Was ist der Unterschied zwischen ODER und XOR?

Sie unterscheiden sich nur in einer Zeile: wenn beide Eingänge 1 sind. ODER liefert $1$ (mindestens einer ist an), XOR liefert $0$ (die Eingänge sind nicht verschieden). XOR ist das Entweder-oder-aber-nicht-beides-Gatter.

Warum sind NAND-Gatter so beliebt?

Jedes andere Gatter lässt sich allein aus NAND-Gattern bauen. Zum Beispiel ist ein NAND mit verbundenen Eingängen ein NICHT-Gatter. So kann eine Fabrik Chips aus einer einzigen Gattersorte herstellen. Die Algebra dahinter siehst du in der Lektion Boolesche Algebra.

Kann ich Gatter mit gewöhnlicher Rechnung prüfen?

Ja, mit 0 und 1: UND ist $A \times B$, NICHT ist $1 - A$, ODER ist $A + B - A \times B$ und XOR ist $A + B - 2 \times A \times B$. Zum Beispiel ist ODER für $1, 1$ gleich $1 + 1 - 1 = 1$. Probiere es im Taschenrechner aus.

Lehrermaterialien

Logikgatter

Lerne, wie UND-, ODER-, NICHT-, XOR-, NAND- und NOR-Gatter aus Einsen und Nullen Entscheidungen machen und wie du den Ausgang einer kleinen Schaltung findest.

Fortgeschritten25 MinLektion

Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Ein Logikgatter ist eine winzige elektronische Schaltung mit einem oder zwei Eingängen und einem Ausgang. Jeder Eingang und jeder Ausgang ist entweder 1 oder 0:

1 = Spannung an (hoch), das bedeutet wahr
0 = Spannung aus (niedrig), das bedeutet falsch

Jedes Gatter führt eine boolesche Operation aus. Gatter sind die Hardware-Version von UND, ODER und NICHT aus den früheren Lektionen.

Die Gatter mit zwei Eingängen (Eingänge

A

und

B

, die Zeilen beginnen mit

0, 0

$A$	$B$	UND	ODER	XOR	NAND	NOR
0	0	0	0	0	1	1
0	1	0	1	1	1	0
1	0	0	1	1	1	0
1	1	1	1	0	0	0

Das NICHT-Gatter (auch Inverter genannt) hat nur einen Eingang und kehrt ihn um: Eingang 0 ergibt Ausgang 1, Eingang 1 ergibt Ausgang 0.

So merkst du sie dir:

UND (AND): Ausgang 1 nur, wenn beide Eingänge 1 sind
ODER (OR): Ausgang 1, wenn mindestens ein Eingang 1 ist
XOR (exklusives ODER): Ausgang 1, wenn die Eingänge verschieden sind
NAND (NICHT UND): das Gegenteil von UND, Ausgang 0 nur, wenn beide Eingänge 1 sind
NOR (NICHT ODER): das Gegenteil von ODER, Ausgang 1 nur, wenn beide Eingänge 0 sind

Schreibweise: In der Technik schreibt man oft

A \cdot B

für UND,

A + B

für ODER und

\overline{A}

für NICHT. Das bedeutet genau dasselbe wie

A \land B

A \lor B

und

\neg A

. XOR schreibt man

A \oplus B

, NAND ist

\overline{A \cdot B}

und NOR ist

\overline{A + B}

. Vorsicht: Hier gilt

1 + 1 = 1

, denn

+

bedeutet ODER.

Eine Schaltung verbindet Gatter: Der Ausgang eines Gatters wird zum Eingang des nächsten. Um den Endausgang zu finden, gehst du von den Eingängen zum Ausgang, ein Gatter nach dem anderen.

Die interaktive Tabelle in dieser Lektion nennt die Eingänge

A

und

B

und schreibt 1 und 0. Sie zeigt das Symbol jedes Gatters, auch für NAND und NOR.

Probier es gleich aus

Welches Gatter liefert nur dann den Ausgang 1, wenn beide Eingänge 1 sind?

Lösungsbeispiele

Die Eingänge sind $A = 1$ und $B = 0$ . Bestimme den Ausgang eines UND-, ODER-, XOR-, NAND- und NOR-Gatters.

UND-Gatter

UND braucht zwei Einsen, aber $B = 0$ → UND: $0$

ODER-Gatter

ODER braucht mindestens eine 1, und $A = 1$ → ODER: $1$

XOR-Gatter

Die Eingänge $1$ und $0$ sind verschieden → XOR: $1$

NAND-Gatter

NAND ist das Gegenteil von UND: UND ergab $0$ , also umkehren → NAND: $1$

NOR-Gatter

NOR ist das Gegenteil von ODER: ODER ergab $1$ , also umkehren → NOR: $0$

Antwort: UND $= 0$ , ODER $= 1$ , XOR $= 1$ , NAND $= 1$ , NOR $= 0$ . NAND und NOR sind immer das Gegenteil von UND und ODER.

