passen zu dieser Beschreibung?

Bestimme die Höhe von $B$ über der Geraden $AC$: Im rechtwinkligen Dreieck ist die Seite gegenüber einem $30°$-Winkel halb so lang wie die Hypotenuse: $h = 10 : 2$ = $h = 5$

Vergleiche $BC$ mit der Höhe: $5 < 6 < 10$: Die Seite $BC$ ist länger als die Höhe, aber kürzer als $AB$ = $BC$ trifft die Gerade $AC$ in zwei Punkten

Bestimme den Abstand jedes Punktes vom Höhenfußpunkt: $\sqrt{6^2 - 5^2} = \sqrt{11} \approx 3{,}32$ = Je ein Punkt auf jeder Seite des Fußpunkts

Bestimme beide möglichen Längen von $AC$: Der Fußpunkt liegt $\approx 8{,}66$ von $A$ entfernt: $8{,}66 - 3{,}32$ und $8{,}66 + 3{,}32$ = $AC \approx 5{,}34$ oder $AC \approx 11{,}98$

Answer: Zwei verschiedene Dreiecke, mit $AC \approx 5{,}34$ oder $AC \approx 11{,}98$. Dieselben Angaben Seite, Seite, Winkel ergeben zwei Formen, also kann SSW hier keine Kongruenz beweisen.

Mistake: SWS verwenden, obwohl der Winkel nicht zwischen den beiden Seiten liegt

Why: Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel (SSW) können zwei verschiedene Dreiecke beschreiben, wie das Beispiel mit $30°$, $10$ und $6$ zeigt.

Correct: Suche den Punkt, den beide Seiten gemeinsam haben. Nur der Winkel an diesem Scheitel darf für SWS verwendet werden.

Mistake: Die Ecken in falscher Reihenfolge zuordnen

Why: Wer $\triangle ABC \cong \triangle FED$ schreibt, obwohl $B$ zu $E$ und $A$ zu $D$ gehört, ordnet falsche Teile einander zu und zieht falsche Schlüsse.

Correct: Schreibe die Ecken in passender Reihenfolge. Gilt $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$, dann schreibe $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

Mistake: Denken, es fehlen Angaben, weil ein Teil nicht in der Aufgabe steht

Why: Scheitelwinkel und gemeinsame Seiten sind gleich, auch wenn es niemand hinschreibt. Wer sie übersieht, gibt einen Beweis auf, der eigentlich funktioniert.

Correct: Suche vor der Entscheidung nach sich kreuzenden Strecken (Scheitelwinkel) und nach einer Seite, die zu beiden Dreiecken gehört (gemeinsame Seite).

Mistake: Entsprechende Teile gleichsetzen, bevor die Kongruenz bewiesen ist

Why: Entsprechende Teile sind nur gleich, weil die Dreiecke kongruent sind. Ohne diesen Nachweis setzt du voraus, was du beweisen willst.

Correct: Beweise zuerst $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ (zum Beispiel mit SWS) und folgere dann die übrigen gleichen Teile.

Klappgestelle

Böcke, Leitern und Staffeleien bestehen aus zwei Beinen, die durch ein Scharnier verbunden sind. Die Beinlängen und der Öffnungswinkel bestimmen die ganze Form.

Zwei Staffeleien haben jeweils Beine von 150 cm, die am Scharnier um $25°$ geöffnet sind. Nach SWS sind die entstehenden Dreiecke kongruent, also stehen ihre Füße gleich weit auseinander.

Über einen Teich messen

Landvermesser nutzen SWS, um eine Strecke zu bestimmen, die sie nicht abgehen können: Sie bauen eine kongruente Kopie des Dreiecks auf trockenem Boden.

Um $AB$ über einen Teich zu messen, wählt man einen Punkt $C$ an Land. Man verlängert $AC$ über $C$ hinaus bis $D$ mit $CD = AC$ und $BC$ über $C$ hinaus bis $E$ mit $CE = BC$. Die Winkel bei $C$ sind Scheitelwinkel, also gilt $\triangle ACB \cong \triangle DCE$ nach SWS und $DE = AB$.

Uhrzeiger

Die beiden Zeiger einer Uhr sind zwei Seiten mit fester Länge, und die Uhrzeit legt den Winkel zwischen ihnen fest.

Um 2:00 Uhr und um 10:00 Uhr beträgt der Winkel zwischen den Zeigern beide Male $60°$, also sind die Zeigerspitzen nach SWS zu beiden Zeiten gleich weit voneinander entfernt.

Q: Warum ist SSW kein Kongruenzsatz?

A: Weil die Seite gegenüber dem gegebenen Winkel wie ein Zirkel schwingen und die dritte Seite in zwei Punkten treffen kann. Mit $\angle A = 30°$, $AB = 10$ und $BC = 6$ erhältst du zwei Dreiecke, eines mit $AC \approx 5{,}34$ und eines mit $AC \approx 11{,}98$.

Q: Funktioniert SSW manchmal doch?

A: Ja, in einem Sonderfall: Liegt der gegebene Winkel der **längeren** der beiden Seiten gegenüber, ist nur ein Dreieck möglich. Das ist der Kongruenzsatz SsW, den du vielleicht aus dem Unterricht kennst. Ein bekanntes Beispiel ist ein rechter Winkel gegenüber der Hypotenuse. Ohne diese Bedingung darfst du SSW nicht verwenden.

Q: Ist SWS ein Axiom oder ein Satz?

A: Viele Lehrbücher nehmen SWS als Axiom (Grundregel ohne Beweis) und beweisen damit WSW und SSS. Euklid hat ihn als Proposition 4 bewiesen, indem er ein Dreieck auf das andere legte. In jedem Fall darfst du ihn in Beweisen benutzen.

Q: Wie wähle ich zwischen SSS, SWS, WSW und WWS?

A: Zähle, was du kennst. Drei Seiten: SSS. Zwei Seiten: Prüfe, ob der bekannte Winkel zwischen ihnen liegt (SWS) oder nicht (SSW, im Allgemeinen keine Aussage). Zwei Winkel: Prüfe, ob die bekannte Seite zwischen ihnen liegt (WSW) oder nicht (WWS).