Quadratische Funktionen zeichnen (Parabeln)

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Für die Funktion $f(x) = 2x^2 + 3x - 5$ , was ist der Wert des Koeffizienten $a$ ?
1. a) $2$
2. b) $3$
3. c) $x^2$
4. d) $-5$
Lösung: $2$
In der Standardform $f(x) = ax^2 + bx + c$ ist der Koeffizient $a$ die Zahl vor $x^2$ . Hier ist $a = 2$ , $b = 3$ und $c = -5$ .
2.
Eine Parabel mit $a = -3$ wird:
1. a)Nach oben öffnen und ein Maximum haben
2. b)Nach unten öffnen und ein Minimum haben
3. c)Nach unten öffnen und ein Maximum haben
4. d)Nach oben öffnen und ein Minimum haben
Lösung: Nach unten öffnen und ein Maximum haben
Da $a = -3 < 0$ , öffnet sich die Parabel nach unten. Eine nach unten geöffnete Parabel hat einen höchsten Punkt (Maximum) an ihrem Scheitelpunkt.
3.
Was ist der y-Achsenabschnitt von $f(x) = x^2 - 4x + 7$ ?
Lösung: 7
Der y-Achsenabschnitt ist der Wert von $c$ in $f(x) = ax^2 + bx + c$ , oder du kannst $f(0) = 0^2 - 4(0) + 7 = 7$ berechnen. Der y-Achsenabschnitt liegt bei $(0, 7)$ .
4.
Finde die Symmetrieachse für $f(x) = x^2 + 6x + 5$ . Gib deine Antwort als $x = ?$
Lösung: -3
Mit $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(1)} = -\frac{6}{2} = -3$ . Die Symmetrieachse ist die senkrechte Linie $x = -3$ .
5.
Die Diskriminante von $f(x) = x^2 - 4x + 5$ ist:
1. a) $16$ (zwei reelle Nullstellen)
2. b) $0$ (eine reelle Nullstelle)
3. c) $4$ (zwei reelle Nullstellen)
4. d) $-4$ (keine reellen Nullstellen)
Lösung: $-4$ (keine reellen Nullstellen)
$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$ . Da $\Delta < 0$ , hat die Parabel keine reellen Nullstellen (sie schneidet die x-Achse nicht).
6.
Finde den Scheitelpunkt von $f(x) = x^2 - 8x + 12$ .
Lösung: (4, -4)
1. Was sind die Werte von $a$ , $b$ und $c$ ? a=1, b=-8, c=12
2. Berechne die x-Koordinate des Scheitelpunkts mit $x = -\frac{b}{2a}$ 4
3. Finde $f(4)$ um die y-Koordinate zu erhalten -4
4. Schreibe den Scheitelpunkt als Koordinatenpaar (4, -4)
7.
Finde die Nullstellen von $f(x) = x^2 - 5x + 6$ .
Lösung: x = 2, x = 3
1. Setze $f(x) = 0$ um Nullstellen zu finden. Welche Gleichung musst du lösen? x^2 - 5x + 6 = 0
2. Faktorisiere die Quadratische. Welche zwei Zahlen ergeben multipliziert 6 und addiert -5? -2, -3
3. Schreibe die faktorisierte Form (x-2)(x-3) = 0
4. Löse nach x auf, indem du jeden Faktor gleich Null setzt x = 2, x = 3
8.
Die Parabel $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$ hat einen Maximal- oder Minimalwert? Was ist dieser Wert?
Lösung: 5
Da $a = -2 < 0$ , öffnet sich die Parabel nach unten und hat ein Maximum. Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist $x = -\frac{8}{2(-2)} = 2$ . Der Maximalwert ist $f(2) = -2(4) + 8(2) - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$ .
9.
Welche Parabel ist schmaler (steiler)?
1. a) $f(x) = 3x^2$
2. b) $f(x) = 0,25x^2$
3. c) $f(x) = 0,5x^2$
4. d) $f(x) = x^2$
Lösung: $f(x) = 3x^2$
Der Koeffizient $|a|$ bestimmt die Breite der Parabel. Größeres $|a|$ bedeutet schmaler (steiler). Da $3 > 1 > 0,5 > 0,25$ , ist $f(x) = 3x^2$ die schmalste.
