Summen ungerader Zahlen

Addiere die ersten ungeraden Zahlen: $1$, $1 + 3$, $1 + 3 + 5$, $1 + 3 + 5 + 7$. Stelle eine Vermutung auf und sage damit die Summe der ersten $10$ ungeraden Zahlen voraus.

Beobachte die Fälle: $1 = 1$, $1 + 3 = 4$, $1 + 3 + 5 = 9$, $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ = Summen: $1, 4, 9, 16$

Suche ein Muster: $1 = 1^2$, $4 = 2^2$, $9 = 3^2$, $16 = 4^2$ = Jede Summe ist eine Quadratzahl

Stelle eine Vermutung auf: Bei $n$ ungeraden Zahlen scheint die Summe $n \times n$ zu sein = Summe der ersten $n$ ungeraden Zahlen $= n^2$

Prüfe sie an einem neuen Fall: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2$ = Die Vermutung besteht den Test

Nutze sie für eine Vorhersage: $n = 10$: $10^2 = 100$ = $100$

Answer: Vermutung: Die Summe der ersten $n$ ungeraden Zahlen ist $n^2$. Die Summe der ersten $10$ ungeraden Zahlen sollte $100$ sein (und diese Vermutung ist tatsächlich bewiesen).

Eine Vermutung mit Null und negativen Zahlen widerlegen

Leo prüft die Aussage "Wenn man eine Zahl verdoppelt, wird sie immer größer" mit $3$, $10$ und $25$. Ist die Aussage wahr?

Prüfe Leos Fälle: $3 \to 6$, $10 \to 20$, $25 \to 50$ = Alle drei wurden größer

Probiere eine andere Art von Zahl: die Null: $2 \times 0 = 0$ = $0$ ist nicht größer als $0$

Probiere eine negative Zahl: $2 \times (-5) = -10$, und $-10 < -5$ = Das Doppelte ist kleiner

Entscheide: Ein Gegenbeispiel genügt = Die Aussage ist falsch

Answer: Die Aussage ist falsch: $0$ und $-5$ sind Gegenbeispiele. Eine verbesserte Vermutung lautet "Wenn man eine positive Zahl verdoppelt, wird sie größer".

Diagonalen von Vielecken

Ein Dreieck hat $0$ Diagonalen, ein Viereck $2$, ein Fünfeck $5$ und ein Sechseck $9$. Sage die Anzahl der Diagonalen eines Achtecks voraus.

Liste die Fälle auf: $3$ Ecken: $0$, $4$ Ecken: $2$, $5$ Ecken: $5$, $6$ Ecken: $9$ = $0, 2, 5, 9$

Bestimme die Differenzen: $2 - 0 = 2$, $5 - 2 = 3$, $9 - 5 = 4$ = Die Differenzen wachsen um $1$

Setze das Muster fort: Siebeneck: $9 + 5 = 14$, Achteck: $14 + 6 = 20$ = Vorhersage: $20$

Prüfe mit einer Formel, die zu allen Fällen passt: $\frac{n(n - 3)}{2}$: $\frac{6 \times 3}{2} = 9$, $\frac{8 \times 5}{2} = 20$ = Beide Wege ergeben $20$

Answer: Ein Achteck sollte $20$ Diagonalen haben. Wenn du sie in einer Zeichnung zählst, bestätigt sich das.

Vierzig Fälle und trotzdem falsch

Prüfe die Vermutung "$n^2 + n + 41$ ist immer eine Primzahl" für $n = 0, 1, 2, 3$ und dann für $n = 40$.

Prüfe kleine Werte: $n = 0$: $41$, $n = 1$: $43$, $n = 2$: $47$, $n = 3$: $53$ = Alles Primzahlen

Beachte, wie weit es geht: Es kommen Primzahlen heraus bis $n = 39$ = $40$ Fälle hintereinander stimmen

Prüfe $n = 40$: $40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41$ = $1681$

Prüfe, ob $1681$ eine Primzahl ist: $1681 = 41 \times 41$ = Keine Primzahl: ein Gegenbeispiel

Answer: Die Vermutung ist falsch. $n = 40$ ist ein Gegenbeispiel, obwohl die ersten $40$ Fälle alle gestimmt haben.

Induktiv und deduktiv im Vergleich

Mia bemerkt: $3 + 5 = 8$, $7 + 9 = 16$, $11 + 1 = 12$. Was kann sie über die Summe zweier ungerader Zahlen schließen, und wie kann sie sicher sein?

Schließe induktiv: $8$, $16$ und $12$ sind alle gerade = Vermutung: ungerade $+$ ungerade ist gerade

Erkenne die Grenze: Drei Fälle können nicht jedes Paar ungerader Zahlen prüfen = Bisher nur wahrscheinlich wahr

Schließe deduktiv: Ungerade Zahlen sind $2a + 1$ und $2b + 1$: $(2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1)$ = Immer ein Vielfaches von $2$

Vergleiche: Die Beispiele lieferten die Idee, die Algebra den Beweis = Jetzt ist es sicher

Answer: Induktives Denken liefert die Vermutung "ungerade $+$ ungerade ist gerade". Deduktives Denken mit $2(a + b + 1)$ beweist sie für alle ungeraden Zahlen.

