Boolesche Ausdrücke

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Operation wird in $A \lor B \land \neg C$ (ohne Klammern) zuerst ausgeführt?
1. a)UND ( $\land$ )
2. b)ODER ( $\lor$ )
3. c)NICHT ( $\neg$ )
4. d)Von links nach rechts, also ODER
Lösung: NICHT ( $\neg$ )
Zuerst kommt NICHT: $\neg C$ . Dann UND: $B \land \neg C$ . ODER kommt zuletzt.
2.
Werte $A \land B$ für $A = 1$ und $B = 0$ aus. Antworte mit 1 für wahr oder 0 für falsch.
Lösung: 0
$1 \land 0 = 0$ , weil $B$ gleich 0 ist.
3.
Werte $A \lor \neg B$ für $A = 0$ und $B = 0$ aus. Antworte mit 1 für wahr oder 0 für falsch.
Lösung: 1
$\neg 0 = 1$ , also $0 \lor 1 = 1$ .
4.
Wie viele Zeilen hat die Wahrheitstabelle eines Ausdrucks mit den Variablen $A$ , $B$ und $C$ ?
1. a)3
2. b)6
3. c)9
4. d)8
Lösung: 8
3 Variablen ergeben $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ Zeilen, nicht $2 \times 3 = 6$ .
5.
Werte $A \land \neg B$ für $A = 1$ und $B = 1$ aus. Antworte mit 1 für wahr oder 0 für falsch.
Lösung: 0
1. Zuerst NICHT: Was ist $\neg B$ für $B = 1$ ? 0
2. Jetzt UND: Was ist $1 \land 0$ ? 0
6.
Werte $\neg A \lor B$ für $A = 0$ und $B = 0$ aus. Antworte mit 1 für wahr oder 0 für falsch.
Lösung: 1
1. Was ist $\neg A$ für $A = 0$ ? 1
2. Was ist $1 \lor 0$ ? 1
7.
Welcher Ausdruck bedeutet dasselbe wie $A \lor B \land C$ ?
1. a) $(A \land B) \lor C$
2. b) $(A \lor B) \land C$
3. c) $A \land (B \lor C)$
4. d) $A \lor (B \land C)$
Lösung: $A \lor (B \land C)$
UND wird vor ODER ausgeführt, also gehört die Klammer um $B \land C$ : $A \lor (B \land C)$ .
8.
Werte $A \lor B \land C$ für $A = 1$ , $B = 1$ , $C = 0$ aus. Antworte mit 1 für wahr oder 0 für falsch.
Lösung: 1
$B \land C = 1 \land 0 = 0$ , dann $1 \lor 0 = 1$ . Von links nach rechts erhielte man fälschlich $(1 \lor 1) \land 0 = 0$ .
9.
Werte $\neg(A \land B) \lor C$ für $A = 1$ , $B = 1$ , $C = 0$ aus. Antworte mit 1 für wahr oder 0 für falsch.
Lösung: 0
1. Zuerst die Klammer: Was ist $A \land B$ ? 1
2. Was ist $\neg(A \land B)$ ? 0
3. Was ist $0 \lor C$ für $C = 0$ ? 0
10.
Werte $\neg A \land B \lor A \land \neg B$ für $A = 1$ und $B = 0$ aus. Antworte mit 1 für wahr oder 0 für falsch.
Lösung: 1
1. Was ist $\neg A$ ? 0
2. Was ist $\neg B$ ? 1
3. Was ist $\neg A \land B$ ? 0
4. Was ist $A \land \neg B$ ? 1
5. Zuletzt ODER: Welchen Wert hat der ganze Ausdruck? 1
11.
In wie vielen Zeilen seiner Wahrheitstabelle ist $\neg A \land B$ gleich 1?
Lösung: 1
$\neg A \land B = 1$ nur für $A = 0$ und $B = 1$ : Das ist 1 Zeile von 4.
12.
Wie lautet die Ergebnisspalte von $A \lor \neg B$ für die Zeilen $AB$ = 00, 01, 10, 11?
1. a)0, 1, 1, 1
2. b)1, 0, 1, 1
3. c)1, 1, 0, 1
4. d)0, 1, 0, 0
Lösung: 1, 0, 1, 1
$A$ : 0, 0, 1, 1 ODER $\neg B$ : 1, 0, 1, 0 ergibt 1, 0, 1, 1. Der Ausdruck ist nur für $A = 0$ und $B = 1$ gleich 0.
13.
Stelle die Wahrheitstabelle von $\neg(A \lor B)$ auf. In wie vielen Zeilen ist der Ausdruck gleich 1?
Lösung: 1
1. Wie viele Zeilen hat die Tabelle? 4
2. In wie vielen Zeilen ist $A \lor B$ gleich 1? 3
3. NICHT dreht jede Zeile um. In wie vielen Zeilen ist $\neg(A \lor B)$ gleich 1? 1
14.
In wie vielen Zeilen seiner Wahrheitstabelle ist $A \land B \lor C$ gleich 1?
Lösung: 5
$C = 1$ in 4 der 8 Zeilen. Unter den Zeilen mit $C = 0$ ergibt nur $A = B = 1$ (Zeile 110) $A \land B = 1$ . Insgesamt: $4 + 1 = 5$ Zeilen.
15.
Stelle die Wahrheitstabelle von $A \land (B \lor C)$ auf. In wie vielen Zeilen ist der Ausdruck gleich 1?
Lösung: 3
1. Wie viele Zeilen hat die Tabelle? 8
2. In wie vielen Zeilen ist $B \lor C$ gleich 1? 6
3. Jetzt UND mit $A$ : In wie vielen Zeilen sind $A$ und $B \lor C$ beide gleich 1? 3
16.
Stelle die Wahrheitstabelle von $A \land B \lor A \land \neg B$ auf. Welcher Ausdruck ist dazu äquivalent?
1. a) $A \land B$
2. b) $A$
3. c) $A \lor B$
4. d) $B$
Lösung: $A$
Für $AB$ = 00, 01, 10, 11: $A \land B$ ist 0, 0, 0, 1 und $A \land \neg B$ ist 0, 0, 1, 0. ODER ergibt 0, 0, 1, 1, genau die Spalte von $A$ .
17.
Vergleiche die Wahrheitstabellen von $A \lor B \land C$ und $(A \lor B) \land C$ . In wie vielen Zeilen unterscheiden sie sich?
Lösung: 2
1. Wie viele Zeilen hat jede Tabelle? 8
2. In wie vielen Zeilen ist $A \lor (B \land C)$ gleich 1? 5
3. In wie vielen Zeilen ist $(A \lor B) \land C$ gleich 1? 3
4. In wie vielen Zeilen unterscheiden sich die beiden Ergebnisspalten? 2
18.
Werte $\neg(A \land B \lor \neg C)$ für $A = 1$ , $B = 0$ , $C = 1$ aus. Antworte mit 1 für wahr oder 0 für falsch.
Lösung: 1
1. In der Klammer zuerst NICHT: Was ist $\neg C$ ? 0
2. Dann UND: Was ist $A \land B$ ? 0
3. Dann ODER: Welchen Wert hat die Klammer? 0
4. Zum Schluss das äußere NICHT: Welchen Wert hat der ganze Ausdruck? 1