SWS-Kongruenz

Beweise die Kongruenz von Dreiecken mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, finde versteckte gleiche Teile und sieh, warum SSW nicht reicht.

Mittelstufe25 MinLektion
Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Der Kongruenzsatz SWS (Seite-Winkel-Seite) besagt: Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem Winkel zwischen diesen Seiten überein, dann sind die Dreiecke kongruent.
AB‾≅DE‾,∠B≅∠E,BC‾≅EF‾⟹△ABC≅△DEF\overline{AB} \cong \overline{DE}, \quad \angle B \cong \angle E, \quad \overline{BC} \cong \overline{EF} \quad \Longrightarrow \quad \triangle ABC \cong \triangle DEF
Der Winkel muss der eingeschlossene Winkel sein: der Winkel, den die beiden gegebenen Seiten bilden. Sein Scheitel ist der Punkt, den beide Seiten gemeinsam haben. Für die Seiten ABAB und BCBC ist das der Punkt BB, also ist der eingeschlossene Winkel ∠B\angle B.
Warum es funktioniert: Stell dir zwei Stäbe vor, die durch ein Scharnier verbunden sind. Sobald die Längen der Stäbe und die Öffnung des Scharniers feststehen, ist auch der Abstand der freien Enden festgelegt. Die dritte Seite hat nur eine mögliche Länge, also gibt es nur ein mögliches Dreieck.
Vorsicht: Zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt (SSW), beweisen im Allgemeinen keine Kongruenz. Die Seite gegenüber dem Winkel kann manchmal in zwei verschiedene Lagen schwingen, und es entstehen zwei verschiedene Dreiecke.

Probier es gleich aus

Welcher Winkel im △ABC\triangle ABC wird von den Seiten ABAB und BCBC eingeschlossen?

Lösungsbeispiele

Im △ABC\triangle ABC: AB=6AB = 6 cm, ∠B=50°\angle B = 50°, BC=8BC = 8 cm. Im △DEF\triangle DEF: DE=6DE = 6 cm, ∠E=50°\angle E = 50°, EF=8EF = 8 cm. Sind die Dreiecke kongruent? Wie lang ist DFDF, wenn AC≈6,2AC \approx 6{,}2 cm ist?
1

Notiere die übereinstimmenden Teile

AB=DE=6AB = DE = 6 cm, BC=EF=8BC = EF = 8 cm, ∠B=∠E=50°\angle B = \angle E = 50° → Zwei Seitenpaare und ein Winkelpaar
2

Prüfe, ob der Winkel eingeschlossen ist

Die Seiten ABAB und BCBC treffen sich in BB; die Seiten DEDE und EFEF treffen sich in EE → ∠B\angle B und ∠E\angle E sind die eingeschlossenen Winkel
3

Wende SWS an

Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein → △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF
4

Nutze die entsprechenden Teile

ACAC entspricht DFDF (erster und dritter Buchstabe) → DF=AC≈6,2DF = AC \approx 6{,}2 cm

Häufige Fehler

SWS verwenden, obwohl der Winkel nicht zwischen den beiden Seiten liegt

Warum es falsch ist: Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel (SSW) können zwei verschiedene Dreiecke beschreiben, wie das Beispiel mit 30°30°, 1010 und 66 zeigt.

Richtig: Suche den Punkt, den beide Seiten gemeinsam haben. Nur der Winkel an diesem Scheitel darf für SWS verwendet werden.

Die Ecken in falscher Reihenfolge zuordnen

Warum es falsch ist: Wer △ABC≅△FED\triangle ABC \cong \triangle FED schreibt, obwohl BB zu EE und AA zu DD gehört, ordnet falsche Teile einander zu und zieht falsche Schlüsse.

Richtig: Schreibe die Ecken in passender Reihenfolge. Gilt A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F, dann schreibe △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF.

Denken, es fehlen Angaben, weil ein Teil nicht in der Aufgabe steht

Warum es falsch ist: Scheitelwinkel und gemeinsame Seiten sind gleich, auch wenn es niemand hinschreibt. Wer sie übersieht, gibt einen Beweis auf, der eigentlich funktioniert.

Richtig: Suche vor der Entscheidung nach sich kreuzenden Strecken (Scheitelwinkel) und nach einer Seite, die zu beiden Dreiecken gehört (gemeinsame Seite).

Entsprechende Teile gleichsetzen, bevor die Kongruenz bewiesen ist

Warum es falsch ist: Entsprechende Teile sind nur gleich, weil die Dreiecke kongruent sind. Ohne diesen Nachweis setzt du voraus, was du beweisen willst.

