Brauche ich immer Klammern?

Bei zwei Teilen und einem Operator nicht. Sobald UND und ODER zusammen vorkommen oder ein NICHT für mehr als eine Aussage gelten soll, machen Klammern die Bedeutung eindeutig. Die Regeln, wie man eine Aussage ohne Klammern liest (NICHT vor UND vor ODER), kommen in der Lektion Boolesche Ausdrücke.

Kann ich für Wahrheitswerte einen Taschenrechner benutzen?

Teilweise. Mit 1 und 0 funktioniert UND wie eine Multiplikation ($1 \times 0 = 0$, $1 \times 1 = 1$), und NICHT $P$ ist gleich $1 - P$. Der Rechner in dieser Lektion kennt die Wörter UND, ODER und NICHT nicht, also benutze ihn für solche Produkte und zum Zählen von Fällen wie $2^3$.

Warum kann eine Frage kein Teil einer zusammengesetzten Aussage sein?

Eine Aussage muss entweder wahr oder falsch sein. Eine Frage wie "Regnet es?" oder eine Aufforderung wie "Mach die Tür zu!" hat keinen Wahrheitswert, also kann sie kein Teil davon sein.

Lehrermaterialien

Zusammengesetzte boolesche Aussagen

Lerne, aus einfachen Aussagen mit UND, ODER und NICHT zusammengesetzte Aussagen zu bilden, zwischen Worten und Symbolen zu übersetzen und ihren Wahrheitswert zu bestimmen.

Fortgeschritten25 MinLektion

Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Eine einfache Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist, zum Beispiel "Es regnet." Eine zusammengesetzte Aussage verbindet zwei oder mehr einfache Aussagen mit den logischen Operatoren UND (

\land

), ODER (

\lor

) und NICHT (

\neg

). Ihr Wahrheitswert hängt nur von den Wahrheitswerten ihrer Teile ab.

Wir schreiben 1 für wahr und 0 für falsch. Die interaktiven Tabellen in dieser Lektion verwenden ebenfalls 1 und 0.

Von Worten zu Symbolen. Sei

P

: "Es regnet" und

Q

: "Es ist kalt".

In Worten	Symbole	Wahr, wenn
Es regnet und es ist kalt.	$P \land Q$	beide Teile wahr sind
Es regnet oder es ist kalt.	$P \lor Q$	mindestens ein Teil wahr ist
Es regnet nicht.	$\neg P$	$P$ falsch ist
Es regnet, aber es ist nicht kalt.	$P \land \neg Q$	$P$ wahr und $Q$ falsch ist
Weder regnet es, noch ist es kalt.	$\neg P \land \neg Q$	beide Teile falsch sind

Signalwörter: *und*, *aber*, *sowohl ... als auch* bedeuten UND. *oder* bedeutet ODER, und das ist auch wahr, wenn beide Teile wahr sind. *nicht*, *es stimmt nicht, dass* bedeuten NICHT.

Den Wahrheitswert in 3 Schritten bestimmen:

1.Gib jeder einfachen Aussage ihren Wert: 1 oder 0.
2.Berechne die Teile in Klammern und jedes NICHT.
3.Verbinde die Ergebnisse mit UND oder ODER.

Die vier Fälle bei zwei Aussagen (beginnend mit 0 wie in der interaktiven Tabelle; die Lektion Wahrheitstabellen beginnt mit T, beide Reihenfolgen zeigen dieselben Fälle):

$P$	$Q$	$P \land Q$	$P \lor Q$	$\neg P$
0	0	0	0	1
0	1	0	1	1
1	0	0	1	0
1	1	1	1	0

Drei Teile, acht Fälle. Mit einer dritten Aussage

R

gibt es

2^3 = 8

Fälle, und Klammern zeigen, welche Teile zusammengehören. Für

(P \lor Q) \land \neg R

$P$	$Q$	$R$	$P \lor Q$	$\neg R$	$(P \lor Q) \land \neg R$
0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	0	0

Diese zusammengesetzte Aussage ist in 3 der 8 Fälle wahr: wenn mindestens eine von

P

und

Q

wahr und

R

falsch ist. Wie man eine Aussage ohne Klammern liest (die Rangfolge der Operatoren), lernst du in der Lektion Boolesche Ausdrücke.

Probier es gleich aus

Sei

P

: "Der Hund hat Hunger" und

Q

: "Der Hund ist müde". Welche Symbole bedeuten "Der Hund hat Hunger und ist müde"?

Lösungsbeispiele

Sei $P$ : "Der Laden ist offen" und $Q$ : "Ich habe Geld". Schreibe jeden Satz in Symbolen: (a) Der Laden ist offen und ich habe Geld. (b) Der Laden ist nicht offen oder ich habe Geld. (c) Der Laden ist offen, aber ich habe kein Geld. (d) Der Laden ist nicht offen und ich habe kein Geld.

