Muss das Wort "dann" immer dastehen?

Nein. "Wenn es regnet, bleibe ich zu Hause", "Ich bleibe zu Hause, falls es regnet" und "Regen bedeutet, dass ich zu Hause bleibe" sind alle dieselbe Implikation. Mit "wenn" und "dann" geschrieben sieht man Voraussetzung und Folgerung nur leichter.

Wie viele Gegenbeispiele brauche ich, um zu zeigen, dass eine Aussage falsch ist?

Nur eines. Eine Implikation behauptet, dass die Folgerung jedes Mal gilt, wenn die Voraussetzung wahr ist. Ein einziger Fall mit W → F reicht also, um sie zu widerlegen.

Was passiert, wenn ich Voraussetzung und Folgerung vertausche?

Du bekommst eine neue Aussage, die einen anderen Wahrheitswert haben kann. "Wenn eine Figur ein Quadrat ist, dann ist sie ein Rechteck" ist wahr, aber "wenn eine Figur ein Rechteck ist, dann ist sie ein Quadrat" ist falsch. Das Vertauschen und Verneinen der Teile ist Thema der nächsten Lektionen, Umkehrung und Inversion und Kontraposition.

Lehrermaterialien

Wenn-dann-Aussagen

Lerne, Aussagen in die Wenn-dann-Form zu bringen, Voraussetzung und Folgerung zu erkennen und zu entscheiden, wann eine Wenn-dann-Aussage falsch ist.

Mittelstufe25 MinLektion

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Definition

Eine Wenn-dann-Aussage, auch Implikation oder Konditional genannt, verbindet zwei Aussagen mit den Wörtern wenn und dann:

\text{Wenn } p\text{, dann } q.

Der Teil nach "wenn" ist die Voraussetzung ( $p$ ), die Bedingung.
Der Teil nach "dann" ist die Folgerung ( $q$ ), das, was folgen muss.

In Symbolen schreiben wir

p \to q

und lesen "wenn

p

, dann

q

" oder "aus

p

folgt

q

Beispiel: Wenn eine Zahl auf 0 endet, dann ist sie durch 10 teilbar.

Voraussetzung $p$ : eine Zahl endet auf 0
Folgerung $q$ : die Zahl ist durch 10 teilbar

Stell dir eine Wenn-dann-Aussage als Versprechen vor. Das Versprechen ist nur gebrochen, wenn die Voraussetzung eintritt und die Folgerung nicht. Also ist

p \to q

in genau einem Fall falsch:

p

ist wahr und

q

ist falsch. In allen anderen Fällen ist sie wahr.

$p$	$q$	$p \to q$
W	W	W
W	F	F
F	W	W
F	F	W

Die interaktive Wahrheitstabelle in dieser Lektion zeigt dieselben vier Zeilen in umgekehrter Reihenfolge, beginnend mit F, F. Beide Reihenfolgen sind richtig.

Ein Fall, in dem die Voraussetzung wahr und die Folgerung falsch ist, heißt Gegenbeispiel. Ein einziges Gegenbeispiel reicht, um zu zeigen, dass eine Wenn-dann-Aussage falsch ist.

Probier es gleich aus

Was ist die Voraussetzung der Aussage "Wenn es regnet, dann wird das Fußballspiel abgesagt"?

Lösungsbeispiele

Bestimme Voraussetzung und Folgerung: "Wenn ein Dreieck einen rechten Winkel hat, dann ist es ein rechtwinkliges Dreieck."

Finde den Teil nach "wenn"

"ein Dreieck hat einen rechten Winkel" → Voraussetzung $p$ : ein Dreieck hat einen rechten Winkel

Finde den Teil nach "dann"

"es ist ein rechtwinkliges Dreieck" → Folgerung $q$ : das Dreieck ist rechtwinklig

Schreibe es in Symbolen

Die Bedingung steht zuerst, das Ergebnis danach → $p \to q$

Antwort: Voraussetzung: ein Dreieck hat einen rechten Winkel. Folgerung: es ist ein rechtwinkliges Dreieck. In Symbolen: $p \to q$ .