Häufige Fehler

Zu glauben, ein ODER-Gatter liefere $0$ , wenn beide Eingänge $1$ sind

Warum es falsch ist: Das ist das XOR-Gatter. ODER ist 1, wenn mindestens ein Eingang 1 ist, und dazu gehört auch der Fall, dass beide 1 sind.

Richtig: ODER: $1 \lor 1 = 1$ . XOR: $1 \oplus 1 = 0$ . Nur XOR verlangt, dass die Eingänge verschieden sind.

$A + B$ als gewöhnliche Addition lesen und $1 + 1 = 2$ schreiben

Warum es falsch ist: In der Gatterschreibweise bedeutet $+$ ODER, und der Ausgang eines Gatters kann nur 0 oder 1 sein.

Richtig: Bei Gattern gilt $1 + 1 = 1$ (ODER). Der Wert 2 tritt nur beim Addieren von Binärzahlen auf und wird dann als $10$ mit einer Übertragsziffer geschrieben.

NAND als NICHT A UND NICHT B behandeln, also als $\overline{A} \cdot \overline{B}$

Warum es falsch ist: NAND kehrt den Ausgang von UND um, nicht die Eingänge. Für $A = 1$ , $B = 0$ : NAND ergibt $\overline{1 \cdot 0} = 1$ , aber $\overline{1} \cdot \overline{0} = 0 \cdot 1 = 0$ .

Richtig: NAND $= \overline{A \cdot B}$ : zuerst UND, dann NICHT. Der Strich steht über dem ganzen Produkt.

Die ursprünglichen Eingänge in das letzte Gatter einer Schaltung einsetzen

Warum es falsch ist: In einer Schaltung bekommt jedes Gatter nur die Leitungen, die mit ihm verbunden sind. Das letzte Gatter bekommt meist die Ausgänge früherer Gatter, nicht A, B und C.

Richtig: Arbeite von den Eingängen zum Ausgang, schreibe den Ausgang jedes Gatters daneben und verwende diese Werte für das nächste Gatter.

Interaktive Visualisierung

Wahrheitstabelle

Operator wählen

A ∧ B

A	B	A ∧ B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

1= Wahr0= Falsch

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Welches Gatter liefert nur dann den Ausgang 1, wenn beide Eingänge 1 sind?

Warum es wichtig ist

Jedes digitale Gerät, das du besitzt, ist aus Logikgattern gebaut:

Computerchips: Ein Prozessor enthält Milliarden von Transistoren, die zu Gattern verschaltet sind, und alles, was er tut (addieren, vergleichen, speichern), läuft auf UND, ODER und NICHT mit Einsen und Nullen hinaus
Zahlen addieren: Zwei Gatter, ein XOR und ein UND, reichen aus, um zwei Binärziffern zu addieren, und Ketten solcher Schaltungen addieren ganze Zahlen
Alarmanlagen und Sicherheitssysteme: Ein Alarm ertönt, wenn er scharf geschaltet ist UND eine Tür ODER ein Fenster offen ist
Autos und Maschinen: Eine Gurtwarnung leuchtet, wenn der Motor läuft UND der Gurt NICHT angelegt ist; eine Presse arbeitet nur, wenn beide Hände zwei Knöpfe drücken (UND)
Licht im Haus: Ein Licht, das von zwei Stellen geschaltet werden kann (Treppe, Flur), ist eine XOR-Schaltung

In den vorherigen Lektionen hast du boolesche Ausdrücke auf Papier geschrieben. Logikgatter sind dieselben Ausdrücke als Hardware gebaut. Wer eine Schaltung lesen kann, versteht also die Sprache der Computer.

Anwendungen im echten Leben

Alarmanlagen

Eine Alarmanlage ist eine kleine Logikschaltung: Sensoren liefern 1 oder 0, Gatter entscheiden, ob die Sirene eine 1 bekommt.

Beispiel:

Mit dem Schalter für scharf $A$ , dem Türsensor $D$ und dem Fenstersensor $W$ ertönt der Alarm, wenn $Y = A \land (D \lor W) = 1$ .

1Probiere es selbst

Eine Alarmanlage verwendet $Y = A \land (D \lor W)$ : $A = 1$ , wenn die Anlage scharf ist, $D = 1$ , wenn die Tür offen ist, $W = 1$ , wenn das Fenster offen ist.

Bei wie vielen aller möglichen Eingangskombinationen ertönt der Alarm?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Anzahl der Eingangskombinationen als Zweierpotenz:

Zahlen im Chip addieren

Jede Addition eines Computers ist aus Halbaddierern und Volladdierern aufgebaut, die aus Gattern bestehen.

