Wenn-dann-Aussagen

Eine **Wenn-dann-Aussage**, auch **Implikation** oder **Konditional** genannt, verbindet zwei Aussagen mit den Wörtern **wenn** und **dann**: $$\text{Wenn } p\text{, dann } q.$$ - Der Teil nach "wenn" ist die **Voraussetzung** ($p$), die Bedingung. - Der Teil nach "dann" ist die **Folgerung** ($q$), das, was folgen muss. In Symbolen schreiben wir $p \to q$ und lesen "wenn $p$, dann $q$" oder "aus $p$ folgt $q$". **Beispiel:** Wenn eine Zahl auf 0 endet, dann ist sie durch 10 teilbar. - Voraussetzung $p$: eine Zahl endet auf 0 - Folgerung $q$: die Zahl ist durch 10 teilbar Stell dir eine Wenn-dann-Aussage als **Versprechen** vor. Das Versprechen ist nur gebrochen, wenn die Voraussetzung eintritt und die Folgerung nicht. Also ist $p \to q$ **in genau einem Fall falsch**: $p$ ist wahr und $q$ ist falsch. In allen anderen Fällen ist sie wahr. | $p$ | $q$ | $p \to q$ | |:---:|:---:|:---:| | W | W | W | | W | F | F | | F | W | W | | F | F | W | Die interaktive Wahrheitstabelle in dieser Lektion zeigt dieselben vier Zeilen in umgekehrter Reihenfolge, beginnend mit F, F. Beide Reihenfolgen sind richtig. Ein Fall, in dem die Voraussetzung wahr und die Folgerung falsch ist, heißt **Gegenbeispiel**. Ein einziges Gegenbeispiel reicht, um zu zeigen, dass eine Wenn-dann-Aussage falsch ist.

Voraussetzung und Folgerung finden

Bestimme Voraussetzung und Folgerung: "Wenn ein Dreieck einen rechten Winkel hat, dann ist es ein rechtwinkliges Dreieck."

Finde den Teil nach "wenn": "ein Dreieck hat einen rechten Winkel" = Voraussetzung $p$: ein Dreieck hat einen rechten Winkel

Finde den Teil nach "dann": "es ist ein rechtwinkliges Dreieck" = Folgerung $q$: das Dreieck ist rechtwinklig

Schreibe es in Symbolen: Die Bedingung steht zuerst, das Ergebnis danach = $p \to q$

Answer: Voraussetzung: ein Dreieck hat einen rechten Winkel. Folgerung: es ist ein rechtwinkliges Dreieck. In Symbolen: $p \to q$.

Einen Alltagssatz umformulieren

Schreibe in Wenn-dann-Form: "Ich nehme einen Regenschirm mit, sobald es regnet."

Finde die Bedingung: Das Wort "sobald" leitet die Bedingung ein: es regnet = Voraussetzung: es regnet

Finde, was aus der Bedingung folgt: Was passiert, wenn es regnet? Ich nehme einen Regenschirm mit = Folgerung: ich nehme einen Regenschirm mit

Setze die Voraussetzung nach "wenn" und die Folgerung nach "dann": Der Satz begann mit der Folgerung, also ändern wir die Reihenfolge = Wenn es regnet, dann nehme ich einen Regenschirm mit.

Answer: Wenn es regnet, dann nehme ich einen Regenschirm mit. Im ursprünglichen Satz steht die Voraussetzung nicht immer am Anfang.

Einen Mathe-Satz umformulieren und prüfen

Schreibe "Jedes Vielfache von 10 ist gerade" in Wenn-dann-Form und prüfe die Aussage mit der Zahl 70.

Finde, wovon wir ausgehen: Wir gehen von einer Zahl aus, die ein Vielfaches von 10 ist = $p$: eine Zahl ist ein Vielfaches von 10

Finde, was darüber behauptet wird: So eine Zahl ist gerade = $q$: die Zahl ist gerade

Schreibe die Implikation: Wenn $p$, dann $q$ = Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 10 ist, dann ist sie gerade.

Prüfe mit 70: $70 = 10 \times 7$, also ist die Voraussetzung wahr. $70 \div 2 = 35$, also ist 70 gerade = Die Folgerung ist für 70 wahr

Answer: Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 10 ist, dann ist sie gerade. Für 70 sind beide Teile wahr, dieser Fall passt also zur Aussage.

Wann ist ein Versprechen gebrochen?

Eine Lehrerin sagt: "Wenn du mindestens 80 Punkte erreichst, dann bekommst du einen Sticker." Vier Kinder: Ana hat 85 Punkte und bekommt einen Sticker, Ben hat 90 Punkte und bekommt keinen, Cleo hat 70 Punkte und bekommt einen Sticker, Dan hat 60 Punkte und bekommt keinen. Wer zeigt, dass die Lehrerin ihr Versprechen gebrochen hat?