Häufige Fehler

Den ersten Teil des Satzes für die Voraussetzung halten, etwa bei "Ich nehme einen Regenschirm mit, wenn es regnet" → Voraussetzung "ich nehme einen Regenschirm mit"

Warum es falsch ist: Die Voraussetzung ist der Teil nach dem Wort "wenn" (oder "falls", "sobald"), egal wo er im Satz steht.

Richtig: Suche zuerst die Bedingung: "es regnet". Dann schreibe: Wenn es regnet, dann nehme ich einen Regenschirm mit.

Glauben, dass $p \to q$ immer falsch ist, wenn die Voraussetzung falsch ist

Warum es falsch ist: Eine Implikation verspricht nur etwas für den Fall, dass $p$ eintritt. Tritt $p$ nicht ein, kann das Versprechen nicht gebrochen werden.

Richtig: $p \to q$ ist nur im Fall W → F falsch. Wenn $p$ falsch ist, ist die Implikation wahr, egal was $q$ ist.

Eine Zahl als Gegenbeispiel benutzen, die die Voraussetzung nicht erfüllt, zum Beispiel $x = 0$ gegen "wenn $x > 3$ , dann $x > 1$ "

Warum es falsch ist: Für $x = 0$ ist die Folgerung $x > 1$ falsch, aber auch die Voraussetzung $x > 3$ ist falsch, also kann dieser Fall die Aussage nicht widerlegen.

Richtig: Ein Gegenbeispiel muss die Voraussetzung wahr und die Folgerung falsch machen. Für "wenn $x > 3$ , dann $x > 1$ " gibt es keine solche Zahl, die Aussage ist also wahr.

Glauben, dass ein passendes Beispiel die Aussage beweist

Warum es falsch ist: "Wenn $n$ eine natürliche Zahl ist, dann ist $2^n + 1$ eine Primzahl" stimmt für $n = 1$ ( $3$ ) und $n = 2$ ( $5$ ), aber $n = 3$ ergibt $9$ , und das ist keine Primzahl.

Richtig: Beispiele können eine Aussage nur stützen. Zum Beweisen brauchst du ein allgemeines Argument, zum Widerlegen reicht aber ein einziges Gegenbeispiel.

Interaktive Visualisierung

Wahrheitstabelle

Operator wählen

p → q

p	q	p → q
F	F	W
F	W	W
W	F	F
W	W	W

W= WahrF= Falsch

Wahrheitstabelle

Operator wählen

p → q

p	q	p → q
F	F
F	W
W	F
W	W

W= WahrF= Falsch

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Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Was ist die Voraussetzung der Aussage "Wenn es regnet, dann wird das Fußballspiel abgesagt"?