Richtig: Beweise zuerst △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF (zum Beispiel mit SWS) und folgere dann die übrigen gleichen Teile.

Interaktive Visualisierung

Kongruente Dreiecke

68ABC68DEF△ABC ≅ △DEF

SWSZwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein.

  • AB = DE = 6
  • BC = EF = 8
  • ∠B = ∠E = 50°

Tippe auf einen Kongruenzsatz und sieh, welche Teile übereinstimmen müssen. Gleich markierte Teile sind gleich groß.

Funktionsgraph

0246810120246xyA10B6C₁≈ 5,34C₂6
Alle Punkte im Abstand 6 von B

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben
Aufgabe 1 von 18
Einfach
Welcher Winkel im △ABC\triangle ABC wird von den Seiten ABAB und BCBC eingeschlossen?

Warum es wichtig ist

SWS gehört zu den meistgenutzten Werkzeugen in Geometriebeweisen, weil die nötigen Angaben oft gratis mitgeliefert werden:
  • Scheitelwinkel: Wenn sich zwei Strecken kreuzen, sind gegenüberliegende Winkel gleich, also hast du den Winkel schon
  • Gemeinsame Seiten: Wenn zwei Dreiecke eine Seite teilen, ist diese Seite zu sich selbst kongruent
  • Mittelpunkte und Winkelhalbierende: Ein Mittelpunkt liefert zwei gleiche Strecken, eine Winkelhalbierende zwei gleiche Winkel
Sobald SWS zwei Dreiecke als kongruent beweist, sind auch alle anderen entsprechenden Teile gleich (entsprechende Teile kongruenter Dreiecke sind kongruent). So messen Landvermesser über einen Teich, den sie nicht durchqueren können, und so wissen Handwerker, dass zwei Klappgestelle mit gleichem Öffnungswinkel identisch sind.

Anwendungen im echten Leben

Klappgestelle

Böcke, Leitern und Staffeleien bestehen aus zwei Beinen, die durch ein Scharnier verbunden sind. Die Beinlängen und der Öffnungswinkel bestimmen die ganze Form.

Beispiel:

Zwei Staffeleien haben jeweils Beine von 150 cm, die am Scharnier um 25°25° geöffnet sind. Nach SWS sind die entstehenden Dreiecke kongruent, also stehen ihre Füße gleich weit auseinander.

1Probiere es selbst

Ein Tischler baut zwei Arbeitsböcke. Jeder hat zwei Beine von 90 cm, und beide sind so arretiert, dass der Winkel am Scharnier 30°30° beträgt.

Welcher Kongruenzsatz garantiert, dass die beiden Böcke identisch sind?

Schritt 1: Wähle die richtige Antwort

Wähle den Kongruenzsatz:

Über einen Teich messen

Landvermesser nutzen SWS, um eine Strecke zu bestimmen, die sie nicht abgehen können: Sie bauen eine kongruente Kopie des Dreiecks auf trockenem Boden.

Beispiel:

Um ABAB über einen Teich zu messen, wählt man einen Punkt CC an Land. Man verlängert ACAC über CC hinaus bis DD mit CD=ACCD = AC und BCBC über CC hinaus bis EE mit CE=BCCE = BC. Die Winkel bei CC sind Scheitelwinkel, also gilt △ACB≅△DCE\triangle ACB \cong \triangle DCE nach SWS und DE=ABDE = AB.

2Probiere es selbst

Eine Vermesserin misst vom Punkt CC aus AC=30AC = 30 m und BC=24BC = 24 m. Sie markiert DD und EE wie beschrieben und misst dann DE=42DE = 42 m.

Wie breit ist der Teich von AA bis BB, in Metern?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Gib die Länge von ABAB in Metern ein:

Uhrzeiger

Die beiden Zeiger einer Uhr sind zwei Seiten mit fester Länge, und die Uhrzeit legt den Winkel zwischen ihnen fest.

Beispiel:

Um 2:00 Uhr und um 10:00 Uhr beträgt der Winkel zwischen den Zeigern beide Male 60°60°, also sind die Zeigerspitzen nach SWS zu beiden Zeiten gleich weit voneinander entfernt.

3Probiere es selbst

Eine Uhr hat einen Stundenzeiger von 3 cm und einen Minutenzeiger von 4 cm. Um 3:00 Uhr bilden die Zeiger einen rechten Winkel, und ihre Spitzen sind 5 cm voneinander entfernt.

