Symmetrie bei Vielecken

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Figur hat genau $2$ Symmetrieachsen und Drehsymmetrie der Ordnung $2$ ?
1. a)Drachenviereck
2. b)Regelmäßiges Sechseck
3. c)Rechteck
4. d)Quadrat
Lösung: Rechteck
Ein Rechteck hat $2$ Symmetrieachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten) und Ordnung $2$ . Ein Quadrat hat $4$ und $4$ , ein Drachenviereck $1$ und $1$ , ein regelmäßiges Sechseck $6$ und $6$ .
2.
Welche Figur ist punktsymmetrisch?
1. a)Gleichseitiges Dreieck
2. b)Gleichschenkliges Trapez
3. c)Drachenviereck
4. d)Parallelogramm
Lösung: Parallelogramm
Ein Parallelogramm passt nach einer halben Drehung um den Schnittpunkt der Diagonalen auf sich selbst: Ordnung $2$ , also punktsymmetrisch. Das gleichseitige Dreieck hat Ordnung $3$ (ungerade), Drachenviereck und gleichschenkliges Trapez haben Ordnung $1$ .
3.
Wo verlaufen die Symmetrieachsen eines regelmäßigen Fünfecks?
1. a)Ein regelmäßiges Fünfeck hat keine Symmetrieachsen
2. b)Jede durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seiten
3. c)Jede durch zwei gegenüberliegende Ecken
4. d)Jede durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite
Lösung: Jede durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite
Ein regelmäßiges Fünfeck hat $5$ Symmetrieachsen. Weil $5$ ungerade ist, geht jede durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Es gibt keine gegenüberliegenden Ecken und keine gegenüberliegenden Seiten.
4.
Welche Figur ist drehsymmetrisch, hat aber keine Symmetrieachse?
1. a)Drachenviereck
2. b)Rechteck
3. c)Parallelogramm (kein Rechteck, keine Raute)
4. d)Gleichschenkliges Dreieck
Lösung: Parallelogramm (kein Rechteck, keine Raute)
Ein Parallelogramm (kein Rechteck, keine Raute) hat Ordnung $2$ , aber $0$ Symmetrieachsen. Drachenviereck und gleichschenkliges Dreieck haben $1$ Achse und Ordnung $1$ , das Rechteck hat $2$ Achsen und Ordnung $2$ .
5.
Welche Aussage ist immer wahr?
1. a)Jedes punktsymmetrische Vieleck hat mindestens eine Symmetrieachse
2. b)Eine Figur mit Drehsymmetrie der Ordnung $3$ ist punktsymmetrisch
3. c)Ein regelmäßiges Vieleck mit $n$ Seiten hat Drehsymmetrie der Ordnung $n$
4. d)Ein Drachenviereck hat Drehsymmetrie der Ordnung $2$
Lösung: Ein regelmäßiges Vieleck mit $n$ Seiten hat Drehsymmetrie der Ordnung $n$
Ein regelmäßiges Vieleck mit $n$ Seiten passt nach jeder Drehung um $\frac{360°}{n}$ auf sich selbst, seine Ordnung ist also $n$ . Die anderen sind falsch: Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch, hat aber keine Achse; Ordnung $3$ ist ungerade, eine halbe Drehung passt nicht; ein Drachenviereck hat Ordnung $1$ .
6.
Wie viele Symmetrieachsen hat ein regelmäßiges Sechseck?
Lösung: 6
Ein regelmäßiges Sechseck hat $6$ Symmetrieachsen: $3$ durch gegenüberliegende Ecken und $3$ durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten.
7.
Wie groß ist der kleinste Drehwinkel eines gleichseitigen Dreiecks in Grad?
Lösung: 120
Ein gleichseitiges Dreieck hat Ordnung $3$ , also ist der kleinste Winkel $\frac{360°}{3} = 120°$ .
8.
Welche Ordnung der Drehsymmetrie hat eine Raute, die kein Quadrat ist?