Beispiel:

Ein Halbaddierer berechnet die Summenziffer $S = A \oplus B$ und die Übertragsziffer $C = A \land B$ zweier Binärziffern.

2Probiere es selbst

Ein Halbaddierer bekommt die Eingänge $A = 1$ und $B = 1$ . Er gibt $S = A \oplus B$ und $C = A \land B$ aus, und das Ergebnis wird als Binärzahl $CS$ gelesen.

Was sind S und C, und für welche gewöhnliche Zahl steht das Ergebnis?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Addition, die die Schaltung ausführt:

Chips aus NAND-Gattern bauen

Chiphersteller mögen NAND-Gatter, weil sich jedes andere Gatter allein aus NAND-Gattern bauen lässt.

Beispiel:

Verbinde beide Eingänge eines NAND-Gatters mit demselben Signal $A$ : Der Ausgang ist $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$ , es arbeitet also als NICHT-Gatter.

3Probiere es selbst

Ein kleiner Chipbaustein enthält 4 NAND-Gatter. Ein NICHT-Gatter braucht 1 NAND-Gatter, ein UND-Gatter braucht 2 (ein NAND, gefolgt von einem NAND als NICHT). Eine Entwicklerin braucht 3 UND-Gatter und 2 NICHT-Gatter.

Wie viele NAND-Gatter und wie viele Chipbausteine braucht sie?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Anzahl der NAND-Gatter als eine Rechnung:

Wichtige Erkenntnisse

1Ein Logikgatter bekommt Eingänge, die 1 (Spannung an) oder 0 (Spannung aus) sind, und liefert einen Ausgang, ebenfalls 1 oder 0
2UND liefert 1 nur, wenn beide Eingänge 1 sind; ODER liefert 1, wenn mindestens ein Eingang 1 ist; NICHT kehrt seinen einzigen Eingang um
3XOR liefert 1, wenn die Eingänge verschieden sind; NAND und NOR sind das Gegenteil von UND und ODER
4Gatterschreibweise: $A \cdot B$ (UND), $A + B$ (ODER), $\overline{A}$ (NICHT), $A \oplus B$ (XOR), und hier gilt $1 + 1 = 1$
5Um den Ausgang einer Schaltung zu finden, gehst du von den Eingängen zum Ausgang und notierst den Ausgang jedes Gatters
6Benenne den Ausgang jedes Gatters als Ausdruck, dann erhältst du den booleschen Ausdruck der ganzen Schaltung

Häufig gestellte Fragen

In einem Chip gibt es nur Spannungen. Eine hohe Spannung steht für 1 (wahr), eine niedrige für 0 (falsch). Nur zwei Stufen machen Schaltungen schnell und zuverlässig, denn auch ein etwas schwächeres Signal wird noch eindeutig als 1 erkannt.

Glossar

Logikgatter: Eine elektronische Schaltung, die eine boolesche Operation mit Eingängen aus 1 und 0 ausführt
Eingang / Ausgang: Die Signale, die in ein Gatter hineingehen, und das einzige Signal, das herauskommt
Schaltung: Durch Leitungen verbundene Gatter, bei denen der Ausgang eines Gatters ein Eingang eines anderen ist
Inverter: Ein anderer Name für das NICHT-Gatter, das 1 in 0 und 0 in 1 umkehrt
XOR (exklusives ODER): Ein Gatter, dessen Ausgang 1 ist, wenn seine Eingänge verschieden sind, geschrieben $A \oplus B$
Halbaddierer: Eine Schaltung aus einem XOR- und einem UND-Gatter, die zwei Binärziffern addiert: $S = A \oplus B$ , $C = A \land B$

Formelkarte

UND

Y = A \cdot B = A \land B

1 nur, wenn beide Eingänge 1 sind

ODER

Y = A + B = A \lor B

1, wenn mindestens ein Eingang 1 ist

NICHT

Y = \overline{A} = \neg A

Kehrt den Eingang um

XOR

Y = A \oplus B

1, wenn die Eingänge verschieden sind

NAND

Y = \overline{A \cdot B}

Gegenteil von UND: 0 nur, wenn beide Eingänge 1 sind

NOR

Y = \overline{A + B}

Gegenteil von ODER: 1 nur, wenn beide Eingänge 0 sind

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Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

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Wahrheitstabelle

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Anwendungen im echten Leben

Alarmanlagen

Zahlen im Chip addieren

Chips aus NAND-Gattern bauen

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Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

UND

ODER

NICHT

XOR

NAND

NOR

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Einführung in die Boolesche Logik

Wahre und falsche Aussagen

Die UND-Operation

Die ODER-Verknüpfung