Die Gattertabellen lesen

Die Eingänge sind $A = 1$ und $B = 0$. Bestimme den Ausgang eines UND-, ODER-, XOR-, NAND- und NOR-Gatters.

UND-Gatter: UND braucht zwei Einsen, aber $B = 0$ = UND: $0$

ODER-Gatter: ODER braucht mindestens eine 1, und $A = 1$ = ODER: $1$

XOR-Gatter: Die Eingänge $1$ und $0$ sind verschieden = XOR: $1$

NAND-Gatter: NAND ist das Gegenteil von UND: UND ergab $0$, also umkehren = NAND: $1$

NOR-Gatter: NOR ist das Gegenteil von ODER: ODER ergab $1$, also umkehren = NOR: $0$

Answer: UND $= 0$, ODER $= 1$, XOR $= 1$, NAND $= 1$, NOR $= 0$. NAND und NOR sind immer das Gegenteil von UND und ODER.

UND gefolgt von NICHT

$A$ und $B$ gehen in ein UND-Gatter, und dessen Ausgang geht in ein NICHT-Gatter. Bestimme den Ausgang $Y$ für alle vier Eingangszeilen. Welches einzelne Gatter erledigt dieselbe Aufgabe?

Die Eingangszeilen aufschreiben: Beginne mit $0, 0$: Die Zeilen sind $00$, $01$, $10$, $11$ = 4 Zeilen

Ausgang des UND-Gatters: UND ist nur 1, wenn beide Eingänge 1 sind = UND: $0, 0, 0, 1$

Ausgang des NICHT-Gatters: Kehre jeden Wert der UND-Spalte um = $Y$: $1, 1, 1, 0$

Mit der Gattertabelle vergleichen: Die Spalte $1, 1, 1, 0$ ist die NAND-Spalte = $Y = \overline{A \cdot B}$

Answer: Der Ausgang ist $1, 1, 1, 0$, also verhält sich UND gefolgt von NICHT genau wie ein NAND-Gatter. Daher kommt der Name NICHT UND.

Eine Schaltung mit drei Gattern auswerten

$A$ und $B$ gehen in ein ODER-Gatter. $B$ und $C$ gehen in ein UND-Gatter. Die beiden Ausgänge gehen in ein XOR-Gatter, das $Y$ liefert. Bestimme $Y$ für $A = 0$, $B = 1$, $C = 0$.

Erstes Gatter: ODER von $A$ und $B$: $0 \lor 1$: Mindestens ein Eingang ist 1 = ODER-Ausgang $= 1$

Zweites Gatter: UND von $B$ und $C$: $1 \land 0$: Nicht beide Eingänge sind 1 = UND-Ausgang $= 0$

Letztes Gatter: XOR der beiden Ausgänge: Das XOR-Gatter bekommt $1$ und $0$, sie sind verschieden = $Y = 1$

Mit dem Ausdruck prüfen: $Y = (A \lor B) \oplus (B \land C) = 1 \oplus 0$ = $Y = 1$

Answer: $Y = 1$. Das letzte Gatter sieht $A$, $B$ und $C$ nie direkt: Es sieht nur die Ausgänge der ersten beiden Gatter.

Von der Schaltung zum booleschen Ausdruck

$A$ geht durch ein NICHT-Gatter. Dessen Ausgang und $B$ gehen in ein UND-Gatter. Dieser Ausgang und $C$ gehen in ein ODER-Gatter, das $Y$ liefert. Stelle den booleschen Ausdruck der Schaltung auf und bestimme $Y$ für $A = 1$, $B = 1$, $C = 0$.

Den Ausgang des NICHT-Gatters benennen: Das NICHT-Gatter kehrt $A$ um = $\neg A$

Den Ausgang des UND-Gatters benennen: Seine Eingänge sind $\neg A$ und $B$ = $\neg A \land B$

Den Ausgang des ODER-Gatters benennen: Seine Eingänge sind $\neg A \land B$ und $C$ = $Y = (\neg A \land B) \lor C$

Für $A = 1$, $B = 1$, $C = 0$ auswerten: $\neg A = 0$, dann $0 \land 1 = 0$, dann $0 \lor 0 = 0$ = $Y = 0$

Answer: $Y = (\neg A \land B) \lor C$, in der Technik geschrieben als $Y = \overline{A} \cdot B + C$. Für $A = 1$, $B = 1$, $C = 0$ ist der Ausgang $Y = 0$.

Der Halbaddierer

Ein Computer addiert zwei Binärziffern $A$ und $B$. Das Ergebnis hat eine Summenziffer $S$ und eine Übertragsziffer $C$ (zum Beispiel $1 + 1 = 10$ im Binärsystem: $C = 1$, $S = 0$). Welche Gatter erzeugen $S$ und $C$?

