Zusammengesetzte boolesche Aussagen

Eine **einfache Aussage** ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist, zum Beispiel "Es regnet." Eine **zusammengesetzte Aussage** verbindet zwei oder mehr einfache Aussagen mit den logischen Operatoren **UND** ($\land$), **ODER** ($\lor$) und **NICHT** ($\neg$). Ihr **Wahrheitswert** hängt nur von den Wahrheitswerten ihrer Teile ab. Wir schreiben 1 für wahr und 0 für falsch. Die interaktiven Tabellen in dieser Lektion verwenden ebenfalls 1 und 0. **Von Worten zu Symbolen.** Sei $P$: "Es regnet" und $Q$: "Es ist kalt". | In Worten | Symbole | Wahr, wenn | |---|:---:|---| | Es regnet und es ist kalt. | $P \land Q$ | beide Teile wahr sind | | Es regnet oder es ist kalt. | $P \lor Q$ | mindestens ein Teil wahr ist | | Es regnet nicht. | $\neg P$ | $P$ falsch ist | | Es regnet, aber es ist nicht kalt. | $P \land \neg Q$ | $P$ wahr und $Q$ falsch ist | | Weder regnet es, noch ist es kalt. | $\neg P \land \neg Q$ | beide Teile falsch sind | **Signalwörter:** *und*, *aber*, *sowohl ... als auch* bedeuten UND. *oder* bedeutet ODER, und das ist auch wahr, wenn beide Teile wahr sind. *nicht*, *es stimmt nicht, dass* bedeuten NICHT. **Den Wahrheitswert in 3 Schritten bestimmen:** 1. Gib jeder einfachen Aussage ihren Wert: 1 oder 0. 2. Berechne die Teile in Klammern und jedes NICHT. 3. Verbinde die Ergebnisse mit UND oder ODER. **Die vier Fälle bei zwei Aussagen** (beginnend mit 0 wie in der interaktiven Tabelle; die Lektion Wahrheitstabellen beginnt mit T, beide Reihenfolgen zeigen dieselben Fälle): | $P$ | $Q$ | $P \land Q$ | $P \lor Q$ | $\neg P$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | **Drei Teile, acht Fälle.** Mit einer dritten Aussage $R$ gibt es $2^3 = 8$ Fälle, und Klammern zeigen, welche Teile zusammengehören. Für $(P \lor Q) \land \neg R$: | $P$ | $Q$ | $R$ | $P \lor Q$ | $\neg R$ | $(P \lor Q) \land \neg R$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | **1** | | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | **1** | | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | **1** | | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | Diese zusammengesetzte Aussage ist in 3 der 8 Fälle wahr: wenn mindestens eine von $P$ und $Q$ wahr und $R$ falsch ist. Wie man eine Aussage ohne Klammern liest (die Rangfolge der Operatoren), lernst du in der Lektion Boolesche Ausdrücke.

Von Worten zu Symbolen

Sei $P$: "Der Laden ist offen" und $Q$: "Ich habe Geld". Schreibe jeden Satz in Symbolen: (a) Der Laden ist offen und ich habe Geld. (b) Der Laden ist nicht offen oder ich habe Geld. (c) Der Laden ist offen, aber ich habe kein Geld. (d) Der Laden ist nicht offen und ich habe kein Geld.

Satz (a): Das Wort *und* verbindet zwei Teile, die beide als wahr behauptet werden = $P \land Q$

Satz (b): *nicht* gehört nur zum ersten Teil, *oder* verbindet die beiden Teile = $\neg P \lor Q$

Satz (c): *aber* bedeutet UND, und *ich habe kein Geld* ist die Negation von $Q$ = $P \land \neg Q$

Satz (d): Beide Teile sind verneint und mit *und* verbunden = $\neg P \land \neg Q$

Answer: (a) $P \land Q$, (b) $\neg P \lor Q$, (c) $P \land \neg Q$, (d) $\neg P \land \neg Q$. Satz (d) kann man auch mit weder ... noch sagen: Der Laden ist weder offen, noch habe ich Geld.