Übungsaufgaben: Wenn-dann-Aussagen

1. Was ist die Voraussetzung der Aussage "Wenn es regnet, dann wird das Fußballspiel abgesagt"?
2. Ergänze die Wenn-dann-Aussage so, dass sie wahr ist: Wenn x = 4, dann ist 3x - 2 = \square. Welche Zahl gehört in das Kästchen?
3. Prüfe die Aussage "Wenn x = 6, dann ist 2x + 3 = 15", indem du 2x + 3 für x = 6 berechnest.
4. Welcher Satz ist "Alle Quadrate sind Rechtecke" in Wenn-dann-Form?
5. Die Wahrheitstabelle von p → q hat 4 Zeilen. In wie vielen dieser Zeilen ist p → q falsch?
6. Die Regel eines Shops: Wenn deine Bestellung mindestens 30 € beträgt, dann ist der Versand kostenlos. Du kaufst ein Buch für 12 € und ein Spiel für 15 €. Wie viele Euro musst du noch ausgeben, damit der Versand kostenlos ist?
7. In welchem Fall ist die Implikation p → q falsch?
8. Die Aussage "Wenn eine natürliche Zahl größer als 5 ist, dann ist sie größer als 8" ist falsch. Was ist die kleinste natürliche Zahl, die ein Gegenbeispiel ist?
9. Behauptung: Wenn eine natürliche Zahl durch 2 teilbar ist, dann ist sie durch 4 teilbar. Finde das kleinste positive Gegenbeispiel.
10. Mia sagt: "Wenn ich meine Hausaufgaben fertig mache, dann gehe ich ins Kino." Sie hat ihre Hausaufgaben nicht fertig gemacht, ist aber trotzdem ins Kino gegangen. Ist ihre Aussage wahr oder falsch?
11. Die Regel eines Ladens: Wenn du mindestens 3 Hefte kaufst, dann kostet jedes Heft 2 € statt 3 €. Du kaufst 4 Hefte. Wie viele Euro zahlst du insgesamt?
12. Aussage: Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 6 ist, dann ist sie ein Vielfaches von 3. Prüfe die Aussage für die Zahl 42: Teile 42 zuerst durch 6, dann durch 3. Was ist 42 ÷ 3?
13. Regel: Wenn die Temperatur unter 18 °C liegt, dann schaltet sich die Heizung ein. Um 7:00 Uhr hat der Raum 23 °C, und die Temperatur sinkt jede Stunde um 2 °C. Nach wie vielen vollen Stunden schaltet sich die Heizung zum ersten Mal ein?
14. Welche Zahl ist ein Gegenbeispiel zur Aussage "Wenn eine Zahl eine Primzahl ist, dann ist sie ungerade"?
15. Behauptung: Wenn n eine natürliche Zahl größer als 1 ist, dann ist n² + n + 1 eine Primzahl. Was ist das kleinste Gegenbeispiel n?
16. Behauptung: Wenn n eine positive natürliche Zahl ist, dann ist 2ⁿ + 1 eine Primzahl. Teste n = 1, 2, 3 und finde das kleinste Gegenbeispiel.
17. Aussage: Wenn x > 2, dann ist x² > 9. Welche der natürlichen Zahlen 3, 4 und 5 ist ein Gegenbeispiel?
18. Vier Karten haben auf einer Seite eine Zahl und auf der anderen eine Farbe. Du siehst: 4, 7, rot, blau. Regel: Wenn eine Karte auf einer Seite eine gerade Zahl hat, dann ist ihre andere Seite rot. Welche Karten musst du umdrehen, um die Regel zu prüfen, und wie viele sind es?

Warum es wichtig ist

Wenn-dann-Aussagen sind überall, oft versteckt in ganz normalen Sätzen:

Einkaufen: "Wenn deine Bestellung mindestens 40 € beträgt, dann ist der Versand kostenlos."
Regeln und Spiele: "Wenn du eine 6 würfelst, dann darfst du noch einmal würfeln."
Naturwissenschaften: "Wenn Wasser auf Meereshöhe auf 100 °C erhitzt wird, dann kocht es."
Programmieren: Jede App steckt voller Befehle wie "wenn das Passwort stimmt, dann öffne das Konto".
Mathematik: Fast jede Regel und jeder Satz ist eine Implikation, zum Beispiel "wenn ein Dreieck einen rechten Winkel hat, dann gilt $a^2 + b^2 = c^2$ " (wobei $c$ die längste Seite ist).

In der Lektion Deduktives Denken hast du Wenn-dann-Regeln als Prämissen benutzt. Jetzt lernst du, wie sie aufgebaut sind, wie du sie selbst formulierst und wie du sie überprüfst. Das ist der Ausgangspunkt für Umkehrung, Inversion und Kontraposition, die als Nächstes in den Lektionen Umkehrung und Inversion und Kontraposition kommen.

Anwendungen im echten Leben

Online einkaufen

Shops nutzen Wenn-dann-Regeln für kostenlosen Versand, Rabatte und Geschenke. Um das Angebot zu nutzen, musst du die Voraussetzung wahr machen.

Beispiel:

"Wenn deine Bestellung mindestens 40 € beträgt, dann ist der Versand kostenlos." Bei einer Bestellung von 52 € ist die Voraussetzung wahr, also muss der Versand kostenlos sein.

1Probiere es selbst

Ein Shop verspricht: Wenn deine Bestellung mindestens 40 € beträgt, dann ist der Versand kostenlos. In deinem Warenkorb liegen ein T-Shirt für 18 € und eine Mütze für 15 €.