Wie weit, in cm, sind die Spitzen um 9:00 Uhr voneinander entfernt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Gib den Abstand in cm ein:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1SWS: Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein, dann sind sie kongruent
  • 2Der eingeschlossene Winkel liegt am gemeinsamen Punkt der beiden Seiten: Für ABAB und BCBC ist es ∠B\angle B
  • 3SSW ist im Allgemeinen kein Kongruenzsatz: Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel können zwei verschiedene Dreiecke ergeben
  • 4Achte auf versteckte gleiche Teile: Scheitelwinkel an Kreuzungen, eine gemeinsame Seite, Mittelpunkte und Winkelhalbierende
  • 5Nach dem Kongruenzbeweis gilt: entsprechende Teile kongruenter Dreiecke sind kongruent, so findest du die übrigen Seiten und Winkel
  • 6Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, WWS. Keine Kongruenzsätze: SSW (allgemein) und WWW

Häufig gestellte Fragen

Weil die Seite gegenüber dem gegebenen Winkel wie ein Zirkel schwingen und die dritte Seite in zwei Punkten treffen kann. Mit ∠A=30°\angle A = 30°, AB=10AB = 10 und BC=6BC = 6 erhältst du zwei Dreiecke, eines mit AC≈5,34AC \approx 5{,}34 und eines mit AC≈11,98AC \approx 11{,}98.
Weil die Seite gegenüber dem gegebenen Winkel wie ein Zirkel schwingen und die dritte Seite in zwei Punkten treffen kann. Mit ∠A=30°\angle A = 30°, AB=10AB = 10 und BC=6BC = 6 erhältst du zwei Dreiecke, eines mit AC≈5,34AC \approx 5{,}34 und eines mit AC≈11,98AC \approx 11{,}98.
Ja, in einem Sonderfall: Liegt der gegebene Winkel der längeren der beiden Seiten gegenüber, ist nur ein Dreieck möglich. Das ist der Kongruenzsatz SsW, den du vielleicht aus dem Unterricht kennst. Ein bekanntes Beispiel ist ein rechter Winkel gegenüber der Hypotenuse. Ohne diese Bedingung darfst du SSW nicht verwenden.
Viele Lehrbücher nehmen SWS als Axiom (Grundregel ohne Beweis) und beweisen damit WSW und SSS. Euklid hat ihn als Proposition 4 bewiesen, indem er ein Dreieck auf das andere legte. In jedem Fall darfst du ihn in Beweisen benutzen.
Zähle, was du kennst. Drei Seiten: SSS. Zwei Seiten: Prüfe, ob der bekannte Winkel zwischen ihnen liegt (SWS) oder nicht (SSW, im Allgemeinen keine Aussage). Zwei Winkel: Prüfe, ob die bekannte Seite zwischen ihnen liegt (WSW) oder nicht (WWS).

Glossar

SWS-Kongruenz
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen
Eingeschlossener Winkel
Der Winkel, den zwei gegebene Seiten bilden; sein Scheitel ist ihr gemeinsamer Endpunkt
SSW
Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel; im Allgemeinen kein Kongruenzsatz, weil zwei verschiedene Dreiecke möglich sind
Scheitelwinkel
Die gegenüberliegenden Winkel an zwei sich schneidenden Geraden; sie sind immer gleich groß
Gemeinsame Seite
Eine Seite, die zu zwei Dreiecken gleichzeitig gehört; sie ist zu sich selbst kongruent
Entsprechende Teile kongruenter Dreiecke
Sind zwei Dreiecke als kongruent bewiesen, dann sind alle einander entsprechenden Seiten und Winkel gleich

Formelkarte

Kongruenzsatz SWS

AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF⇒△ABC≅△DEFAB = DE,\ \angle B = \angle E,\ BC = EF \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle DEF

Der Winkel muss zwischen den beiden Seiten liegen

Kongruenzsätze

SSS, SWS, WSW, WWS\text{SSS},\ \text{SWS},\ \text{WSW},\ \text{WWS}

Jeder legt genau ein Dreieck fest

Keine Kongruenzsätze

SSW, WWW\text{SSW},\ \text{WWW}

SSW kann zwei Dreiecke ergeben; WWW legt die Form fest, aber nicht die Größe

Entsprechende Teile

△ABC≅△DEF⇒AC=DF, ∠A=∠D, ∠C=∠F\triangle ABC \cong \triangle DEF \Rightarrow AC = DF,\ \angle A = \angle D,\ \angle C = \angle F

Erst nach bewiesener Kongruenz verwenden

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

Mehr zu diesem Thema

Einführung in die Kongruenz

Mittelstufe25 Min

Einführung in die Ähnlichkeit

Mittelstufe25 Min

Kongruente Dreiecke

Mittelstufe25 Min

AA-Ähnlichkeit

Mittelstufe25 Min