Wahrheitswerte mit Zahlen

Sei $P$: "$7$ ist eine Primzahl" und $Q$: "$10$ ist eine ungerade Zahl". Bestimme den Wahrheitswert von $P \land Q$, $P \lor Q$ und $P \land \neg Q$.

Bestimme den Wert jeder einfachen Aussage: $7$ hat nur die Teiler $1$ und $7$, also ist $P$ wahr. $10$ ist gerade, also ist $Q$ falsch = $P = 1$, $Q = 0$

Berechne $P \land Q$: $1 \land 0$: UND braucht zwei wahre Teile = $0$ (falsch)

Berechne $P \lor Q$: $1 \lor 0$: ODER braucht mindestens einen wahren Teil = $1$ (wahr)

Berechne $P \land \neg Q$: Zuerst $\neg Q = \neg 0 = 1$, dann $1 \land 1$ = $1$ (wahr)

Answer: $P \land Q$ ist falsch, $P \lor Q$ ist wahr und $P \land \neg Q$ ist wahr: $7$ ist eine Primzahl und $10$ ist nicht ungerade.

Wo steht das NICHT?

Sei $P$: "$3 > 5$" und $Q$: "$2 + 2 = 4$". Vergleiche die Wahrheitswerte von $\neg(P \lor Q)$ und $\neg P \lor Q$.

Bestimme die Werte der Teile: $3 > 5$ ist falsch und $2 + 2 = 4$ ist wahr = $P = 0$, $Q = 1$

Berechne zuerst die Klammer: $P \lor Q = 0 \lor 1$ = $1$

Verneine die ganze Klammer: $\neg(P \lor Q) = \neg 1$ = $0$

Berechne jetzt $\neg P \lor Q$: Hier betrifft NICHT nur $P$: $\neg 0 \lor 1 = 1 \lor 1$ = $1$

Answer: $\neg(P \lor Q)$ ist falsch, aber $\neg P \lor Q$ ist wahr. Die Klammern entscheiden, worauf sich NICHT bezieht: auf die ganze Aussage oder nur auf $P$.

Eine zusammengesetzte Aussage in Worten verneinen

Verneine die Aussage "Tom spielt Fußball und Tom spielt Schach". In welchen Fällen ist die Verneinung wahr?

Schreibe die Aussage in Symbolen: $F$: Tom spielt Fußball, $C$: Tom spielt Schach = $F \land C$

Verneine die ganze Aussage: Setze *es stimmt nicht, dass* davor: Es stimmt nicht, dass Tom sowohl Fußball als auch Schach spielt = $\neg(F \land C)$

Prüfe die vier Fälle: $F \land C$ ist nur bei $F = 1$ und $C = 1$ gleich 1, also ist $\neg(F \land C)$ in den anderen drei Fällen 1 = Wahr in 3 von 4 Fällen

Sag es in einfachen Worten: Die Verneinung ist wahr, sobald mindestens eine der beiden Tätigkeiten fehlt = Tom spielt nicht beides

Answer: Die Verneinung lautet: Es stimmt nicht, dass Tom sowohl Fußball als auch Schach spielt, also fehlt mindestens eines davon. Sie lautet nicht "Tom spielt weder Fußball noch Schach": Dieser Satz ist nur in 1 Fall wahr, nicht in 3.

Drei Teile, acht Fälle

Ein Klub lässt dich hinein, wenn du Mitglied bist oder wenn du eine Karte hast und über 16 bist. Mit $M$: du bist Mitglied, $T$: du hast eine Karte, $A$: du bist über 16 lautet die Regel $M \lor (T \land A)$. In wie vielen der 8 Fälle kommst du hinein?