Wie viele Euro musst du noch ausgeben, damit die Voraussetzung wahr wird?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Ziehe deine Summe von 40 ab:

Behauptungen in der Mathematik prüfen

Mathematikerinnen und Mathematiker prüfen eine Implikation, indem sie nach einem Gegenbeispiel suchen. Finden sie eines, ist die Behauptung falsch.

Beispiel:

"Wenn eine Zahl eine Primzahl ist, dann ist sie ungerade" ist falsch, denn 2 ist eine Primzahl und gerade.

2Probiere es selbst

Ein Mitschüler behauptet: Wenn eine natürliche Zahl ein Vielfaches von 3 ist, dann ist sie ungerade.

Was ist das kleinste positive Gegenbeispiel?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Die Vielfachen von 3 sind 3, 3 + 3, 3 + 3 + 3, ... Schreibe das zweite:

Smart Home und Programmieren

Ein Thermostat arbeitet mit einer Implikation: Wenn der Raum kälter als ein eingestellter Wert ist, dann schaltet sich die Heizung ein.

Beispiel:

"Wenn die Temperatur unter 18 °C liegt, dann schaltet sich die Heizung ein." Bei 17 °C ist die Voraussetzung wahr, also muss die Heizung angehen. Bei 20 °C wird nichts versprochen.

3Probiere es selbst

Die Regel lautet: Wenn die Temperatur unter 18 °C liegt, dann schaltet sich die Heizung ein. Um 7:00 Uhr hat der Raum 22 °C und kühlt jede Stunde um 3 °C ab.

Wie warm ist es nach 2 Stunden, und läuft die Heizung?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Beginne bei 22 und ziehe zweimal 3 ab:

Wichtige Erkenntnisse

1Eine Wenn-dann-Aussage hat die Form "wenn $p$ , dann $q$ ", geschrieben $p \to q$
2Die Voraussetzung $p$ ist die Bedingung nach "wenn"; die Folgerung $q$ ist das Ergebnis nach "dann"
3Viele Sätze verstecken eine Implikation: "jedes A ist B" bedeutet "wenn etwas ein A ist, dann ist es ein B"
4 $p \to q$ ist nur falsch, wenn $p$ wahr und $q$ falsch ist (W → F); in den anderen drei Fällen ist sie wahr
5Ein Gegenbeispiel macht die Voraussetzung wahr und die Folgerung falsch, und eines reicht, um eine Aussage zu widerlegen
6Passende Beispiele stützen eine Aussage, aber sie beweisen sie nicht

Häufig gestellte Fragen

Weil die Aussage nur ein Versprechen für den Fall macht, dass

p

eintritt. Wenn du sagst "wenn es regnet, nehme ich einen Regenschirm mit" und es regnet nicht, hast du dein Wort nicht gebrochen, egal was du tust.

Glossar

Wenn-dann-Aussage: Eine Aussage der Form "wenn $p$ , dann $q$ ", auch Implikation oder Konditional genannt
Voraussetzung: Die Bedingung einer Implikation, der Teil nach "wenn" ( $p$ )
Folgerung: Das Ergebnis einer Implikation, der Teil nach "dann" ( $q$ )
Implikation: Ein anderer Name für eine Wenn-dann-Aussage; $p \to q$ liest man "aus $p$ folgt $q$ "
Gegenbeispiel: Ein Fall, in dem die Voraussetzung wahr und die Folgerung falsch ist; er zeigt, dass eine Implikation falsch ist
Wahrheitswert: Ob eine Aussage wahr (W) oder falsch (F) ist

Formelkarte

Implikation

p \to q

Lies "wenn $p$, dann $q$": $p$ ist die Voraussetzung, $q$ die Folgerung

Einziger falscher Fall

W \to F = F

Eine Implikation ist nur falsch, wenn die Voraussetzung wahr und die Folgerung falsch ist

Gegenbeispiel

p \text{ wahr und } q \text{ falsch}

Ein solcher Fall reicht, um $p \to q$ zu widerlegen

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Formelkarte

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