10.
Zeichne $f(x) = x^2 + 2x - 3$ indem du Scheitelpunkt, y-Achsenabschnitt und Nullstellen findest.
Lösung: Vertex: (-1, -4), y-int: (0, -3), x-int: (-3, 0) and (1, 0)
1. Finde die Symmetrieachse $x = -\frac{b}{2a}$ -1
2. Finde die y-Koordinate des Scheitelpunkts durch Berechnung von $f(-1)$ -4
3. Finde den y-Achsenabschnitt $f(0)$ -3
4. Faktorisiere $x^2 + 2x - 3$ um die Nullstellen zu finden (x+3)(x-1)
5. Löse nach den Nullstellen auf x = -3, x = 1
11.
Ein Ball wird nach oben geworfen mit Höhe $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$ Meter nach $t$ Sekunden. Was ist die maximale Höhe?
Lösung: 22
Zeit bei maximaler Höhe: $t = -\frac{20}{2(-5)} = 2$ Sekunden. Maximale Höhe: $h(2) = -5(4) + 20(2) + 2 = -20 + 40 + 2 = 22$ Meter.
12.
Analysiere $f(x) = -x^2 + 4x + 5$ : finde Richtung, Scheitelpunkt, Symmetrieachse, y-Achsenabschnitt und Nullstellen.
Lösung: Opens down, vertex (2, 9), axis x = 2, y-int (0, 5), x-int (-1, 0) and (5, 0)
1. Öffnet sich die Parabel nach oben oder unten? Warum? unten, a = -1 < 0
2. Finde die Symmetrieachse x = 2
3. Finde den Scheitelpunkt (x-Koordinate ist 2) (2, 9)
4. Finde den y-Achsenabschnitt (0, 5)
5. Faktorisiere und finde die Nullstellen x = -1, x = 5
13.
Der Umsatz eines Unternehmens wird durch $R(p) = -25p^2 + 500p$ modelliert, wobei $p$ der Preis in Euro ist. Welcher Preis maximiert den Umsatz?
1. a)25 Euro
2. b)20 Euro
3. c)10 Euro
4. d)50 Euro
Lösung: 10 Euro
Das Maximum tritt bei $p = -\frac{500}{2(-25)} = -\frac{500}{-50} = 10$ Euro auf. Bei diesem Preis ist der Umsatz $R(10) = -25(100) + 500(10) = -2500 + 5000 = 2500$ Euro.
14.
Verwende die Diskriminante um zu bestimmen, wie viele Nullstellen $f(x) = 2x^2 - 3x + 5$ hat, dann erkläre, was dies für den Graphen bedeutet.
Lösung: 0 x-intercepts, parabola is entirely above x-axis
1. Identifiziere $a$ , $b$ und $c$ a=2, b=-3, c=5
2. Berechne die Diskriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ -31
3. Ist $\Delta$ positiv, null oder negativ? negativ
4. Wie viele Nullstellen hat die Parabel? 0
5. Da $a > 0$ , öffnet sich die Parabel nach oben oder unten? Wo liegt sie relativ zur x-Achse? öffnet nach oben, vollständig über x-Achse
15.
Für $f(x) = x^2 + 4$ , was ist der Minimalwert der Funktion?
Lösung: 4
Mit $a = 1$ und $b = 0$ ist die Symmetrieachse $x = 0$ . Das Minimum ist $f(0) = 0^2 + 4 = 4$ . Der Scheitelpunkt ist $(0, 4)$ .
16.
Finde alle wichtigen Merkmale von $f(x) = x^2 - 6x + 8$ : Scheitelpunkt, Symmetrieachse, y-Achsenabschnitt und Nullstellen.
Lösung: Vertex: (3, -1), axis: x = 3, y-int: 8, x-int: 2 and 4
1. Finde die Symmetrieachse x = 3
2. Berechne die y-Koordinate des Scheitelpunkts: $f(3)$ -1
3. Schreibe den Scheitelpunkt (3, -1)
4. Finde den y-Achsenabschnitt 8
5. Faktorisiere und finde die Nullstellen x = 2, x = 4