Lösung: 2
Nach $90°$ läge die lange Diagonale auf der kurzen, das passt nicht. Nach $180°$ passt es, nach $360°$ wieder: Ordnung $2$ .
9.
Ein regelmäßiges Vieleck passt nach einer Drehung um $30°$ auf sich selbst, eine kleinere Drehung passt nicht. Wie viele Symmetrieachsen hat es?
Lösung: 12
Die Ordnung ist $\frac{360°}{30°} = 12$ , es ist also ein regelmäßiges Zwölfeck mit $12$ Seiten und $12$ Symmetrieachsen.
10.
Ein regelmäßiges Zehneck hat $10$ Symmetrieachsen. Wie viele davon gehen durch zwei gegenüberliegende Ecken?
Lösung: 5
$10$ Ecken bilden $\frac{10}{2} = 5$ Paare gegenüberliegender Ecken, also gehen $5$ Achsen durch zwei Ecken. Die anderen $5$ gehen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten.
11.
Beschreibe die Symmetrie eines gleichschenkligen Dreiecks, das nicht gleichseitig ist.
Lösung: 1
1. Wie viele Symmetrieachsen hat es? 1
2. Welche Ordnung der Drehsymmetrie hat es? 1
12.
Bestimme die Symmetrie eines regelmäßigen Fünfecks.
Lösung: 72°
1. Wie viele Symmetrieachsen? 5
2. Welche Ordnung hat die Drehsymmetrie? 5
3. Wie groß ist der kleinste Drehwinkel in Grad? 72
13.
Ein Rechteck ist $8$ cm lang und $5$ cm breit. Bestimme seine Symmetrie.
Lösung: 180°
1. Wie viele Symmetrieachsen? 2
2. Welche Ordnung hat die Drehsymmetrie? 2
3. Wie groß ist der kleinste Drehwinkel in Grad? 180
14.
Beschreibe die Symmetrieachsen und die Drehsymmetrie eines regelmäßigen Zwölfecks ( $12$ Seiten).
Lösung: 30°
1. Wie viele Achsen gehen durch zwei gegenüberliegende Ecken? 6
2. Wie viele Achsen gehen durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seiten? 6
3. Wie viele Symmetrieachsen insgesamt? 12
4. Wie groß ist der kleinste Drehwinkel in Grad? 30
15.
Untersuche die Symmetrie eines Drachenvierecks (das keine Raute ist).
Lösung: 0
1. Wie viele Symmetrieachsen hat das Drachenviereck? 1
2. Welche Ordnung der Drehsymmetrie hat es? 1
3. Ist es punktsymmetrisch? Gib $1$ für ja und $0$ für nein ein. 0
16.
Ein regelmäßiges Sechseck wird um $240°$ um seinen Mittelpunkt gedreht. Wie vielen kleinsten Drehschritten entspricht das?
Lösung: 4
1. Welche Ordnung der Drehsymmetrie hat ein regelmäßiges Sechseck? 6
2. Wie groß ist der kleinste Drehwinkel in Grad? 60
3. Wie viele kleinste Schritte ergeben $240°$ ? 4
17.
Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks misst $140°$ . Bestimme die Anzahl seiner Symmetrieachsen und seinen kleinsten Drehwinkel.
Lösung: 40°
1. Wie groß ist jeder Außenwinkel in Grad? 40
2. Wie viele Seiten hat das Vieleck? 9
3. Wie viele Symmetrieachsen hat es? 9
4. Wie groß ist der kleinste Drehwinkel in Grad? 40
18.
Alle Symmetrieachsen eines regelmäßigen Fünfecks gehen durch seinen Mittelpunkt. Wie groß ist der Winkel zwischen zwei benachbarten Achsen?
Lösung: 36°
1. Wie viele Symmetrieachsen hat ein regelmäßiges Fünfeck? 5
2. Jede Achse bildet zwei Halbgeraden vom Mittelpunkt aus. Wie viele Halbgeraden gibt es? 10
3. Wie groß ist der Winkel zwischen benachbarten Halbgeraden in Grad? 36