Mistake: Zu glauben, eine Vermutung sei bewiesen, weil sie in vielen Fällen gestimmt hat

Why: Beispiele können eine Vermutung nur stützen. $n^2 + n + 41$ ist für $40$ Werte hintereinander eine Primzahl und versagt trotzdem bei $n = 40$.

Correct: Nenne es eine Vermutung, bis es bewiesen ist. Sag "wahrscheinlich wahr", nicht "wahr".

Mistake: Zu glauben, ein Gegenbeispiel reiche nicht, um eine Vermutung zu verwerfen

Why: Eine Vermutung behauptet etwas über jeden Fall. Wenn auch nur ein Fall nicht stimmt, ist die Behauptung "immer" falsch.

Correct: Ein Gegenbeispiel genügt. $2$ ist eine Primzahl und gerade, also ist "alle Primzahlen sind ungerade" falsch.

Mistake: Nur einfache, positive ganze Zahlen zu testen

Why: Viele Vermutungen scheitern bei $0$, bei negativen Zahlen oder bei Brüchen. "Quadrieren macht eine Zahl größer" stimmt für $2, 3, 10$, aber nicht für $\frac{1}{2}$: $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Correct: Teste gezielt Sonderfälle: $0$, $1$, negative Zahlen, Brüche und große Zahlen.

Mistake: Vollständige Induktion mit induktivem Denken zu verwechseln

Why: Die Namen klingen ähnlich, aber die vollständige Induktion ist ein deduktives Beweisverfahren mit Induktionsanfang und Induktionsschritt.

Correct: Induktives Denken stellt aus Beispielen eine Vermutung auf. Die vollständige Induktion beweist eine Aussage für alle natürlichen Zahlen.

Wettervorhersage

Meteorologen vergleichen den heutigen Tag mit vielen früheren Tagen, die ähnlich aussahen. Was danach meistens passierte, wird zur Vorhersage. Deshalb nennen Vorhersagen Wahrscheinlichkeiten und keine Gewissheiten.

Wenn es an $80$ von $100$ früheren Tagen mit diesen Wolken und diesem Wind am nächsten Tag geregnet hat, meldet die Vorhersage eine Regenwahrscheinlichkeit von $80\%$.

Experimente in den Naturwissenschaften

Forscherinnen und Forscher wiederholen Messungen, suchen ein Muster und formulieren eine Regel. Man vertraut der Regel, solange kein Experiment sie widerlegt.

Hängt man $1$, $2$ und $3$ gleiche Gewichte an eine Feder, dehnt sie sich um $3$ cm, $6$ cm und $9$ cm. Die Vermutung: $3$ cm Dehnung pro Gewicht. Mit zu vielen Gewichten wird die Feder beschädigt, und die Regel gilt nicht mehr.

Ein Turnier planen

Bei einem Turnier jeder gegen jeden spielt jede Mannschaft genau einmal gegen jede andere. Die Veranstalter können die Anzahl der Spiele aus kleinen Fällen und einer Vermutung bestimmen.

$2$ Mannschaften spielen $1$ Spiel, $3$ Mannschaften $3$ Spiele, $4$ Mannschaften $6$ Spiele. Die Vermutung $\frac{n(n - 1)}{2}$ passt zu allen drei Fällen, und hier lässt sie sich sogar beweisen: Jede der $n$ Mannschaften spielt gegen $n - 1$ andere, und jedes Spiel wird doppelt gezählt.

Q: Wenn induktives Denken falsch sein kann, warum nutzen wir es dann?

A: Weil wir so Ideen finden, die sich zu beweisen lohnen. Deduktives Denken braucht eine Aussage als Ausgangspunkt, und diese Aussage entsteht meistens, wenn man ein Muster in Beispielen bemerkt.

Q: Wie viele Beispiele brauche ich, bevor ich einer Vermutung trauen kann?

A: Keine Anzahl von Beispielen reicht für Gewissheit. $n^2 + n + 41$ stimmt $40$ Mal und versagt dann. Mehr und vielfältigere Beispiele machen eine Vermutung glaubwürdiger, aber erst ein Beweis macht sie sicher.

Q: Ist die vollständige Induktion eine Art induktives Denken?

A: Nein. Trotz des Namens ist die vollständige Induktion ein deduktiver Beweis: Du beweist einen Induktionsanfang und beweist, dass aus jedem Fall der nächste folgt. Damit ist die Aussage für alle natürlichen Zahlen sicher.

Q: Gibt es berühmte Vermutungen, die noch niemand bewiesen hat?

A: Ja. Die Goldbachsche Vermutung besagt, dass jede gerade Zahl größer als $2$ die Summe zweier Primzahlen ist, zum Beispiel $10 = 3 + 7$. Computer haben sie für jede gerade Zahl bis $4 \times 10^{18}$ geprüft, aber sie ist immer noch unbewiesen.