Zähle die Fälle: 3 einfache Aussagen, jede ist 0 oder 1 = $2^3 = 8$ Fälle

Liste die Fälle der Reihe nach auf: $M$, $T$, $A$: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 = 8 Zeilen, beginnend mit 0

Spalte $T \land A$: Nur wahr bei $T = 1$ und $A = 1$: Fälle 011 und 111 = 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1

Spalte $M \lor (T \land A)$: Wahr bei $M = 1$ (Fälle 100 bis 111) oder bei $T \land A = 1$ (Fall 011 kommt dazu) = 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1

Zähle die wahren Fälle: 4 Fälle mit $M = 1$ plus 1 Fall ohne Mitgliedschaft = 5 Fälle

Answer: Du kommst in 5 der 8 Fälle hinein: als Mitglied immer, ohne Mitgliedschaft nur mit Karte und wenn du über 16 bist.

Fast jede Regel, die dir begegnet, ist eine zusammengesetzte Aussage: - **Onlineshops und Suchmaschinen**: ein Filter wie "Schuhe UND Größe 38 UND NICHT rot" verbindet drei Bedingungen - **Programmieren**: Bedingungen wie (angemeldet UND NICHT gesperrt) ODER Admin entscheiden, was eine App als Nächstes tut - **Regeln und Schilder**: "Kinder unter 12 haben freien Eintritt, wenn sie mit einem Erwachsenen kommen" ist erfüllt oder nicht, je nach zwei Tatsachen - **Argumente und Diskussionen**: Wenn du genau weißt, wann ODER und NICHT wahr sind, erkennst du Sätze, die ähnlich klingen, aber Verschiedenes bedeuten - **Digitale Schaltungen**: jeder Chip ist aus UND, ODER und NICHT aufgebaut, denselben Operatoren, die du hier benutzt UND, ODER und NICHT kennst du schon einzeln. In dieser Lektion verbindest du sie zu längeren Aussagen und bestimmst ihren Wahrheitswert sicher.

Mistake: Zu glauben, dass "$P$ oder $Q$" falsch ist, wenn beide Teile wahr sind

Why: Im Alltag meint *oder* oft das eine oder das andere, aber nicht beides. In der Logik ist ODER einschließend: $1 \lor 1 = 1$.

Correct: $P \lor Q$ ist nur falsch, wenn beide Teile falsch sind. Für eins von beiden, aber nicht beide, gibt es einen eigenen Operator: XOR (exklusives ODER).

Mistake: "Ich mag Tee und Kaffee" zu "Ich mag weder Tee noch Kaffee" zu verneinen

Why: *Weder ... noch* ist nur wahr, wenn beide Teile falsch sind (1 Fall). Die Verneinung einer UND-Aussage muss immer wahr sein, wenn mindestens ein Teil falsch ist (3 Fälle).

Correct: Sag "Es stimmt nicht, dass ich sowohl Tee als auch Kaffee mag": Mindestens eines davon mag ich nicht. Die allgemeine Regel (De Morgansche Gesetze) kommt in der Lektion Boolesche Algebra.

Mistake: $\neg P \land Q$ so zu lesen, als wäre es $\neg(P \land Q)$

Why: Ohne Klammern gilt NICHT nur für die Aussage direkt danach. Für $P = 0$ und $Q = 0$: $\neg P \land Q = 1 \land 0 = 0$, aber $\neg(P \land Q) = \neg 0 = 1$.

Correct: Prüfe, worauf sich das NICHT bezieht. Setze Klammern, wenn NICHT für die ganze zusammengesetzte Aussage gelten soll.

Mistake: *aber* nicht als UND zu erkennen

Why: "Der Test war schwer, aber ich habe bestanden" klingt wie ein Gegensatz, doch beide Teile werden als wahr behauptet.

Correct: Übersetze *aber*, *obwohl* und *sowohl ... als auch* mit UND: $H \land S$ (schwerer Test UND bestanden).

Filter im Onlineshop

Shops und Suchmaschinen verbinden Bedingungen mit UND, ODER und NICHT, um zu entscheiden, welche Artikel du siehst.