Bestimme die Voraussetzung $p$ für jedes Kind: $p$: Punkte $\geq 80$. Ana $85$, Ben $90$: wahr. Cleo $70$, Dan $60$: falsch = $p$ ist nur für Ana und Ben wahr

Bestimme die Folgerung $q$ für jedes Kind: $q$: bekommt einen Sticker. Ana und Cleo: wahr. Ben und Dan: falsch = $q$ ist für Ben und Dan falsch

Suche den einzigen falschen Fall: $p$ wahr und $q$ falsch: Ana: W, W. Ben: W, F. Cleo: F, W. Dan: F, F = Nur Ben hat W und F

Answer: Nur Ben zeigt den Bruch des Versprechens: Er hat mindestens 80 Punkte, aber keinen Sticker bekommen. Dass Cleo mit 70 Punkten einen Sticker bekommt, bricht es nicht, denn das Versprechen sagt nichts über weniger als 80 Punkte.

Eine Aussage mit einem Gegenbeispiel widerlegen

Ist diese Aussage wahr? "Wenn $x^2 = 25$, dann ist $x = 5$."

Suche Werte, die die Voraussetzung wahr machen: Welche Zahlen ergeben quadriert 25? $5^2 = 25$ und $(-5)^2 = 25$ = $x = 5$ oder $x = -5$

Prüfe die Folgerung für jeden Wert: Für $x = 5$ ist die Folgerung $x = 5$ wahr. Für $x = -5$ ist die Folgerung $x = 5$ falsch = $x = -5$ ergibt W und F

Entscheide: Ein Fall mit wahrer Voraussetzung und falscher Folgerung reicht aus = $x = -5$ ist ein Gegenbeispiel

Answer: Die Aussage ist falsch. Das Gegenbeispiel $x = -5$ macht die Voraussetzung $x^2 = 25$ wahr, aber die Folgerung $x = 5$ falsch.

Wenn-dann-Aussagen sind überall, oft versteckt in ganz normalen Sätzen: - **Einkaufen**: "Wenn deine Bestellung mindestens 40 € beträgt, dann ist der Versand kostenlos." - **Regeln und Spiele**: "Wenn du eine 6 würfelst, dann darfst du noch einmal würfeln." - **Naturwissenschaften**: "Wenn Wasser auf Meereshöhe auf 100 °C erhitzt wird, dann kocht es." - **Programmieren**: Jede App steckt voller Befehle wie "wenn das Passwort stimmt, dann öffne das Konto". - **Mathematik**: Fast jede Regel und jeder Satz ist eine Implikation, zum Beispiel "wenn ein Dreieck einen rechten Winkel hat, dann gilt $a^2 + b^2 = c^2$" (wobei $c$ die längste Seite ist). In der Lektion Deduktives Denken hast du Wenn-dann-Regeln als Prämissen benutzt. Jetzt lernst du, wie sie aufgebaut sind, wie du sie selbst formulierst und wie du sie überprüfst. Das ist der Ausgangspunkt für Umkehrung, Inversion und Kontraposition, die als Nächstes in den Lektionen Umkehrung und Inversion und Kontraposition kommen.

Mistake: Den ersten Teil des Satzes für die Voraussetzung halten, etwa bei "Ich nehme einen Regenschirm mit, wenn es regnet" → Voraussetzung "ich nehme einen Regenschirm mit"

Why: Die Voraussetzung ist der Teil nach dem Wort "wenn" (oder "falls", "sobald"), egal wo er im Satz steht.

Correct: Suche zuerst die Bedingung: "es regnet". Dann schreibe: Wenn es regnet, dann nehme ich einen Regenschirm mit.

Mistake: Glauben, dass $p \to q$ immer falsch ist, wenn die Voraussetzung falsch ist

Why: Eine Implikation verspricht nur etwas für den Fall, dass $p$ eintritt. Tritt $p$ nicht ein, kann das Versprechen nicht gebrochen werden.

Correct: $p \to q$ ist nur im Fall W → F falsch. Wenn $p$ falsch ist, ist die Implikation wahr, egal was $q$ ist.

Mistake: Eine Zahl als Gegenbeispiel benutzen, die die Voraussetzung nicht erfüllt, zum Beispiel $x = 0$ gegen "wenn $x > 3$, dann $x > 1$"

Why: Für $x = 0$ ist die Folgerung $x > 1$ falsch, aber auch die Voraussetzung $x > 3$ ist falsch, also kann dieser Fall die Aussage nicht widerlegen.