Satz (a)

Das Wort *und* verbindet zwei Teile, die beide als wahr behauptet werden → $P \land Q$

Satz (b)

*nicht* gehört nur zum ersten Teil, *oder* verbindet die beiden Teile → $\neg P \lor Q$

Satz (c)

*aber* bedeutet UND, und *ich habe kein Geld* ist die Negation von $Q$ → $P \land \neg Q$

Satz (d)

Beide Teile sind verneint und mit *und* verbunden → $\neg P \land \neg Q$

Antwort: (a) $P \land Q$ , (b) $\neg P \lor Q$ , (c) $P \land \neg Q$ , (d) $\neg P \land \neg Q$ . Satz (d) kann man auch mit weder ... noch sagen: Der Laden ist weder offen, noch habe ich Geld.

Häufige Fehler

Zu glauben, dass " $P$ oder $Q$ " falsch ist, wenn beide Teile wahr sind

Warum es falsch ist: Im Alltag meint *oder* oft das eine oder das andere, aber nicht beides. In der Logik ist ODER einschließend: $1 \lor 1 = 1$ .

Richtig: $P \lor Q$ ist nur falsch, wenn beide Teile falsch sind. Für eins von beiden, aber nicht beide, gibt es einen eigenen Operator: XOR (exklusives ODER).

"Ich mag Tee und Kaffee" zu "Ich mag weder Tee noch Kaffee" zu verneinen

Warum es falsch ist: *Weder ... noch* ist nur wahr, wenn beide Teile falsch sind (1 Fall). Die Verneinung einer UND-Aussage muss immer wahr sein, wenn mindestens ein Teil falsch ist (3 Fälle).

Richtig: Sag "Es stimmt nicht, dass ich sowohl Tee als auch Kaffee mag": Mindestens eines davon mag ich nicht. Die allgemeine Regel (De Morgansche Gesetze) kommt in der Lektion Boolesche Algebra.

$\neg P \land Q$ so zu lesen, als wäre es $\neg(P \land Q)$

Warum es falsch ist: Ohne Klammern gilt NICHT nur für die Aussage direkt danach. Für $P = 0$ und $Q = 0$ : $\neg P \land Q = 1 \land 0 = 0$ , aber $\neg(P \land Q) = \neg 0 = 1$ .

Richtig: Prüfe, worauf sich das NICHT bezieht. Setze Klammern, wenn NICHT für die ganze zusammengesetzte Aussage gelten soll.

*aber* nicht als UND zu erkennen

Warum es falsch ist: "Der Test war schwer, aber ich habe bestanden" klingt wie ein Gegensatz, doch beide Teile werden als wahr behauptet.

Richtig: Übersetze *aber*, *obwohl* und *sowohl ... als auch* mit UND: $H \land S$ (schwerer Test UND bestanden).

Interaktive Visualisierung

Wahrheitstabelle

Operator wählen

P ∧ Q

P	Q	P ∧ Q
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

1= Wahr0= Falsch

Wahrheitstabelle

Ausdruck(P ∨ Q) ∧ ¬R

P	Q	R	P ∨ Q	¬R	(P ∨ Q) ∧ ¬R
0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	0	0

1= Wahr0= Falsch

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Sei $P$ : "Der Hund hat Hunger" und $Q$ : "Der Hund ist müde". Welche Symbole bedeuten "Der Hund hat Hunger und ist müde"?

Warum es wichtig ist

Fast jede Regel, die dir begegnet, ist eine zusammengesetzte Aussage:

Onlineshops und Suchmaschinen: ein Filter wie "Schuhe UND Größe 38 UND NICHT rot" verbindet drei Bedingungen
Programmieren: Bedingungen wie (angemeldet UND NICHT gesperrt) ODER Admin entscheiden, was eine App als Nächstes tut
Regeln und Schilder: "Kinder unter 12 haben freien Eintritt, wenn sie mit einem Erwachsenen kommen" ist erfüllt oder nicht, je nach zwei Tatsachen
Argumente und Diskussionen: Wenn du genau weißt, wann ODER und NICHT wahr sind, erkennst du Sätze, die ähnlich klingen, aber Verschiedenes bedeuten
Digitale Schaltungen: jeder Chip ist aus UND, ODER und NICHT aufgebaut, denselben Operatoren, die du hier benutzt

UND, ODER und NICHT kennst du schon einzeln. In dieser Lektion verbindest du sie zu längeren Aussagen und bestimmst ihren Wahrheitswert sicher.

Anwendungen im echten Leben

Filter im Onlineshop

Shops und Suchmaschinen verbinden Bedingungen mit UND, ODER und NICHT, um zu entscheiden, welche Artikel du siehst.

Beispiel:

Der Filter (schwarz ODER blau) UND NICHT gebraucht zeigt nur neue Artikel in einer der beiden Farben.

1Probiere es selbst

Ein Filter zeigt eine Jacke, wenn $(B \lor S) \land C$ gilt, mit $B$ : die Jacke ist blau, $S$ : sie ist reduziert, $C$ : sie kostet weniger als 50 €. Eine Jacke ist blau, reduziert und kostet 65 €.

