Beweise in der Koordinatengeometrie

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Formel solltest du verwenden, um zu beweisen, dass zwei Seiten eines Vierecks gleich lang sind?
1. a)Steigungsformel
2. b)Quadratische Formel
3. c)Mittelpunktformel
4. d)Abstandsformel
Lösung: Abstandsformel
Die Abstandsformel berechnet die Länge einer Strecke zwischen zwei Punkten.
2.
Zwei Geraden sind senkrecht, wenn ihre Steigungen multipliziert ergeben:
1. a)
2. b)
3. c)undefiniert
4. d)
Lösung:
Damit zwei nicht-vertikale, nicht-horizontale Geraden senkrecht sind, müssen ihre Steigungen negative Kehrwerte sein: .
3.
Berechne die Steigung der Geraden durch und .
Lösung: 1
Steigung .
4.
Berechne den Abstand zwischen und .
Lösung: 5
Abstand .
5.
Was bedeutet es, wenn zwei Geraden die gleiche Steigung haben?
1. a)Sie sind dieselbe Gerade
2. b)Sie sind senkrecht
3. c)Sie sind parallel
4. d)Sie schneiden sich im Ursprung
Lösung: Sie sind parallel
Geraden mit gleichen Steigungen sind parallel. Sie werden sich nie schneiden (es sei denn, sie sind dieselbe Gerade).
6.
Berechne den Mittelpunkt der Strecke mit Endpunkten und . Gib als ein.
Lösung: (4, 6)
Mittelpunkt .
7.
Beweise, dass mit und parallel zu mit und ist.
Lösung: Both slopes equal 1, so the lines are parallel
1. Berechne die Steigung von : 1
2. Berechne die Steigung von : 1
3. Sind die Steigungen gleich? ja
4. Sind also und parallel? ja
8.
Um zu beweisen, dass ein Viereck eine Raute ist, was musst du zeigen?
1. a)Alle vier Seiten sind gleich lang
2. b)Alle Winkel sind 90 Grad
3. c)Diagonalen sind gleich
4. d)Gegenüberliegende Seiten sind parallel
Lösung: Alle vier Seiten sind gleich lang
Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Verwende die Abstandsformel, um zu überprüfen, dass alle Seiten gleich lang sind.
9.
Beweise, dass Geraden mit Steigungen und senkrecht sind.
Lösung: The product of slopes is -1, so the lines are perpendicular
1. Was ist ? Berechne -1
2. Was muss das Produkt der Steigungen für senkrechte Geraden ergeben? -1
3. Da , sind die Geraden senkrecht? ja
10.
Berechne den Abstand zwischen und .
Lösung: 10
.
11.
Überprüfe, dass das Viereck mit , , , ein Rechteck ist, indem du zeigst, dass benachbarte Seiten senkrecht sind.
Lösung: ABCD is a rectangle
1. Was ist die Steigung von ? (horizontale Linie) 0
2. Was ist die Steigung von ? (vertikale Linie) undefiniert
3. Sind horizontale und vertikale Linien senkrecht? ja
4. Ist ein Rechteck? ja
12.
Beweise, dass das Viereck mit , , , ein Parallelogramm ist, indem du zeigst, dass sich die Diagonalen gegenseitig halbieren.
Lösung: (4.5, 3)
1. Was ist der Mittelpunkt der Diagonalen ? (4.5, 3)
2. Was ist der Mittelpunkt der Diagonalen ? (4.5, 3)
3. Sind die Mittelpunkte beider Diagonalen gleich? ja
4. Ist also ein Parallelogramm? ja
13.
Wenn die Steigung hat, welche Steigung muss haben, um senkrecht zu zu sein? Gib als Bruch ein.
Lösung: -4/3
Für senkrechte Geraden gilt . Also , was ergibt.
14.
Beweise, dass das Viereck mit den Eckpunkten , , , ein Quadrat ist.
Lösung: WXYZ is a square
1. Berechne mit der Abstandsformel: 5
2. Berechne : 5
3. Berechne : 5
4. Berechne : 5
5. Sind alle vier Seiten gleich? ja
6. Sind benachbarte Seiten senkrecht? (horizontal und vertikal) ja
7. Ist diese Form ein Quadrat? ja
15.
Welche Eigenschaft unterscheidet ein Rechteck von einem allgemeinen Parallelogramm?
1. a)Diagonalen halbieren sich gegenseitig
2. b)Benachbarte Seiten sind senkrecht
3. c)Gegenüberliegende Seiten sind gleich
4. d)Gegenüberliegende Seiten sind parallel
Lösung: Benachbarte Seiten sind senkrecht
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit senkrechten benachbarten Seiten (rechte Winkel). Die anderen Eigenschaften teilen alle Parallelogramme.