Correct: Ein Gegenbeispiel muss die Voraussetzung wahr und die Folgerung falsch machen. Für "wenn $x > 3$, dann $x > 1$" gibt es keine solche Zahl, die Aussage ist also wahr.

Mistake: Glauben, dass ein passendes Beispiel die Aussage beweist

Why: "Wenn $n$ eine natürliche Zahl ist, dann ist $2^n + 1$ eine Primzahl" stimmt für $n = 1$ ($3$) und $n = 2$ ($5$), aber $n = 3$ ergibt $9$, und das ist keine Primzahl.

Correct: Beispiele können eine Aussage nur stützen. Zum Beweisen brauchst du ein allgemeines Argument, zum Widerlegen reicht aber ein einziges Gegenbeispiel.

Online einkaufen

Shops nutzen Wenn-dann-Regeln für kostenlosen Versand, Rabatte und Geschenke. Um das Angebot zu nutzen, musst du die Voraussetzung wahr machen.

"Wenn deine Bestellung mindestens 40 € beträgt, dann ist der Versand kostenlos." Bei einer Bestellung von 52 € ist die Voraussetzung wahr, also muss der Versand kostenlos sein.

Behauptungen in der Mathematik prüfen

Mathematikerinnen und Mathematiker prüfen eine Implikation, indem sie nach einem Gegenbeispiel suchen. Finden sie eines, ist die Behauptung falsch.

"Wenn eine Zahl eine Primzahl ist, dann ist sie ungerade" ist falsch, denn 2 ist eine Primzahl und gerade.

Smart Home und Programmieren

Ein Thermostat arbeitet mit einer Implikation: Wenn der Raum kälter als ein eingestellter Wert ist, dann schaltet sich die Heizung ein.

"Wenn die Temperatur unter 18 °C liegt, dann schaltet sich die Heizung ein." Bei 17 °C ist die Voraussetzung wahr, also muss die Heizung angehen. Bei 20 °C wird nichts versprochen.

Eine Wenn-dann-Aussage hat die Form "wenn $p$, dann $q$", geschrieben $p \to q$

Die Voraussetzung $p$ ist die Bedingung nach "wenn"; die Folgerung $q$ ist das Ergebnis nach "dann"

Viele Sätze verstecken eine Implikation: "jedes A ist B" bedeutet "wenn etwas ein A ist, dann ist es ein B"

$p \to q$ ist nur falsch, wenn $p$ wahr und $q$ falsch ist (W → F); in den anderen drei Fällen ist sie wahr

Ein Gegenbeispiel macht die Voraussetzung wahr und die Folgerung falsch, und eines reicht, um eine Aussage zu widerlegen

Passende Beispiele stützen eine Aussage, aber sie beweisen sie nicht

Q: Warum ist "wenn $p$, dann $q$" wahr, wenn $p$ falsch ist?

A: Weil die Aussage nur ein Versprechen für den Fall macht, dass $p$ eintritt. Wenn du sagst "wenn es regnet, nehme ich einen Regenschirm mit" und es regnet nicht, hast du dein Wort nicht gebrochen, egal was du tust.

Q: Muss das Wort "dann" immer dastehen?

A: Nein. "Wenn es regnet, bleibe ich zu Hause", "Ich bleibe zu Hause, falls es regnet" und "Regen bedeutet, dass ich zu Hause bleibe" sind alle dieselbe Implikation. Mit "wenn" und "dann" geschrieben sieht man Voraussetzung und Folgerung nur leichter.

Q: Wie viele Gegenbeispiele brauche ich, um zu zeigen, dass eine Aussage falsch ist?

A: Nur eines. Eine Implikation behauptet, dass die Folgerung jedes Mal gilt, wenn die Voraussetzung wahr ist. Ein einziger Fall mit W → F reicht also, um sie zu widerlegen.

Q: Was passiert, wenn ich Voraussetzung und Folgerung vertausche?

A: Du bekommst eine neue Aussage, die einen anderen Wahrheitswert haben kann. "Wenn eine Figur ein Quadrat ist, dann ist sie ein Rechteck" ist wahr, aber "wenn eine Figur ein Rechteck ist, dann ist sie ein Quadrat" ist falsch. Das Vertauschen und Verneinen der Teile ist Thema der nächsten Lektionen, Umkehrung und Inversion und Kontraposition.

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Wenn-dann-Aussagen

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Logik & Mengen / Logisches Denken

Wenn-dann-Aussagen

Lerne, Aussagen in die Wenn-dann-Form zu bringen, Voraussetzung und Folgerung zu erkennen und zu entscheiden, wann eine Wenn-dann-Aussage falsch ist.

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