Zeigt der Filter diese Jacke an?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Mit 1 und 0 funktioniert UND wie eine Multiplikation. Schreibe den letzten Schritt als Produkt:

Spielregeln im Code

Videospiele und Apps prüfen viele Male pro Sekunde zusammengesetzte Bedingungen, um zu entscheiden, was als Nächstes passiert.

Beispiel:

Eine Tür öffnet sich bei (Schlüssel UND NICHT Alarm). Mit Schlüssel und ohne Alarm: $1 \land \neg 0 = 1 \land 1 = 1$ , also öffnet sich die Tür.

2Probiere es selbst

Eine Spielerin steigt ein Level auf, wenn $S \land (\neg T \lor K)$ gilt, mit $S$ : die Punktzahl ist mindestens 100, $T$ : die Zeit ist abgelaufen, $K$ : sie hat einen Bonusschlüssel.

In wie vielen der 8 Fälle steigt sie ein Level auf?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Anzahl als Fälle mit wahrem $S$ minus die Fälle, die scheitern:

Regeln und Schilder

Regeln auf Schildern, Tickets und in Verträgen sind zusammengesetzte Aussagen, und oft kommt es genau darauf an, wann eine Regel NICHT erfüllt ist.

Beispiel:

"Kostenlos parken sonntags oder nach 20 Uhr" gilt an einem Sonntag um 12 Uhr, an einem Montag um 21 Uhr und auch an einem Sonntag um 21 Uhr.

3Probiere es selbst

Ein Schild im Museum sagt: Kinder haben freien Eintritt, wenn sie unter 12 sind und mit einem Erwachsenen kommen. Sei $U$ : das Kind ist unter 12, $A$ : das Kind kommt mit einem Erwachsenen.

In wie vielen der 4 Fälle ist die Regel für freien Eintritt NICHT erfüllt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Anzahl als alle Fälle minus die Fälle, in denen die Regel erfüllt ist:

Wichtige Erkenntnisse

1Eine zusammengesetzte Aussage verbindet einfache Aussagen mit UND ( $\land$ ), ODER ( $\lor$ ) und NICHT ( $\neg$ )
2*und* und *aber* werden zu UND, *oder* zu ODER, *nicht* und *es stimmt nicht, dass* zu NICHT
3UND ist nur wahr, wenn beide Teile wahr sind; ODER ist nur falsch, wenn beide Teile falsch sind
4Für den Wahrheitswert gibst du jedem Teil 1 oder 0, berechnest Klammern und jedes NICHT und verbindest dann
5Klammern entscheiden, worauf sich NICHT bezieht: $\neg(P \land Q)$ ist nicht dasselbe wie $\neg P \land Q$
6Bei 3 einfachen Aussagen gibt es $2^3 = 8$ Fälle, und die Verneinung einer UND-Aussage ist wahr, sobald mindestens ein Teil falsch ist

Häufig gestellte Fragen

Nicht immer. Der Operator ODER ist immer einschließend: Er ist auch wahr, wenn beide Teile wahr sind. Im Alltag meint *entweder ... oder* oft eins von beiden, aber nicht beide. Wenn ein Satz das eindeutig meint, schreibe ihn als exklusives ODER (XOR):

(P \lor Q) \land \neg(P \land Q)

. Sonst lies ihn als ODER.

Glossar

Einfache Aussage: Ein einzelner Satz, der entweder wahr oder falsch ist, zum Beispiel " $7$ ist eine Primzahl"
Zusammengesetzte Aussage: Eine Aussage aus einfachen Aussagen, verbunden mit UND, ODER und NICHT, zum Beispiel $P \land \neg Q$
Wahrheitswert: Ob eine Aussage wahr (1) oder falsch (0) ist
Konjunktion (UND): $P \land Q$ , nur wahr, wenn beide Teile wahr sind
Disjunktion (ODER): $P \lor Q$ , wahr, wenn mindestens ein Teil wahr ist
Negation (NICHT): $\neg P$ , genau dann wahr, wenn $P$ falsch ist

Formelkarte

UND (Konjunktion)

P \land Q

Nur wahr (1), wenn $P$ und $Q$ beide wahr sind

ODER (Disjunktion)

P \lor Q

Nur falsch (0), wenn $P$ und $Q$ beide falsch sind

NICHT (Negation)

\neg P

Kehrt den Wert um: $\neg 1 = 0$ und $\neg 0 = 1$

Anzahl der Fälle

2^n

$n$ einfache Aussagen ergeben $2^n$ Fälle: 4 bei zwei, 8 bei drei

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Filter im Onlineshop

Spielregeln im Code

Regeln und Schilder

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

UND (Konjunktion)

ODER (Disjunktion)

NICHT (Negation)

Anzahl der Fälle

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Wahre und falsche Aussagen

Die UND-Operation

Die ODER-Verknüpfung