Der Filter (schwarz ODER blau) UND NICHT gebraucht zeigt nur neue Artikel in einer der beiden Farben.

Spielregeln im Code

Videospiele und Apps prüfen viele Male pro Sekunde zusammengesetzte Bedingungen, um zu entscheiden, was als Nächstes passiert.

Eine Tür öffnet sich bei (Schlüssel UND NICHT Alarm). Mit Schlüssel und ohne Alarm: $1 \land \neg 0 = 1 \land 1 = 1$, also öffnet sich die Tür.

Regeln und Schilder

Regeln auf Schildern, Tickets und in Verträgen sind zusammengesetzte Aussagen, und oft kommt es genau darauf an, wann eine Regel NICHT erfüllt ist.

"Kostenlos parken sonntags oder nach 20 Uhr" gilt an einem Sonntag um 12 Uhr, an einem Montag um 21 Uhr und auch an einem Sonntag um 21 Uhr.

Eine zusammengesetzte Aussage verbindet einfache Aussagen mit UND ($\land$), ODER ($\lor$) und NICHT ($\neg$)

*und* und *aber* werden zu UND, *oder* zu ODER, *nicht* und *es stimmt nicht, dass* zu NICHT

UND ist nur wahr, wenn beide Teile wahr sind; ODER ist nur falsch, wenn beide Teile falsch sind

Für den Wahrheitswert gibst du jedem Teil 1 oder 0, berechnest Klammern und jedes NICHT und verbindest dann

Klammern entscheiden, worauf sich NICHT bezieht: $\neg(P \land Q)$ ist nicht dasselbe wie $\neg P \land Q$

Bei 3 einfachen Aussagen gibt es $2^3 = 8$ Fälle, und die Verneinung einer UND-Aussage ist wahr, sobald mindestens ein Teil falsch ist

Q: Bedeutet "entweder ... oder" dasselbe wie ODER?

A: Nicht immer. Der Operator ODER ist immer einschließend: Er ist auch wahr, wenn beide Teile wahr sind. Im Alltag meint *entweder ... oder* oft eins von beiden, aber nicht beide. Wenn ein Satz das eindeutig meint, schreibe ihn als exklusives ODER (XOR): $(P \lor Q) \land \neg(P \land Q)$. Sonst lies ihn als ODER.

Q: Brauche ich immer Klammern?

A: Bei zwei Teilen und einem Operator nicht. Sobald UND und ODER zusammen vorkommen oder ein NICHT für mehr als eine Aussage gelten soll, machen Klammern die Bedeutung eindeutig. Die Regeln, wie man eine Aussage ohne Klammern liest (NICHT vor UND vor ODER), kommen in der Lektion Boolesche Ausdrücke.

Q: Kann ich für Wahrheitswerte einen Taschenrechner benutzen?

A: Teilweise. Mit 1 und 0 funktioniert UND wie eine Multiplikation ($1 \times 0 = 0$, $1 \times 1 = 1$), und NICHT $P$ ist gleich $1 - P$. Der Rechner in dieser Lektion kennt die Wörter UND, ODER und NICHT nicht, also benutze ihn für solche Produkte und zum Zählen von Fällen wie $2^3$.

Q: Warum kann eine Frage kein Teil einer zusammengesetzten Aussage sein?

A: Eine Aussage muss entweder wahr oder falsch sein. Eine Frage wie "Regnet es?" oder eine Aufforderung wie "Mach die Tür zu!" hat keinen Wahrheitswert, also kann sie kein Teil davon sein.

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Zusammengesetzte boolesche Aussagen

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Logik & Mengen / Boolesche Logik

Zusammengesetzte boolesche Aussagen

Lerne, aus einfachen Aussagen mit UND, ODER und NICHT zusammengesetzte Aussagen zu bilden, zwischen Worten und Symbolen zu übersetzen und ihren Wahrheitswert zu bestimmen.

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