Alle vier Additionen binär aufschreiben: $0 + 0 = 00$, $0 + 1 = 01$, $1 + 0 = 01$, $1 + 1 = 10$ = Ergebnisse: 00, 01, 01, 10

Die Summenspalte $S$ ablesen (rechte Ziffer): $S$: $0, 1, 1, 0$, also nur 1, wenn die Eingänge verschieden sind = $S = A \oplus B$ (XOR)

Die Übertragsspalte $C$ ablesen (linke Ziffer): $C$: $0, 0, 0, 1$, also nur 1, wenn beide Eingänge 1 sind = $C = A \land B$ (UND)

$1 + 1$ prüfen: $S = 1 \oplus 1 = 0$ und $C = 1 \land 1 = 1$, das Ergebnis ist also binär $10$ = $10_2 = 2$ ✓

Answer: $S = A \oplus B$ und $C = A \land B$. Ein XOR-Gatter und ein UND-Gatter bilden einen **Halbaddierer**, den ersten Baustein jedes Taschenrechners und Computers.

Mistake: Zu glauben, ein ODER-Gatter liefere $0$, wenn beide Eingänge $1$ sind

Why: Das ist das XOR-Gatter. ODER ist 1, wenn mindestens ein Eingang 1 ist, und dazu gehört auch der Fall, dass beide 1 sind.

Correct: ODER: $1 \lor 1 = 1$. XOR: $1 \oplus 1 = 0$. Nur XOR verlangt, dass die Eingänge verschieden sind.

Mistake: $A + B$ als gewöhnliche Addition lesen und $1 + 1 = 2$ schreiben

Why: In der Gatterschreibweise bedeutet $+$ ODER, und der Ausgang eines Gatters kann nur 0 oder 1 sein.

Correct: Bei Gattern gilt $1 + 1 = 1$ (ODER). Der Wert 2 tritt nur beim Addieren von Binärzahlen auf und wird dann als $10$ mit einer Übertragsziffer geschrieben.

Mistake: NAND als NICHT A UND NICHT B behandeln, also als $\overline{A} \cdot \overline{B}$

Why: NAND kehrt den Ausgang von UND um, nicht die Eingänge. Für $A = 1$, $B = 0$: NAND ergibt $\overline{1 \cdot 0} = 1$, aber $\overline{1} \cdot \overline{0} = 0 \cdot 1 = 0$.

Correct: NAND $= \overline{A \cdot B}$: zuerst UND, dann NICHT. Der Strich steht über dem ganzen Produkt.

Mistake: Die ursprünglichen Eingänge in das letzte Gatter einer Schaltung einsetzen

Why: In einer Schaltung bekommt jedes Gatter nur die Leitungen, die mit ihm verbunden sind. Das letzte Gatter bekommt meist die Ausgänge früherer Gatter, nicht A, B und C.

Correct: Arbeite von den Eingängen zum Ausgang, schreibe den Ausgang jedes Gatters daneben und verwende diese Werte für das nächste Gatter.

Alarmanlagen

Eine Alarmanlage ist eine kleine Logikschaltung: Sensoren liefern 1 oder 0, Gatter entscheiden, ob die Sirene eine 1 bekommt.

Mit dem Schalter für scharf $A$, dem Türsensor $D$ und dem Fenstersensor $W$ ertönt der Alarm, wenn $Y = A \land (D \lor W) = 1$.

Zahlen im Chip addieren

Jede Addition eines Computers ist aus Halbaddierern und Volladdierern aufgebaut, die aus Gattern bestehen.

Ein Halbaddierer berechnet die Summenziffer $S = A \oplus B$ und die Übertragsziffer $C = A \land B$ zweier Binärziffern.

Chips aus NAND-Gattern bauen

Chiphersteller mögen NAND-Gatter, weil sich jedes andere Gatter allein aus NAND-Gattern bauen lässt.

Verbinde beide Eingänge eines NAND-Gatters mit demselben Signal $A$: Der Ausgang ist $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$, es arbeitet also als NICHT-Gatter.

Q: Warum verwenden Gatter 1 und 0 statt wahr und falsch?

A: In einem Chip gibt es nur Spannungen. Eine hohe Spannung steht für 1 (wahr), eine niedrige für 0 (falsch). Nur zwei Stufen machen Schaltungen schnell und zuverlässig, denn auch ein etwas schwächeres Signal wird noch eindeutig als 1 erkannt.

Q: Was ist der Unterschied zwischen ODER und XOR?

A: Sie unterscheiden sich nur in einer Zeile: wenn beide Eingänge 1 sind. ODER liefert $1$ (mindestens einer ist an), XOR liefert $0$ (die Eingänge sind nicht verschieden). XOR ist das Entweder-oder-aber-nicht-beides-Gatter.

Q: Warum sind NAND-Gatter so beliebt?

A: Jedes andere Gatter lässt sich allein aus NAND-Gattern bauen. Zum Beispiel ist ein NAND mit verbundenen Eingängen ein NICHT-Gatter. So kann eine Fabrik Chips aus einer einzigen Gattersorte herstellen. Die Algebra dahinter siehst du in der Lektion Boolesche Algebra.

Q: Kann ich Gatter mit gewöhnlicher Rechnung prüfen?

A: Ja, mit 0 und 1: UND ist $A \times B$, NICHT ist $1 - A$, ODER ist $A + B - A \times B$ und XOR ist $A + B - 2 \times A \times B$. Zum Beispiel ist ODER für $1, 1$ gleich $1 + 1 - 1 = 1$. Probiere es im Taschenrechner aus.